Składanie inwersji z symetrią

Delta, kwiecień 2020

o artykule ...

Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2020
Wersja do druku [application/pdf]: (390 KB)

Inwersja jest bardzo pożytecznym przekształceniem, które ma szerokie zastosowanie w zadaniach związanych z okręgami. W wielu z nich opłaca się stosować ją w taki sposób, aby nie mnożyć punktów - innymi słowy tak dobrać promień inwersji, aby obrazy interesujących nas punktów wypadały w innych punktach rozważanej konfiguracji. Zdarza się jednak, że do uzyskania tego efektu potrzebujemy dodatkowo złożyć inwersję z symetrią.

Rozważmy mianowicie trójkąt $ABC$ wpisany w okrąg $o. |$ Jeśli zastosujemy inwersję o środku w punkcie $|C$ (i przez $A |$ i $B | ′$ oznaczymy obrazy, odpowiednio, punktów $A$ i $B |$ ), to otrzymamy trójkąt $|A$ który będzie podobny do trójkąta $BAC.$ Jeśli promień inwersji będzie równy $√ -------- | CA ,$ to trójkąt $A$ będzie przystający do trójkąta $ABC$ (Rys. 1). Znacznie lepszym podejściem jest rozważenie złożenia inwersji o środku $|C$ i promieniu $CA √ --------$ z symetrią względem dwusiecznej kąta $|ACB.$ Przekształcenie to, podobnie jak inwersja, jest inwolucją, czyli złożone same z sobą daje identyczność. W takim razie zamienia ono każdy obiekt z jego obrazem. W szczególności przekształcenie to zamienia punkty $|A$ i $B, |$ półproste $|CA$ i $CB |$ oraz wymienia prostą $AB |$ z okręgiem opisanym na trójkącie $ABC.$ Ponadto posiada ono wszystkie własności inwersji - np. zachowuje kąty. Przekonajmy się o jego przydatności na kilku przykładach.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi, Wielokąty, Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Składanie inwersji z symetrią»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Składanie inwersji z symetrią
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (390 KB)

Rozwiązanie

$obrazek$

Narzędzia
Obiekty: Okręgi, Wielokąty, Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Składanie inwersji z symetrią»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Składanie inwersji z symetrią
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (390 KB)

Rozwiązanie

$obrazek$

Jeśli $AC$ to punkty $C$ i $S |$ pokrywają się i punkty $P,I,S$ leżą na dwusiecznej $CI.$ Dalej zakładamy, że $AC |$ Wówczas punkty $|C$ i $S |$ są różne, zaś proste $CS$ i $AB |$ nie są równoległe. Rozważmy złożenie inwersji o środku $C$ i promieniu $√ -------- | CA$ z symetrią względem dwusiecznej kąta $ACB.$ Przekształcenie to zamienia półproste $|CA$ i $CB |$ oraz prostą $AB |$ z okręgiem $o. |$ Tak jak w poprzednim zadaniu uzasadniamy, że obrazem okręgu $ω$ jest okrąg dopisany do trójkąta $|ABC$ styczny do boku $AB |$ w punkcie $P | ′,$ który jest obrazem punktu $|P$ w tym przekształceniu. Ponieważ $CS$ jest dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku $C$ trójkąta $ABC, |$ to proste $CS |$ i $CI |$ są prostopadłe. W takim razie obrazem punktu $S |$ jest punkt $′ |S$ przecięcia prostej $CS$ (która jest swoim własnym obrazem) z prostą $AB$ (która jest obrazem okręgu $|o$ ). Niech $I′$ będzie obrazem punktu $I.$ Wtedy z definicji inwersji mamy

CI

czyli

CI-- CB-- CA= CI.

Z powyższego i z równości $|?ACI$ (bo inwersja zachowuje kąty) otrzymujemy, że trójkąty $ACI$ i $I |′CB$ są podobne. W takim razie $|?AIC .$ Ponieważ $?AIC$ to mamy

90○+ 1-?ABC 2

skąd

?ABI

Zatem $BI′$ jest dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku $|B$ trójkąta $ABC,$ więc $I |′$ jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta $ABC.$ W takim razie $′ ′′ ○ ?S | P I = 90 ,$ co wraz z równością $|?S ′CI$ (bo $CS$ ) oznacza, że punkty $|P′,$ $I′,S′$ i $C$ leżą na jednym okręgu. To zaś jest równoważne z tym, że punkty $P ,I,S$ są współliniowe.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi, Wielokąty, Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Składanie inwersji z symetrią»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Składanie inwersji z symetrią
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (390 KB)

