Czternaście lat później inny znany matematyk, Liouville, opublikował wyniki Galois razem z komentarzami. Co jednak było w nich aż tak interesującego? Galois zajmował się problemem istnienia wzorów na pierwiastki równań danych przez wielomiany. Większość Czytelników zna wzór na pierwiastki równania drugiego stopnia, słynne be kwadrat minus cztery a ce, a nieliczni słyszeli również o wzorach Cardano na rozwiązania równania stopnia trzeciego, czy Ferrariego, które stosujemy przy równaniach stopnia czwartego. Czy można w podobny sposób opisać rozwiązania dowolnego równania stopnia piątego?

Galois zauważył, że mimo iż na mocy Zasadniczego Twierdzenia Algebry równanie piątego stopnia ma aż pięć pierwiastków, to pierwiastki te nie są całkowicie niezależne – tworzą one grupy, a w każdej takiej grupie można zaobserwować pewne zależności, symetrie między pierwiastkami. Geniusz Galois polegał na tym, że skupił się on na tych symetriach, a nie na samych pierwiastkach.

Zmianę kolejności elementów w zbiorze nazywamy permutacją. Galois zainteresował fakt, że jeśli użyjemy najpierw jednej permutacji, a potem drugiej, to możemy tej parze przypisać trzecią permutację, która da ten sam efekt. Galois nazwał taki system łączenia permutacji grupą permutacji. Kluczowym pomysłem jego pracy było rozkładanie grup permutacji na prostsze grupy, które współczesny matematyk, Mark Ronan (Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006), nazywa atomami symetrii. Nazwa ta jest trafna – atom pochodzi od greckiego niepodzielny, więc to określenie pasuje do grup, których na prostsze rozłożyć się nie da. Mniej romantyczna nazwa tych atomów to grupy proste.

Powiemy, że zbiór permutacji  generuje grupę  jeśli dowolną permutację z   możemy przedstawić jako złożenie potęg elementów zbioru  gdzie potęga permutacji  to jej wielokrotne złożenie. Grupa  jest cykliczna, jeśli generuje ją jeden element. Rzędem grupy  nazywamy liczbę jej elementów, zaś rząd elementu  to moc grupy generowanej przez ten element. Pierwsze atomy symetrii, jakie udało się znaleźć, to grupy cykliczne o rzędach będących liczbami pierwszymi. Jakie są inne atomy? Czy możemy te atomy w jakiś sposób sklasyfikować?

Grupy Liego, które powstały w związku z jego badaniami nad równaniami różniczkowymi, oraz pomysł Killinga na układ okresowy tych grup nadały kierunek poszukiwaniom. Udało się sklasyfikować istniejące atomy, umieszczając je w odpowiednich rodzinach. Okazało się jednak, że na tym nie koniec.

Puszka Pandory

W opowiadaniu Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture autorstwa Apostolosa Doxiadisa pojawia się matematyk, który przez całą swoją karierę próbuje rozwiązać pewien stary problem. Mianowicie, czy każdą parzystą liczbę większą od 2 możemy przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych? Jest to jedno z pytań, na które do tej pory nie udało się znaleźć odpowiedzi, chociaż poszukiwania trwają od dawna. Co sprawia, że niektóre problemy matematyczne są tak ciężkie do rozwiązania? Czy, tak jak w tym przypadku, trudność polega na tym, że nie wiemy, jak się do tego zabrać, czy może po prostu droga do rozwiązania jest długa i stroma?

Do tej drugiej grupy problemów zdecydowanie należy zaliczyć (przynajmniej dziś) twierdzenie Feita-Thompsona o nieparzystym rzędzie. Jego sformułowanie jest bardzo proste:

Dowód miał jednak 255 stron i zajął cały numer Pacific Journal of Mathematics. Dlaczego jednak twierdzenie to było tak ważne przy poszukiwaniu atomów symetrii?

Cauchy udowodnił, że jeśli rząd grupy dzieli się przez liczbę pierwszą  to w grupie tej istnieje element rzędu  Jeśli więc rząd atomu symetrii jest liczbą parzystą, to atom ten musi zawierać element rzędu  Taki element (a dokładniej mnożenie przez niego) zachowuje się podobnie jak symetria lustrzana. Jeśli odbijemy przedmiot raz, to znajdzie się on po drugiej stronie lustra, a jeśli odbijemy go ponownie, to wróci na swoje miejsce. Składając tę symetrię z innymi, możemy otrzymać symetrię względem innego lustra. Znajdą się jednak takie symetrie, które utrzymają lustro w tym samym miejscu. Podgrupę permutacji niezmieniających wybranego lustra będziemy nazywać przekrojem poprzecznym. Do czego potrzebny jest nam jednak taki twór?

Pomysł jest prosty. Zamiast szukać atomów symetrii, spróbujmy zrozumieć ich przekroje poprzeczne. Zacznijmy od przekrojów znanych nam atomów i pokażmy, że nie mogą istnieć inne, mające te same przekroje. Okazało się jednak, że to nie takie proste.

