Oczywiście, możemy umieścić igłę na środku koła o promieniu  i obrócić ją bez przesuwania, co wymaga pola równego  Po chwili zastanowienia widać, że rozwiązanie to nie jest optymalne. Umieszczając igłę wewnątrz kształtu utworzonego przez trzy łuki deltoidy, przedstawionego na rysunku, a następnie przesuwając i obracając ją tak, aby w każdej chwili stykała się z brzegiem figury w trzech punktach, możemy wykonać pełny obrót przy polu  Czy da się jeszcze lepiej?

Pytanie to zadał po raz pierwszy japoński matematyk Soichi Kakeya w 1917 roku. Jak łatwo się przekonać, aby wewnątrz zbioru dało się wykonać pełny obrót igły, musi on zawierać odcinek jednostkowy w każdym kierunku. Własność ta ma sens nie tylko na płaszczyźnie, ale też w przestrzeni dowolnego wymiaru, co motywuje następującą definicję:

Zaskakującej odpowiedzi na pytanie Kakeyi udzielił Abraham Besicovitch w 1919 roku. Okazuje się, że istnieją zbiory o dowolnie małym polu, wewnątrz których można obrócić igłę! Co więcej, można nawet skonstruować zbiory Kakeyi o polu równym zeru. Konstrukcję, opartą o sprytne sklejanie trójkątów o coraz mniejszych polach, można obejrzeć na stronie http://www.math.ucla.edu/ tao/java/Besicovitch.html.

To jednak jeszcze nie koniec. Nawet wśród zbiorów o mierze zero istnieją zbiory „mniejsze” i „większe”. Intuicję z tym związaną formalnie ujmuje pojęcie tzw. wymiaru Minkowskiego, który (mówiąc bardzo ogólnie) mierzy, jak dobrze zbiór wypełnia przestrzeń. Wymiar ten może być liczbą niecałkowitą.

Przykładami zbiorów o niecałkowitym wymiarze Minkowskiego są zbiory samopodobne (fraktale). Maksymalny możliwy wymiar zbioru  wynosi

Możemy teraz wrócić do pytania, jak duży w sensie wymiaru Minkowskiego musi być zbiór Kakeyi.

Hipotezę tę udało się dotychczas udowodnić jedynie dla  W wyższych wymiarach, pomimo wysiłków wielu matematyków, pozostaje ona problemem otwartym, powiązanym z wieloma działami matematyki, między innymi z analizą harmoniczną i równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

Skoro nie potrafimy udowodnić hipotezy Kakeyi w   nasuwa się pytanie, czy istnieje jakaś prostsza wersja lub szczególny przypadek problemu, który łatwiej rozwiązać. Zwróćmy uwagę, że do zdefiniowania zbioru Kakeyi potrzebujemy jedynie abstrakcyjnego pojęcia prostej czy odcinka, natomiast nie jest istotne, że mamy do czynienia z liczbami rzeczywistymi. W szczególności możemy rozważać dyskretny wariant problemu, w którym -wymiarową przestrzeń euklidesową zastępujemy przestrzenią nad ciałem skończonym.

Niech  będzie ciałem o   elementach. Przez  będziemy oznaczać zbiór wektorów  gdzie  z naturalną operacją dodawania po współrzędnych. Zamiast przestrzeni euklidesowej  rozważamy więc skończoną przestrzeń  o   elementach. Prostą w kierunku  przechodzącą przez punkt  gdzie  nazwiemy, podobnie jak w przypadku euklidesowym, zbiór postaci  Każda taka prosta zawiera  punktów.

Ponieważ nasza przestrzeń jest teraz skończona, bardziej naturalne w definicji zbioru Kakeyi będzie zastąpienie odcinków prostymi.

Aby sformułować hipotezę Kakeyi dla ciał skończonych, potrzebujemy jeszcze dyskretnego odpowiednika wymiaru. W przestrzeni  naturalnym odpowiednikiem zbioru wymiaru  będzie zbiór mocy rzędu  Prowadzi to do następującej hipotezy.

Problem ma teraz bardziej kombinatoryczny charakter niż w przypadku euklidesowym, co nie znaczy, że musi być łatwiejszy do rozwiązania. Hipotezę Kakeyi dla ciał skończonych postawiono w 1999 roku. Przez dziesięć lat, pomimo prób wielu matematyków, w tym medalistów Fieldsa, nie udało się jednak jej udowodnić.

