Jeżeli mamy daną macierz kwadratową z wpisanymi w nią elementami ciała  to ciężko na pierwszy rzut oka stwierdzić, czy jej wyznacznik jest zerowy, czy nie. Sprawa okazuje się dużo prostsza, gdy mamy do czynienia z macierzą w postaci schodkowej (tzn. z taką, która ma zera poniżej głównej przekątnej). Wyznacznik takiej macierzy jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy na jej głównej przekątnej znajduje się co najmniej jedno  Aby sprowadzić naszą macierz do postaci schodkowej, użyjemy metody eliminacji Gaussa. Będziemy wykonywać dwa rodzaje operacji. Pierwszym będzie zamiana dwóch wierszy miejscami, a drugim będzie dodanie do ustalonego wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą. Jak wiadomo, operacja drugiego rodzaju nie zmienia wyznacznika macierzy, operacja pierwszego rodzaju natomiast zmienia jego znak, a więc nie zmienia tego, czy wyznacznik jest zerowy, czy nie.

Sprowadzając macierz do postaci schodkowej, najpierw musimy zadbać o to, aby w górnym lewym rogu naszej macierzy znalazł się jakiś niezerowy element. Jeżeli w pierwszej kolumnie są same zera, to przerywamy nasz algorytm, gdyż wyznacznik naszej macierzy na pewno jest równy  W przeciwnym przypadku, jeżeli w górnym lewym rogu jest już niezerowy element, to nic nie robimy, a jeśli nie, to zamieniamy pierwszy wiersz z którymś, w którym w pierwszej kolumnie znajduje się niezerowy element. Następnie musimy zadbać o to, aby w tej kolumnie nie było więcej niezerowych elementów, zatem jeżeli w górnym lewym rogu znajduje się element  a w innym wierszu w pierwszej kolumnie znajduje się element  to musimy do tego wiersza dodać pierwszy wiersz pomnożony przez  Zatem zrobiliśmy już wszystko, co mieliśmy zrobić z pierwszym wierszem i pierwszą kolumną, i dalej ograniczamy się do reszty naszej macierzy, dla której powtarzamy to postępowanie. Kończymy je w momencie, gdy w macierzy, która nam pozostała, w pierwszej kolumnie są same zera (wtedy wyznacznik równa się ) lub gdy szczęśliwie dojdziemy do końca (wtedy wyznacznik jest niezerowy).

Jak ta metoda może nam pomóc w obliczeniu prawdopodobieństwa, że dla kwadratowej macierzy  rozmiaru  w której każde pole jest wpisany z równym prawdopodobieństwem jakiś element ciała  jej wyznacznik jest niezerowy? Oznaczmy liczbę elementów ciała  przez  Zastanówmy się najpierw, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będziemy mogli wykonać pierwszą fazę algorytmu, czyli że w pierwszej kolumnie znajdzie się jakiś niezerowy element. Abyśmy nie mogli jej wykonać, w każdym z  pól pierwszej kolumny musi znaleźć się  a znajduje się ono w każdym polu z prawdopodobieństwem  Zatem prawdopodobieństwo tego, że będziemy mogli wykonać pierwszą fazę algorytmu, wynosi  Nietrudno przekonać się o tym, że nie tylko w pierwszej, ale w dowolnej, -tej fazie algorytmu, rozkład prawdopodobieństwa wartości znajdujących się w polach -tej kolumny, jest jednostajny. Stosując analogiczną argumentację wnioskujemy, iż prawdopodobieństwo tego, że będziemy mogli wykonać -tą fazę, o ile będziemy mogli wykonać pierwsze  faz, jest równe

Stąd otrzymujemy końcowy wynik, że prawdopodobieństwo wykonania całego algorytmu, czyli prawdopodobieństwo tego, że wyznacznik macierzy będzie różny od  jest równe

Zajmijmy się teraz następującym problemem. Rozważmy graf skierowany o  wierzchołkach, w którym dla każdej uporządkowanej pary liczb  takiej że  krawędź skierowana od wierzchołka  do wierzchołka  występuje z prawdopodobieństwem  (w szczególności, w tym grafie mogą występować pętle). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w tym grafie jest nieparzysta liczba pokryć cyklowych?

A czym właściwie są pokrycia cyklowe? Otóż pokrycie cyklowe to taki zbiór  krawędzi grafu, że z każdego wierzchołka wychodzi dokładnie jedna krawędź i do każdego wierzchołka wchodzi dokładnie jedna krawędź z tego zbioru. Przedstawia się ono jako zbiór rozłącznych cykli o łącznej długości  Każde pokrycie cyklowe możemy utożsamiać z -elementową permutacją  w której  jest numerem wierzchołka, do którego wchodzi krawędź wychodząca z wierzchołka o numerze  Permutacja  reprezentuje pokrycie cyklowe, jeżeli dla każdego  istnieje krawędź z wierzchołka  do wierzchołka

Zapiszmy nasz graf w postaci macierzy sąsiedztwa  czyli macierzy kwadratowej o wymiarach w której w polu  jest  jeżeli istnieje krawędź od wierzchołka  do wierzchołka  a w przeciwnym przypadku jest tam  A jak na tę macierz przenoszą się pokrycia cyklowe? Rozpatrzmy pewne pokrycie cyklowe i zaznaczmy w naszej macierzy pola odpowiadające krawędziom należącym do pokrycia. Będzie to  takich pól, że żadne dwa pola nie znajdują się w tym samym wierszu ani w tej samej kolumnie i, w dodatku, wszystkie te pola mają wartość  Zatem iloczyn liczb w tych polach będzie równy  A co dzieje się z permutacjami, którym nie odpowiadają pokrycia cyklowe? Jeżeli zaznaczymy w analogiczny sposób w naszej macierzy pola odpowiadające potencjalnym krawędziom z tej permutacji, to skoro nie reprezentowała ona pokrycia cyklowego, to w co najmniej jednym zaznaczonym polu znajdzie się  W takim razie iloczyn liczb w tych polach będzie równy  Możemy zatem wysunąć wniosek, że liczba pokryć cyklowych w tym grafie jest równa

gdzie  to zbiór wszystkich -elementowych permutacji, a  to wartość pola  w macierzy sąsiedztwa. Powyższą liczbę nazywa się też permanentem macierzy  Przypatrzmy się teraz wzorowi permutacyjnemu na wyznacznik macierzy:

gdzie  jest liczbą inwersji w permutacji  ale dla nas istotne będzie to, że  może przyjmować tylko wartości  i  a skoro te dwie liczby są tej samej parzystości, zatem permanent i wyznacznik macierzy całkowitoliczbowej są tej samej parzystości. Zauważmy jeszcze, że to, czy wyznacznik takiej macierzy sąsiedztwa jest parzysty, to po prostu pytanie, czy wyznacznik tej macierzy jest zerowy, jeżeli potraktujemy macierz sąsiedztwa jako macierz nad ciałem  W dodatku, sposób, w jaki losowaliśmy krawędzie grafu, odpowiada sposobowi, w jaki losowaliśmy elementy macierzy we wcześniejszej części artykułu. Z połączenia tych faktów otrzymujemy wniosek, że prawdopodobieństwo tego, że liczba pokryć cyklowych naszego grafu jest nieparzysta, jest równe