Kącik początkującego olimpijczyka

Wykładniki $p$ -adyczne

O wygodnym narzędziu, przydatnym wszędzie tam, gdzie spotykamy rozkład na czynniki pierwsze

Niech $|n≠ 0$ będzie liczbą całkowitą, zaś $p$ liczbą pierwszą. Wówczas największą taką liczbę całkowitą nieujemną $|α,$ dla której $pα n,$ nazywamy wykładnikiem $p$ -adycznym liczby $n$ i oznaczamy $ν p(n).$ Dodatkowo przyjmujemy, że $ν (0) = +∞ . p$

Wykładniki $p$ -adyczne mają następujące własności dla całkowitych $|a,b$ i dowolnej liczby pierwszej $|p$ :

(1): $νp(ab) = νp(a) + νp(b)$ ; dla $a b$ mamy $νp(b/a) = νp(b) − νp(a)$ ;
(2): jeśli $|ν (a) < ν (b), p p$ to $ν (a + b) = ν (a) p p$ ;
(3): jeśli $|νp(a) =νp(b),$ to $νp(a + b)⩾ νp(a).$

Dowód. Przypadek $a = 0$ lub $b = 0$ jest trywialny, więc go pominiemy. Niech $a = pαn$ i $b = pβm,$ przy czym $p | m, n.$ Równość $|ab = p α+β mn$ i niepodzielność $p | mn$ dowodzą pierwszej części własności (1). Druga część jasno wynika z pierwszej. Aby wykazać (2) i (3), zapiszmy $|a+ b = pα(m + npβ−α).$ Korzystając z (1) mamy $|νp(a+ b) = α +νp(m + np β−α).$ Jeśli $α < β,$ to $|p m + np β−α,$ a jeśli $α = β,$ to liczba $|m +np β−α= m + n$ może, choć nie musi, być podzielna przez $p.$

We własnościach (2) i (3) dodawanie można zastąpić odejmowaniem, dowód jest praktycznie taki sam. Indukcyjnie otrzymamy następujące uogólnienie na liczby całkowite $|a,b,c,...$ :

(2'): jeśli w ciągu $(νp(a),νp(b),νp(c),...)$ istnieje dokładnie jeden wyraz najmniejszy, to $νp(a + b +c + ...) = min{ νp(a),ν p(b), νp(c),...}$ ;
(3'): w każdym przypadku $ν (a + b +c + ...) ⩾min{ ν (a),ν (b), ν (c),...}. p p p p$

Posługując się twierdzeniem o jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze, można wykazać, że dla liczb całkowitych dodatnich $|a,b,c,...$ :

(4): $a = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby pierwszej $p$ zachodzi równość $ν p(a) = νp(b)$ ;
(5): $a b$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby pierwszej $p$ zachodzi nierówność $νp(a) ⩽ νp(b)$ ;
(6): $νp( NWD(a, b,c,...)) = min{ν p(a),νp(b),νp(c),...}$ ;
(7): $νp( NWW[a, b,c,...]) = max{ νp(a),νp(b),ν p(c),...}$ ;
(8): liczba $a$ jest $k$ -tą potęgą liczby naturalnej wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby pierwszej $p$ zachodzi podzielność $k νp(a).$

Dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

Delta mi!

Kącik początkującego olimpijczyka

Wykładniki $p$ -adyczne

Zadania