W związku z tym wielkim zaskoczeniem okazał się przedstawiony przez Zeeva Dvira w 2009 roku piękny i prosty dowód hipotezy Kakeyi dla ciał skończonych. Dowód, z pewnością zasługujący na miano Dowodu z Księgi, korzysta z tzw. metody wielomianowej, stosowanej już wcześniej w kombinatoryce, a przy tym jest tak elementarny, że daje się zrozumieć z wykorzystaniem podstawowej wiedzy licealnej!

W dowodzie kluczową rolę grają wielomiany nad ciałami skończonymi. Niech  będzie wielomianem  zmiennych  o współczynnikach z   Powiemy, że  ma miejsce zerowe w punkcie  jeśli  Stopniem jednomianu postaci  nazywamy sumę wykładników:  a stopniem wielomianu – największy stopień jednomianu wchodzącego w skład

Przed przystąpieniem do dowodu hipotezy przedstawiamy dwa lematy, których dowód jest ćwiczeniem dla Czytelnika. Nad ciałem nieskończonym (np. ) wielomian zerujący się w każdym punkcie ciała musi być tożsamościowo równy zeru (mieć wszystkie współczynniki zerowe). Zauważmy, że nie jest to prawda nad ciałami skończonymi – dla dowolnego ciała skończonego  wielomian  jest wielomianem stopnia  który zeruje się w każdym punkcie  a nie jest tożsamościowo równy zeru. Każdy wielomian o tej własności musi mieć jednak odpowiednio wysoki stopień, o czym mówi następujący lemat.

Dowód przebiega przez indukcję względem  Dla  jest to po prostu stwierdzenie, że wielomian jednej zmiennej, mający stopień  ma co najwyżej  miejsc zerowych. W szczególności, jeśli wielomian  ma stopień nie większy niż  i zeruje się w każdym punkcie  to musi być tożsamościowo równy zeru.

W dowodzie kluczowa jest obserwacja, że jednomianów w zmiennych  stopnia co najwyżej  jest dokładnie  wobec czego układ równań na współczynniki wielomianu  o zadanych właściwościach ma niezerowe rozwiązania.

Mając w ręku powyższe lematy, możemy przystąpić do dowodu hipotezy Kakeyi. Przypuśćmy, że istnieje zbiór Kakeyi  o mniej niż  elementach. Z Lematu 2 wnioskujemy, że istnieje nietrywialny wielomian  stopnia co najwyżej  zerujący się w każdym punkcie  Zbiór  jest zbiorem Kakeyi, więc dla dowolnego niezerowego wektora  zawiera on prostą w kierunku  czyli zbiór postaci  dla pewnego  Rozpatrzmy teraz obcięcie wielomianu  do prostej w kierunku  a więc wielomian jednej zmiennej  określony jako

Dla każdego  mamy  więc  zeruje się punkcie  Oznacza to, że  zeruje się w każdym punkcie ciała  a ponieważ (tak jak ) ma stopień co najwyżej  więc musi być tożsamościowo równy zeru. Zatem dla każdego  mamy

Oznaczmy stopień  przez  i rozpiszmy  na części jednorodne, czyli

gdzie  jest wielomianem złożonym z jednomianów stopnia dokładnie  Nietrudno sprawdzić, że dla dowolnego  wyraz wiodący wielomianu  a więc współczynnik przy  wynosi  Skoro  jest równy tożsamościowo zeru, to ma wszystkie współczynniki równe zeru, a więc dla każdego  zachodzi  Jednak  ma stopień  więc gdyby nie był tożsamościowo równy zeru, to na mocy lematu Schwartza–Zippela mógłby mieć co najwyżej  miejsc zerowych. Stąd wniosek, że  Założyliśmy jednak, że wielomian  ma stopień  czyli w szczególności  nie jest tożsamościowo równy zeru – otrzymujemy więc sprzeczność.

Wywnioskowaliśmy zatem, że dowolny zbiór Kakeyi  musi mieć moc  co z dokładnością do wyrazów niższego rzędu w   wynosi  Udowodniliśmy więc hipotezę Kakeyi ze stałą

Stosując bardziej wyrafinowany wariant metody wielomianowej – tzw. metodę krotności – można udowodnić hipotezę Kakeyi z asymptotycznie lepszą stałą  Z drugiej strony, znane są konstrukcje zbiorów Kakeyi rozmiaru bliskiego  dla dostatecznie dużego

Czytelnikowi zainteresowanemu tym zagadnieniem, a w szczególności innymi zastosowaniami metody wielomianowej, polecamy materiały ze strony http://warsztatywww.wikidot.com/www8:kody-ciala-igly przygotowane przez autorów artykułu.