Przeskocz do treści

Delta mi!

Temat » Matematyka » Algebra

Kącik początkującego olimpijczyka

Trójmian kwadratowy

Bartłomiej Bzdęga

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: październik 2019
  • Publikacja elektroniczna: 30 września 2019
  • Wersja do druku [application/pdf]: (388 KB)

O stosowaniu podstawowej wiedzy szkolnej na temat funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań olimpijskich.

Ustalmy liczby rzeczywiste |a,b i c, przy czym a ≠ 0. Wyrażenie |ax2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym zmiennej |x o współczynnikach a,b i c, natomiast funkcję f (x) = ax2 + bx +c - funkcją kwadratową.

Trójmian kwadratowy można zapisać następująco:

ax2 + bx + c= a(x − p)2 +q = a(x − x)(x − x ), 1 2 postać normalna postaćkanoniczna postaćiloczynowa

gdzie ∆ = b2 −4ac, p = −2ba , q = −4∆a , -- |x1 = −b−2a∆-, -- |x2 = −b+2a∆ (o ile |∆ ⩾0 ). Dowód, który polega na zwykłym przemnażaniu, wspaniałomyślnie pomijamy.

Każda z powyższych postaci ma swoje unikalne zastosowania. Postać kanoniczna mówi nam, że funkcja kwadratowa przyjmuje wartość najmniejszą (gdy |a > 0 ) lub największą (gdy a < 0 ) równą q dla argumentu |x = p. Tę postać wykorzystujemy w zadaniach 2 i 4. Postać iloczynowa jest pomocna w zadaniu 10.

Wyżej określone liczby x1 i x2 nazywamy pierwiastkami trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c. Są to miejsca zerowe funkcji kwadratowej 2 | f(x) == ax + bx + c - jest jasne (postać iloczynowa), że f(x1) = f (x2) = 0. Jeśli |∆ ⩾0, to trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeśli |∆ = 0, to jeden (x1 = x2). Jeśli ∆ < 0, to trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Warto jeszcze wspomnieć, że funkcja kwadratowa jest ciągła, więc ma własność Darboux - jeżeli |y < y 1 2 są wartościami pewnej funkcji kwadratowej, to wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału |[y1,y2] też są jej wartościami. Korzystamy z tego w zadaniach 3 i 9.

Porównując postać iloczynową i normalną, otrzymamy |x1 + x2 = − ba i x1x2 = ac. Są to wzory Viete'a, którymi warto się posłużyć w zadaniach 1, 5 i 7.