Wyznaczenie iloczynu liczby -cyfrowej przez liczbę -cyfrową, gdzie wymaga co najmniej dodania liczb o około cyfrach każda. Zajmuje to dużo miejsca, czasu. Łatwo się pomylić. Zastanówmy się zatem, czy nie dałoby się jakoś tak "zakodować" liczb, aby zamiast mnożyć liczby jako takie, dodawać ich kody, a następnie wynik odkodować, dostając iloczyn. Innymi słowy, pytamy o istnienie funkcji która spełnia związek:

(*)

No tak, ale już na pierwszy rzut oka widać, że jedyną taką funkcją jest funkcja stale równa zeru. Bo przecież skąd dla dowolnego

Hmm... To może złagodźmy nieco nasze wymagania? Właściwie po co mamy kodować zero? W końcu wszyscy wiedzą, jak się przez nie mnoży? Więcej - wystarczy takie kodowanie znaleźć tylko dla liczb dodatnich - przecież wiemy, jak znak iloczynu zależy od znaków czynników.

Tak więc szukamy funkcji która spełnia związek i która nie jest stale równa zeru. Więcej, szukać będziemy takiego które jest ciągłe, czyli które dla bliskich wartości argumentów przyjmuje bliskie wartości i to w dodatku tak, aby dokładnością tego przybliżenia można było "sterować".

Z warunku łatwo dostajemy

Wraz z warunkiem otrzymujemy, że zachodzi dla oraz całkowitych. Dalej, jeśli to dla pewnych i wówczas

skąd dla Czyli zachodzi dla oraz wymiernego. Ponieważ każdą liczbę niewymierną można z dowolną dokładnością przybliżać liczbami wymiernymi, postulowana wcześniej ciągłość funkcji pozwala wywnioskować, że równość zachodzi dla dowolnej liczby rzeczywistej

Z założeń, jakie nałożyliśmy na można łatwo wywnioskować, że Zauważmy, że jest jedyną taką liczbą, dla której się zeruje. Przypuśćmy bowiem, że dla pewnego zachodzi Niech dalej Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie przyjmuje wszystkie dodatnie wartości, więc istnieje takie dla którego Stąd jednak co przeczy założeniom o

Udowodniona właśnie obserwacja implikuje w prosty sposób różnowartościowość funkcji Załóżmy bowiem, że wówczas skąd właśnie czyli Co więcej, jedyność miejsca zerowego funkcji wraz z ciągłością tej ostatniej (a dokładniej z faktem, że ma ona własność Darboux) implikuje monotoniczność tej funkcji.

Niech bowiem i Wówczas dla wartości i są tego samego znaku (inaczej jakieś między i zerowałoby wartość co nie jest możliwe). To zaś dowodzi, że bądź bądź co wobec dowolności i dowodzi monotoniczności

Założyliśmy, że nie jest stale równa zeru, co oznacza, że istnieje dla którego Ponieważ jedna z liczb i jest dodatnia, a druga ujemna. Oczywiście, możemy bez straty ogólności założyć, że to właśnie Teraz, skoro istnieją takie wymierne dla których oraz skąd Ponieważ jest ciągła, spełnia ona własność Darboux, a stąd wynika, że istnieje taka wartość pomiędzy oraz dla której Zauważmy przy tym, że jeśli to jest funkcją rosnącą, bo wówczas dla mamy skąd wynika, że oraz są tego samego znaku, czyli co oznacza, że

Teraz właściwie wszystko staje się jasne. Niech bowiem wówczas

a stąd z różnowartościowości dostajemy

Innymi słowy, jest tą potęgą liczby której wartością jest Taką liczbę nazywamy "logarytmem z przy podstawie " i oznaczamy symbolem Ale przecież o tym wszyscy wiedzą - w końcu uczy się tego w szkołach...