Okręgi Carlyle’a

Jednym z najstarszych zagadnień matematyki są równania algebraiczne, wśród nich problem znalezienia pierwiastków trójmianu kwadratowego...

Już w starożytności pojawiły się zadania, do rozwiązania których należało wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby (to jest rozwiązać równanie $|x2 = a$ dla $a > 0$ ) lub odnaleźć miejsce zerowe trójmianu kwadratowego. Pojawił się, między innymi, klasyczny problem wyznaczenia długości przekątnej kwadratu (oraz wykazanie niewspółmierności przekątnej z bokiem). Jedne z pierwszych zapisków zawierających rozwiązania równań kwadratowych oraz sześciennych pochodzą jeszcze z czasów Babilonii, datowane są na 1800-1600) p.n.e. Dopiero prawie 3000 lat później, w XII wieku Aczarja Bhaskara wykazał, że liczba dodatnia ma dwa pierwiastki.

Wiele problemów algebraicznych można rozwiązać w sposób dokładny lub przybliżony, wykorzystując narzędzia geometrii. Historia zna wiele przykładów, począwszy od problemu kwadratury koła, przez rozwiązywanie równań oraz układów równań liniowych. Takie graficzne (i dokładne) rozwiązanie jest również możliwe dla równań kwadratowych. Rozwiązanie graficzne wykorzystuje jedynie klasyczne konstrukcje oparte na cyrklu i linijce - oraz tytułowe okręgi Carlyle'a.

Rozważmy równanie kwadratowe:

2 x − px + q = 0, p,q ∈R.

(1)

Naszym celem jest znalezienie rozwiązań powyższego równania, za pomocą pewnej konstrukcji geometrycznej. Oczywiście, algebraicznie jesteśmy w stanie natychmiast podać pierwiastki równania (1):

√ ------- √ ------- p−---p2-−4q-- p-+--p2-−-4q- x1 = 2 , x2 = 2 .

Jedną z metod przybliżonego poszukiwania pierwiastków jest próba narysowania paraboli. Zwykle jednak do tego celu wykorzystujemy właśnie pierwiastki równania. Tego błędnego koła można szczęśliwie uniknąć, wykorzystując wspomniane już okręgi Carlyle'a.

Wprowadźmy formalną definicję.

Definicja. Okręgiem Carlyle'a stowarzyszonym z równaniem kwadratowym (1) nazywamy okrąg, którego średnicą jest odcinek o końcach w punktach $(0,1)$ oraz $|(p,q).$

Okrąg Carlyle'a jest wyznaczony w sposób jednoznaczny przez równanie (1). Co więcej, łatwo można zaobserwować, że dla każdego okręgu przechodzącego przez punkt $(0,1),$ istnieją takie wartości współczynników $|p$ oraz $|q,$ że okrąg ten jest okręgiem Carlyle'a stowarzyszonym z równaniem kwadratowym $2 |x − px + q = 0.$

Najważniejszą cechą okręgu Carlyle'a jest jego związek z pierwiastkami równania, które wyznacza okrąg. Okazuje się bowiem, że liczba $|ξ$ jest rozwiązaniem równania (1) wtedy i tylko wtedy, gdy stowarzyszony okrąg Carlyle'a przecina oś odciętych w punkcie $(ξ,0).$ Istotnie, środek takiego okręgu to punkt o współrzędnych $p q−1 ( 2,1+ -2 ) ,$ a z twierdzenia Pitagorasa jego promień jest równy $√ ------------- p 2 q−1 2 r = (2) + ( 2 ) .$ Okrąg Carlyle'a opisany jest więc równaniem

p 2 q −1 2 p 2 q − 1 2 (x − --) + (y − (1+ ----)) = (--) + (-----) . 2 2 2 2

(2)

Ponieważ poszukujemy punktów przecięcia okręgu z osią $OX,$ więc podstawiamy $y = 0$ do równania (2). Upraszcza się ono do postaci

p 2 q − 1 2 p 2 q− 1 2 (x − --) + (1+ -----) = (--) + ( ----) . 2 2 2 2

(3)

Po redukcji równania (3) otrzymujemy dokładnie równanie (1).

Należy ponadto sprawdzić, że okrąg przecina oś $OX$ w co najmniej jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu (1) jest nieujemny. Można to zrobić niezależnie od powyższego rozumowania i to zadanie pozostawiamy Tobie, Drogi Czytelniku.

Dzięki swoim własnościom okręgi Carlyle'a znalazły zastosowanie w konstrukcjach wielokątów foremnych. W szczególności za ich pomocą, wykorzystując wyłącznie cyrkiel i linijkę, można łatwo skonstruować pięciokąt oraz siedemnastokąt foremny.

Opiszemy teraz konstrukcję pięciokąta foremnego z wykorzystaniem okręgów Carlyle'a.