Rozwiązanie

$obrazek$

Niech $BC = a, AC = b,p$ to połowa obwodu trójkąta $ABC, γ$ to miara kąta $|ACB,$ zaś $r |$ to promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC.$ Inwersja o środku $C$ i promieniu $-------- √ CA ⋅CB$ złożona z symetrią względem dwusiecznej kąta $|ACB$ przeprowadza okrąg $|ω$ na okrąg dopisany do trójkąta $ABC$ styczny do boku $AB |$ w punkcie $F, |$ a punkty $|D$ i $E |$ odpowiednio na punkty $D$ i $E ′∈ AC.$ Ponieważ $|AE ′= AF$ i $BD$ to

CD

co wraz z równością $CD$ prowadzi do wniosku, że $|CD$ Z drugiej strony z definicji inwersji mamy

CD

zatem

CD

$obrazek$

Oprócz składania inwersji z symetrią osiową możemy także złożyć inwersję z symetrią środkową (o środku w środku inwersji). Zobaczmy to na poniższym przykładzie.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi, Wielokąty, Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Składanie inwersji z symetrią»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Składanie inwersji z symetrią
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (390 KB)

Trójkąt różnoboczny $ABC$ jest wpisany w okrąg $o. |$ Punkty $|D,$ są środkami łuków $|BC,CA, AB$ niezawierających pozostałych wierzchołków trójkąta. Punkty $D$ są symetryczne do punktów $|D,$ odpowiednio względem boków $|BC,CA, AB.$ Wykazać, że punkty $|D,$ oraz ortocentrum trójkąta $ABC$ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Niech $A ,B 1 1$ i $|C 1$ będą spodkami wysokości trójkąta $|ABC$ poprowadzonymi odpowiednio z wierzchołków $|A, B, C.$ Ponieważ na czworokątach $|ABA1B1$ i $BCB1C1$ można opisać okręgi, to

AH

$obrazek$

Rozważmy inwersję o środku $|H$ i promieniu $r |$ złożoną z symetrią środkową względem punktu $H.$ Obrazami punktów $A, | B,C$ są zatem punkty $|A1, B1,C1.$ Ponieważ

$pict$

to punkty $A, F′,H,$ leżą na jednym okręgu, który w rozważanym przekształceniu przechodzi na prostą $A B . 1 1$ Obrazem punktu $F ′$ jest punkt $|F1$ przecięcia prostych $′ F H$ i $A1B1.$ Analogicznie stwierdzamy, że w tym przekształceniu punkt $D$ przechodzi na punkt $D1 |$ przecięcia prostych $|D$ i $B1C1,$ a punkt $E ′$ przechodzi na punkt $E1$ przecięcia prostych $|E′H$ i $C |A . 1 1$

Wystarczy udowodnić, że punkty $|D1,$ leżą na jednej prostej. Stosując twierdzenie Menelausa dla trójkąta $A B C, 1 11$ widzimy, że wystarczy wykazać, że

A1F1 B1D1 C1E1 -----⋅-----⋅-----= 1. B1F1 C1D1 A1E1

(*)

Wykorzystując wzór na odległość obrazów inwersyjnych, otrzymujemy

2 2 A1F1 = AF ′⋅---r----- oraz B1F1 = BF ′⋅--r-----. HF HF

Uwzględniając równość $AF ′= BF ′,$ widzimy, że

A1F1- HB-- B F = HA. 1 1

Analogicznie uzasadniamy, że

B1D1 HC C1E1 HA -----= ---- oraz -----= ----. C1D1 HB A1E1 HC

Mnożąc te trzy równości stronami, dostajemy $(∗),$ co kończy rozwiązanie.

Na koniec artykułu zostawiamy kilka zadań dla Czytelników.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi, Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Składanie inwersji z symetrią»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Składanie inwersji z symetrią
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (390 KB)

Narzędzia
Obiekty: Okręgi, Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Składanie inwersji z symetrią»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Składanie inwersji z symetrią
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (390 KB)

Trapez $ABCD$ o podstawach $AB |$ i $CD |$ jest wpisany w okrąg $o . 1$ Okrąg $|o2$ jest styczny do odcinków $BC$ i $CA |$ oraz jest styczny wewnętrznie do okręgu $o1$ w punkcie $F.$ Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do odcinka $AB$ w punkcie $E. |$ Dowieść, że punkty $,E,F |D$ leżą na jednej prostej.