Nowe atomy

W połowie XIX wieku, kiedy opublikowane zostały prace Galois, wielu matematyków zainteresowało się teorią grup, a w szczególności grupami permutacji. Powstało wtedy pojęcie tranzytywnej (przechodniej) grupy permutacji. Grupa ta, działając na zbiorze obiektów, spełniała warunek, że dowolnie wybrany obiekt możemy zamienić miejscami z dowolnym innym obiektem. W podobny sposób możemy zdefiniować grupy wielokrotnie przechodnie. Grupa -przechodnia to taka, która dla dwóch dowolnych podzbiorów złożonych z   obiektów zawiera przekształcenie, które zamienia miejscami odpowiednie pary tych obiektów. Badając grupy -przechodnie, francuski matematyk Mathieu wpadł na ślad dwóch nowych atomów, które oznaczył odpowiednio  i   Nie udało mu się jednak udowodnić istnienia tych grup. W końcu, ponad  lat później, na seminarium w Hamburgu, niemiecki matematyk Ernst Witt zdefiniował  symbole, których grupa symetrii to właśnie

Interesujące jest, że atomy Mathieu nie należą do żadnej ze znanych rodzin atomów. Skoro jednak znaleźliśmy kilka samotnych atomów (takie samotne atomy zostały nazwane grupami sporadycznymi), to czy może być ich więcej?

Odpowiedź brzmi: tak. Korzystając z opisanych wcześniej przekrojów poprzecznych, matematycy Janko i Thompson odnaleźli grupy, nazwane na cześć Janko  i 

Radio i sieci

Pierwsze odkryte grupy sporadyczne miały nadspodziewanie dużo elementów. Na przykład, najmniej liczna spośród grup odkrytych przez Mathieu miała ich 7920. Powstało pytanie, jakie to obiekty mogą mieć tak liczne i nietypowe grupy symetrii.

Inspiracja przyszła od strony radia. W czasach pierwszych transmisji radiowych często zdarzało się, że dźwięki zakłócane były przez szumy, mimo że stacje radiowe starały się zachowywać jak najwyższą jakość transmisji. Szukając rozwiązania problemu, Claude Shannon z Bell Labs zaproponował, by sygnał radiowy wysyłany był jako seria krótkich dźwięków kodujących informację w taki sposób, żeby niewielkie zakłócenia mogły być natychmiast poprawiane, co zwiększyłoby jakość przekazu.

Dogodnym modelem takich sytuacji są gęsto upakowane sieci o ustalonej odległości między węzłami, na dodatek w wielowymiarowej przestrzeni.

Badając przestrzeń o wymiarze równym  matematyk John Leech zdefiniował nową sieć tego typu (nazywaną kratą Leecha). Doszedł on również do wniosku, że jest to struktura na tyle ciekawa, że warto sprawdzić, co kryje grupa jej symetrii. Udało mu się przekonać innego matematyka, Johna Conwaya, by zajął się badaniem możliwości otrzymania z niej kolejnych atomów symetrii, co doprowadziło Conwaya do uzyskania trzech nowych atomów  i 

Potwór Fischera

Matematyk Bernd Fischer postanowił zająć się problemem, którego sformułowanie było proste: jakie grupy permutacji, generowane przez permutacje rzędu  zachowują się podobnie jak transpozycje? Transpozycja to permutacja, która zamienia miejscami dwa ustalone elementy. Łatwo jest wykazać, że złożenie dwóch transpozycji ma albo rząd  albo rząd  Te permutacje, tak zbliżone do transpozycji, nazywamy transpozycjami Fischera. Fischerowi udało się udowodnić następujące twierdzenie:

Analizując te typy obiektów, Fischer uzyskał trzy nowe interesujące grupy, blisko związane z grupami Mathieu  Oznaczył je jako  i   i   są atomami, zaś  zawiera olbrzymi atom rozmiaru

Możemy porównać transpozycje Fischera do luster, które odbijają część obiektów, a resztę pozostawiają niezmienioną. Jeśli ustawimy dwa lustra pod kątem  to złożenie odbić w tych lustrach będzie obrotem o kąt  Jeśli rząd złożenia dwóch symetrii lustrzanych ma być równy  lub  to kąty pomiędzy lustrami mogą być tylko równe  lub  Rozważając pewne specyficzne zbiory tych luster, czyli układy generatorów, Fischer udowodnił podane wcześniej twierdzenie.

Następny krok można przedstawić jako dopuszczenie ustawienia luster pod kątem  To doprowadziło Fischera do większego atomu, który zdawał się zawierać  Dzięki temu udało mu się stworzyć nowy atom symetrii, który nazwał  Dodatkowo zauważył, że  może być przekrojem poprzecznym innego atomu symetrii, który z powodu powiązań z   został oznaczony jako  Istniało podejrzenie, że pomiędzy  a   ukrywa się trzecia grupa, więc Conway, z którym Fischer podzielił się swoimi spostrzeżeniami, nazwał te trzy grupy odpowiednio Małym Potworem, Średnim Potworem i Super Potworem. Gdy później okazało się, że Średni Potwór nie może istnieć, nazwy zmieniono na Mały Potwór i Potwór.

Potwór okazał się być grupą, której rząd wynosi

Naukowcom z Cambridge udało się udowodnić, że Potwór nietrywialnie działa na przestrzeni o wymiarze  Najoszczędniejsza forma, w jakiej udało się zawrzeć pełne informacje o tej grupie, ma postać tabeli o 194 wierszach i tyluż kolumnach. Aby ją wypełnić (obliczyć), potrzeba było roku pracy, w którą zaangażowano wszystkie (ówczesne) komputery uniwersytetu w Birmingham.

Jako że dwie podgrupy Potwora również okazały się atomami symetrii, to w sumie udało się odnaleźć 25 atomów niezrzeszonych w znanych wcześniej rodzinach. W 1975 roku Janko udowodnił istnienie jeszcze jednego atomu,  który wkrótce został dokładniej opisany. Od tego czasu liczba tych ważnych grup już się nie zmieniła i się nie zmieni.