Narysuj okrąg (zwany dalej: początkowym) o środku w punkcie $A = (0,0)$ oraz promieniu $1.$ Niech ponadto $B = (− 1,0),$ $|V1 = (1,0)$ oraz $E = (0,1).$ Punkt $|V1$ jest jednym z wierzchołków konstruowanego pięciokąta foremnego.
Narysuj okrąg o środku w punkcie $B$ przechodzący przez punkt $A.$ Okrąg ten przecina okrąg początkowy w punktach $C$ oraz $D.$
Przez punkty $C$ oraz $D$ poprowadź prostą. Punkt jej przecięcia z osią $OX$ oznacz $F.$
Narysuj okrąg o środku w punkcie $F$ przechodzący przez punkt $E.$ Przecina on oś $OX$ w dwóch punktach $|G$ oraz $|H.$
Skonstruuj symetralne odcinków $HA$ oraz $AG.$ Oznacz miejsca przecięcia tych symetralnych z osią $OX$ odpowiednio przez $|I$ oraz $J.$
Symetralne skonstruowane w punkcie 5. przecinają ponadto okrąg początkowy w czterech punktach $V2,V3,V4,V5,$ będących jednocześnie czterema brakującymi wierzchołkami pięciokąta foremnego.

Wyprowadzimy teraz algebraicznie powyższą konstrukcję. Konstrukcja ta wykorzystuje podstawowe wiadomości dotyczące zbioru liczb zespolonych $|C.$

Liczby zespolone stanowią rozszerzenie liczb rzeczywistych o "pierwiastek z $−1$ ". Formalnie liczby zespolone definiujemy jako zbiór par liczb rzeczywistych $|(a,b)$ z działaniami dodawania oraz mnożenia zdefiniowanymi następująco:

$(a,b)+ (c,d) = (a + c,b+ d), (a,b)⋅(c,d) = (ac − bd,ad + bc).$

Tradycyjnie liczbę

|(0,1)

oznacza się przez

i.

Innym sposobem zapisu liczby zespolonej

|z = (a,b)

jest jej postać algebraiczna

|z = a + ib.

Definiuje się część rzeczywistą

Re(z) = a

oraz urojoną

Im(z) = b,

ponadto definiuje się moduł liczby zespolonej

√ -2---2- z = a + b

oraz jej argument

|ϕ

będący wartością kąta nachylenia wektora

[a,b]

na płaszczyźnie względem osi

OX.

Argument spełnia zależności

sin ϕ = bSzS

oraz

cos ϕ = aSzS.

Pozwala to na zapisanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej

z = z (cosϕ + isin ϕ)

oraz wykładniczej

iϕ |z = z e ,

która wynika ze wzoru Eulera

it e = cos t+ isint

prawdziwego dla dowolnej liczby rzeczywistej

|t.

Charakterystyczną cechą zbioru liczb zespolonych jest to, że wszystkie równania algebraiczne mają w nim pierwiastki. Równanie

x2 = −3

nie ma rozwiązań rzeczywistych, natomiast ma dwa rozwiązania zespolone

√ -- x1 = i 3

oraz

√-- x2 =− i 3.

Przejdźmy do wyprowadzenia konstrukcji. Aby zbudować pięciokąt foremny, wystarczy skonstruować pierwiastki piątego stopnia z jedynki, czyli rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie

5 z = 1.

(4)

Jednym z pierwiastków równania (4) jest, oczywiście, $z0 = 1,$ pozostałe natomiast spełniają równanie

z4 + z3 + z2 + z +1 = 0.

(5)

Niech teraz $2- ki zk = e 5$ dla $|k = 1,2,3,4$ będą pierwiastkami równania (5). Zdefiniujmy

w = z +z = 2Re(z ) = 2cos 2π , w = z + z = 2Re(z ) = 2 cos 4-π. 1 1 4 1 5 2 2 3 2 5

(6)

Ze wzoru Viète'a na sumę pierwiastków wynika, że $w1 +w2 = −1,$ ponadto

w1w2 = z1z2 +z1z3 + z4z2 + z4z3 = z3 + z4 + z1 + z2 = − 1.

Ponownie korzystając ze wzorów Viète'a, stwierdzamy, że $w1$ oraz $w2$ są pierwiastkami równania kwadratowego $2 x +x − 1 = 0.$ Konstruujemy zatem okrąg Carlyle'a o średnicy opartej na punktach $|(−1,−1)$ i $E = (0,1).$ Jego środkiem jest punkt $|F = (− 12,0),$ a punktami przecięcia z osią odciętych, zgodnie ze wzorem (6) są $H = (2cos 4π,0) 5$ oraz $|G = (2 cos 2π ,0). 5$ Symetralne odcinków $AG$ oraz $|AH$ przecinają więc oś $|OX$ w punktach $|J$ oraz $I$ odpowiednio, których odcięte są równe częściom rzeczywistym odpowiednich pierwiastków. Ponieważ symetralne mają stałą odciętą, przecinają one okrąg każda w dwóch punktach, będących jednocześnie poszukiwanymi pierwiastkami równania (5).

Wielokąty foremne mające 257 oraz 65537 boków również dają się skonstruować z wykorzystaniem okręgów Carlyle'a. Fizyczny model wymagałby jednak bardzo dokładnego oraz bardzo dużego cyrkla. O ile konstrukcja pięciokąta wymaga zaledwie jednego okręgu Carlyle'a, a konstrukcja siedemnastokąta czterech, to konstrukcja 257-kąta wymaga $24$ okręgów; jeden z nich jest rozwiązaniem równania $2 x + x − 64 = 0$ (a więc ma promień kilkadziesiąt razy większy niż okrąg jednostkowy, na którym budowany jest wielokąt). W przypadku 65537-kąta jeden z okręgów będzie stowarzyszony z równaniem $x2 + x− 8192 = 0.$ W 1991 roku stwierdzono, że liczba wymaganych w tym celu okręgów nie przekracza 1332 (!). Dokładna i wystarczająca ich liczba nie jest niestety znana autorowi artykułu.