Kącik początkującego olimpijczyka

U(nie)jednorodnianie nierówności

Standardowym postępowaniem jest ujednorodnianie dowodzonych nierówności za pomocą danego w zadaniu warunku. Ciekawiej jest na odwrót - gdy mamy udowodnić jednorodną nierówność, możemy często założyć coś dodatkowo o występującej w niej zmiennych. Naprawdę!

W całym artykule stosujemy oznaczenia $=(x1,...,xn) X$ oraz
$=(ax1,ax2,...,axn)aX .$ Będziemy pisać $) F(X$ dla oznaczenia wyrażenia, w którym występują zmienne $|x1,x2,...,xn.$ Zbiór $Rn+$ stanowią te $,X$ w których $|x,...,x > 0. 1 n$

Stopniem jednomianu $)=xk11...xknn |J(X$ nazywamy liczbę $|d = k + ...+ k . 1 n$ Równość $)=adJ(X) |J(aX$ jest podstawą do uogólnienia pojęcia stopnia: jeśli istnieje takie $d,$ że dla każdego $|a > 0$ zachodzi równość $)=adF(X), F(aX$ to wyrażenie $|F$ nazywamy jednorodnym, a liczbę $d$ - jego stopniem. Zauważmy, że dla każdego $|d$ możemy powiedzieć, że wyrażenie zerowe ma stopień $d.$

Nierówność $), |𝒩(X$ w której występują zmienne $|x1,...,xn,$ nazywamy jednorodną, jeśli obie jej strony są wyrażeniami jednorodnymi tego samego stopnia.

Załóżmy, że nierówność $) 𝒩(X$ jest pod pewnym warunkiem $|𝒲$ równoważna jednorodnej nierówności $∗ ), 𝒩 (X$ przy czym warunek $|𝒲$ ma postać $)=F2(X), F1(X$ w której $F1$ i $F2$ są jednorodnymi wyrażeniami różnych stopni, które przyjmują wyłącznie dodatnie wartości. Jest wówczas jasne, że jeśli $) |𝒩∗(X$ zachodzi dla wszystkich $n ∈R+,X$ to $) 𝒩(X$ zachodzi dla wszystkich $n ∈R+ |X$ spełniających warunek $|𝒲.$

Takie postępowanie spotykamy dość często - za pomocą danego warunku $|𝒲$ ujednorodniamy nierówność po to, by ją wykazać w postaci jednorodnej. Dzięki powyższemu twierdzeniu ten ostatni krok można wykonać już bez korzystania z warunku $𝒲.$ Taką metodą rozwiązujemy zadania 1-4, a także zadanie 5 z kącika nr 5.

Mniej oczywiste i dość zaskakujące jest to, że ta implikacja działa również w drugą stronę: jeśli $) 𝒩(X$ zachodzi dla wszystkich $n ∈R+ X$ spełniających warunek $𝒲,$ to $) |𝒩 ∗(X$ zachodzi dla wszystkich $∈Rn+. X$
Dla dowodu ustalmy dowolne $n ∈R+ X$ oraz połóżmy $)/F2(X) r = F1(X$ i $1~ d2−d1 |a = r$ ( $d1$ i $d2$ są stopniami odpowiednio $|F1$ i $|F2$ ). Otrzymujemy wtedy równości

)=ad1F1(X)=ad1rF2(X)=ad1ra−d2F2(aX)=F2(aX), F1(aX

czyli zachodzi warunek $| 𝒲.$ Z tego wynika, że nierówności $),𝒩∗(aX)𝒩(aX$ i $) 𝒩 ∗(X$ są równoważne, co kończy dowód wobec dowolności $. X$

Konsekwencją tego faktu jest to, że przy dowodzeniu nierówności jednorodnej dodatnich zmiennych możemy dodatkowo przyjąć dowolny warunek $𝒲$ mający wyżej opisaną postać. Można to poćwiczyć na zadaniach 5-7.