Tym, którzy z powodzeniem przejdą przez egzamin maturalny, przyjdzie, być może, zetknąć się z liczbami zespolonymi. Mają one tę własność, że wśród nich znajdują się pierwiastki nawet tak opornych funkcji, jak Co więcej, każdy wielomian jednej zmiennej zespolonej o dowolnych współczynnikach (nie tylko całkowitych) ma pierwiastek zespolony. Dowód tego ważnego faktu, znanego powszechnie jako Zasadnicze Twierdzenie Algebry, młodzi adepci matematyki poznają w przynajmniej kilku odsłonach, nierzadko bardzo nieoczekiwanych.

Równanie  ma dwa pierwiastki zespolone:  oraz  Liczba pierwiastków pokrywa się zatem ze stopniem wielomianu i nie jest to żaden przypadek. Zamieniając  na dowolną inną funkcję kwadratową, nigdy nie dostaniemy więcej niż dwóch różnych miejsc zerowych. Co więcej, nie jest to fenomen dotyczący wyłącznie liczb zespolonych. Okazuje się, że ograniczenie nie powiększy się, o ile założymy przynajmniej tyle, że zarówno współczynniki, jak i dziedzina funkcji  wyposażone są w dowolną strukturę określaną w algebrze mianem ciała. Jak się jednak okaże „przynajmniej” nie zawsze znaczy „mało”.

Niepusty zbiór  nazwiemy ciałem, jeśli wolno w nim odpowiednio dodawać i mnożyć pary elementów. Działania te oznaczamy zwykle przez „ ” oraz „ ”. Co znaczy „odpowiednio”? Muszą być łączne i związane znanymi prawami rozdzielności. Każde ciało musi mieć zero, oznaczane przez „0”, oraz jedynkę, oznaczaną przez „1”. Są one elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia, a więc dodawanie zera i mnożenie przez jedynkę nie zmieniają elementu, który poddajemy tym operacjom. Każdy element musi mieć element przeciwny, a każdy poza zerem – element odwrotny. I rzecz dla nas kluczowa: działania „ ” i  „ ” mają być przemienne.

Wspomnieliśmy już o liczbach rzeczywistych i zespolonych. Są to przykłady ciał nieskończonych. Tymczasem już na zbiorze dwuelementowym można wprowadzić strukturę ciała. Rozważmy zbiór  Przyjmijmy, że działania dodawania i mnożenia określone są zgodnie z następującymi tabelkami:

Nietrudno zidentyfikować powyższe reguły z działaniami na resztach z dzielenia przez 2. Czytelnik bez trudu sprawdzi, że powyższe warunki zadają na zbiorze  strukturę ciała dwuelementowego, oznaczanego zwykle przez  Skoro mamy ciało, możemy rozważać funkcje kwadratowe i wyznaczać miejsca zerowe. Spójrzmy na funkcję  zadaną wzorem  której współczynniki należą przecież do  Podstawiając elementy dziedziny, dostajemy:

Ogólnie, dla każdej liczby pierwszej  zbiór  reszt z dzielenia przez  wyposażony w działanie dodawania i mnożenia reszt, jest ciałem.

Analogiczna struktura zadana na zbiorze reszt z dzielenia przez liczbę złożoną ciałem być nie może – zachęcamy Czytelnika do poszukiwania powodu.

Co oznacza bycie pierwiastkiem wielomianu  w ciele  Jest to, oczywiście, związane z podzielnością przez Jeśli rozważymy zbiór  liczb całkowitych, takich, które podniesione do kwadratu i powiększone o 1 są podzielne przez  to elementy tego zbioru dają co najwyżej dwie różne reszty z dzielenia przez  Które dwie? To już inna historia...

Postawmy jeszcze jedno pytanie. Czy funkcja  może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych? Odpowiedź brzmi: tak! Przykład dziedziny mającej tę własność jest tym bardziej zaskakujący, że znajduje się bardzo blisko ciał. Mowa tu bowiem o kwaternionach, uogólnieniu liczb zespolonych, których odkrycie, datowane na rok 1843, przypisuje się Hamiltonowi. Czym one są?

Konstruując ciało liczb zespolonych, do zbioru liczb rzeczywistych dokładaliśmy tajemniczy element  którego kwadrat był równy  Kwaterniony powstają na podobnej zasadzie, ale zamiast jednego elementu obcego rozważa się aż trzy. Nazwijmy je  Każdy z nich, podobnie jak jednostka urojona, ma tę własność, że jego kwadrat to  Co więcej, iloczyn dowolnych dwóch równy jest trzeciemu (z dokładnością do znaku). Dokładniej,

O ile dowolny element w ciele liczb zespolonych wyraża się jako  gdzie  w przypadku kwaternionów dowolny element przedstawia się jako  gdzie  to dowolne liczby rzeczywiste. Kwaterniony można dodawać i mnożyć (stosując analogiczną metodę jak dla liczb zespolonych). Działania są łączne, zachowane są prawa rozdzielności. Znajdą się, rzecz jasna, zero i jedynka. Niemniej jednak kwaterniony nie są ciałem, a powód podaliśmy już na starcie. Pogwałcona została przemienność mnożenia. Istotnie,  ale  Ta drobna (i jedyna!) różnica – brak przemienności mnożenia, który wyklucza kwaterniony z klasy ciał – ma poważne konsekwencje dla zliczania pierwiastków wielomianów.

Przyjrzyjmy się sprawie dokładniej. Funkcja  ma na pewno przynajmniej trzy kwaternionowe zera. Są to elementy  Za dużo jak na ciało, ale wciąż za mało jak na „nieskończenie wiele”. Podstawiajmy więc dalej:

Nie tylko otrzymaliśmy kolejne miejsce zerowe, lecz także złapaliśmy nieprzemienność kwaternionów na gorącym uczynku. Otrzymane zero to skutek reguły mnożenia elementów  W podobny sposób możemy otrzymać coraz więcej pierwiastków. Dokładny rachunek pokazuje, że wśród kwaternionów postaci  funkcja  zeruje się dokładnie na tych, w których współczynnik  równy jest  (tzw. kwaterniony czyste), a które leżą na sferze opisanej równaniem

Kwaterniony zaprowadziły nas zatem daleko od początkowych rozważań. Ale czy aby na pewno? Czy nie ma w tym żadnego podstępu? Pierwiastki przez nas wskazane, choć jest ich dużo, są bardzo podobne. Wiele z nich różni jedynie tzw. sprzężenie. Oznacza to, że jeśli utożsamilibyśmy wszystkie pary pierwiastków  dla których istnieje kwaternion odwracalny  taki, że spełniony jest warunek  to zostałyby nam dokładnie... dwa pierwiastki! I nie jest to przypadek, ale całkiem poważne twierdzenie i właściwość mająca analogię wśród wielomianów wyższych stopni. Ale o tym to już przy innej okazji...