Delta mi!

Gdy płytka wysunięta jest z kondensatora na odległość pojemność kondensatora wynosi energia ładunek na okładkach Oznaczając przez zmianę energii kinetycznej kondensatora, gdy położenie płytki zmienia się o możemy napisać bilans energii:

gdzie jest pracą źródła. Stąd

Rys. 1

Rys. 2

Gdy jest małe, możemy przyjąć, że siła działająca na dielektryk wzdłuż osi nie zmienia się, zatem Dla dodatnich energia kinetyczna maleje, dielektryk jest więc wciągany do kondensatora siłą o stałej wartości

jego położenie opisane jest wzorem prędkość gdzie Dielektryk wykonuje więc drgania wokół położenia równowagi dla gdzie prędkość osiąga maksymalną wartość Okres drgań wynosi Zależność położenia i prędkości dielektryka od czasu przedstawiona jest na wykresach (rysunki 1 i 2), wykres położenia składa się z fragmentów parabol.

Gdy kamień osiąga maksymalną wysokość, jego przyspieszenie jest prostopadłe do toru i jest przyspieszeniem dośrodkowym: gdzie jest promieniem krzywizny toru w rozważanym punkcie. Promień krzywizny toru w odpowiadającym punkcie na rysunku wynosi Przyspieszenie żuczka jest prostopadłe do toru (bo jego wartość prędkości jest stała) i wynosi

Każdy maszynista usłyszy wynik interferencji dźwięków dwu sygnałów: "własnej" lokomotywy i lokomotywy nadjeżdżającej z przeciwka. Częstość pierwszego z sygnałów nie ulegnie zmianie, a drugi, na skutek zjawiska Dopplera, będzie odbierany jako dźwięk o częstości :

Złożenie harmonicznych sygnałów o częstości i daje sygnał o częstości o amplitudzie modulowanej z częstością Podstawiając dane, otrzymujemy: , i

Niech całkowita moc promieniowania Słońca wynosi W odległości od Słońca na jednostkę powierzchni pada moc Oświetlona w tej odległości powierzchnia kuli o promieniu współczynniku odbicia staje się wtórnym źródłem wysyłającym promieniowanie o mocy w kąt bryłowy (oświetlona jest półkula), a więc w odległości równej odległości Księżyca od Ziemi przypadająca na jednostkę powierzchni moc światła odbitego od Ziemi, wynosi:

W analogicznym obliczeniu oświetlenia powierzchni Ziemi przez Księżyc, należy zastąpić przez i przez a przez sumę odległości Ziemia-Słońce i Ziemia-Księżyc (podczas pełni Księżyc jest po przeciwnej stronie Ziemi niż Słońce), Ostatnie przybliżenie uwzględnia niewielką odległość Ziemia-Księżyc w porównaniu z odległością Ziemia-Słońce. Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy:

Prędkość spadającej piłeczki w momencie uderzenia w nieruchomą rakietkę wynosi gdzie to przyspieszenie ziemskie. Po odbiciu piłeczka uzyskuje prędkość Niech teraz rakietka w momencie odbicia piłeczki porusza się ku górze z prędkością W układzie współrzędnych, związanym z rakietką, piłeczka ma w momencie zderzenia prędkość Po zderzeniu jej prędkość w tym układzie odniesienia wyniesie czyli w nieruchomym układzie odniesienia będzie miała prędkość Ponieważ po podbiciu piłeczka ma się wznieść na taką wysokość, z jakiej spadła, to musi być spełniona zależność a stąd

Opierając się na analizie wymiarowej, możemy napisać, że dla sprężyn o jednakowym kształcie gdzie - stała bezwymiarowa, - któryś z geometrycznych rozmiarów sprężyny, - moduł Younga. Wyobraźmy sobie trzecią sprężynę o średnicy i długości wykonaną z drutu o średnicy . Miałaby ona współczynnik sprężystości trzy razy większy od sprężyny pierwszej, to znaczy Równocześnie współczynniki sprężystości trzeciej i drugiej sprężyny pozostają w stosunku 3/7. Stąd otrzymujemy, że współczynnik sprężystości drugiej sprężyny wynosi

(Rozważając zależność współczynnika sprężystości od długości sprężyny, zauważmy, że, na przykład, szeregowe połączenie jednakowych sprężyn, każda o współczynniku sprężystości daje sprężynę o współczynniku sprężystości )

Szukane pole magnetyczne ma linie równoległe do ponieważ wewnątrz powierzchni walcowej nie płynie żaden prąd. Jeżeli elektron porusza się po okręgu o promieniu i ma w danej chwili prędkość to działająca na niego siła dośrodkowa jest siłą Lorentza: zatem jego prędkość rośnie liniowo w czasie. Prędkość tę uzyskuje elektron dzięki sile elektrycznej Wektor natężenia pola elektrycznego o długości jest styczny do okręgu. Z prawa Maxwella wiemy, że krążenie pola elektrycznego wzdłuż okręgu o promieniu ma wartość bezwzględną

gdzie jest zmianą w czasie strumienia pola przez powierzchnię objętą okręgiem, jest zmianą strumienia szukanego pola Ponieważ nie zależy od czasu, musi być liniową funkcją czasu:

Wartość szukanego pola magnetycznego dana jest wzorem:

zwrot linii pola magnetycznego jest zgodny z

Ciągła linia na rysunku oznacza położenie równowagi - sprężyna jest ściśnięta o Dolna płytka oderwie się od podłoża, gdy siła powodująca dodatkowe ściśnięcie sprężyny o będzie większa od ciężaru układu, czyli spełniony będzie warunek W chwili oderwania sprężyna będzie wydłużona o Prędkość górnej płytki w chwili oderwania dolnej znajdujemy z zasady zachowania energii:

Stąd

Prędkość środka masy układu w momencie oderwania to Po oderwaniu środek masy porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym i wznosi się na wysokość

Wysokość, na jaką wzniesie się środek masy układu od chwili rozpoczęcia ruchu, wynosi Jeśli dolna płytka pozostaje w spoczynku, a górna porusza się ruchem harmonicznym wokół położenia równowagi z amplitudą czyli wznosi się na maksymalną wysokość Zatem odpowiedź na postawione pytanie jest następująca: maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się środek masy układu, dana jest wzorem:

Niech odległość między szczelinami wynosi Wówczas kolejne prążki interferencyjne pojawią się pod kątami spełniającymi warunek gdzie jest rzędem prążka, długością fali de Broglie'a, jest stałą Plancka, a pędem molekuły o masie Rozrzut prędkości prowadzi do poszerzenia prążków. Obserwacja prążków rzędu wymaga, by prążki "nie zachodziły na siebie", czyli (dla niedużych katów sinus jest funkcją rosnącą): gdzie i oznaczają górną i dolną granicę przedziału długości fal de Broglie'a wiązki. Ostatecznie otrzymujemy

Granica możliwej do osiągnięcia dokładności pomiaru położenia wynika z zasady nieoznaczoności Heisenberga: gdzie i to odpowiednio dokładność pomiaru współrzędnej i pędu w kierunku a Js jest stałą Plancka podzieloną przez

Długość fali de Broglie'a cząstki o pędzie wynosi Mamy więc

Dla cząstki swobodnej energia kinetyczna to gdzie oznacza masę cząstki. Stąd w przybliżeniu mamy

Ostatecznie otrzymujemy

Przed zamknięciem klucza energia naładowanego kondensatora wynosi , a jego ładunek jest równy Po zamknięciu klucza napięcie na równolegle połączonych kondensatorach ma wartość Energia układu kondensatorów wynosi i jest mniejsza od początkowej o wielkość , równą całkowitemu wydzielonemu ciepłu Natężenie prądu płynącego przez oba oporniki podczas przeładowywania kondensatorów jest w każdej chwili jednakowe, zatem ciepło wydzielone na oporze dane jest wzorem Ostatecznie

gdzie

Oznaczmy współczynnik samoindukcji uzwojenia pierwotnego w pierwszym przypadku przez w drugim przez Współczynnik samoindukcji cewki jest proporcjonalny do przenikalności magnetycznej rdzenia, stąd Uzwojenie możemy traktować jako połączenie szeregowe oporu czynnego oraz indukcyjnego gdzie jest częstością napięcia zasilającego. Amplituda napięcia na oporze indukcyjnym wynosi

Ponieważ zakładamy, że strumienie pola magnetycznego przez uzwojenia pierwotne i wtórne są jednakowe, zachodzi związek stąd

Po zamianie rdzenia amplituda napięcia na otwartym uzwojeniu wtórnym dana jest wzorem

Widać stąd, że dla normalnej pracy transformatora konieczne jest, aby opór czynny uzwojenia pierwotnego był niewielki w porównaniu z oporem indukcyjnym.

Z każdego punktu Słońca na soczewkę albo zwierciadło pada wiązka promieni równoległych. Wiązki wychodzące z różnych punktów nie są równoległe do siebie. Obraz Słońca powstaje w płaszczyźnie ogniskowej soczewki albo zwierciadła, a jego promień wynosi gdzie jest promieniem kątowym Słońca widzianego z Ziemi, a ogniskową soczewki albo zwierciadła. Obraz pozorny Słońca w zwierciadle wypukłym o ogniskowej ma promień jest przedmiotem dla zwierciadła wklęsłego o ogniskowej i znajduje się w odległości od niego równej Obraz, który powstaje w zwierciadle wklęsłym, oddalony jest od niego o

Powiększenie tego obrazu wynosi

zatem jego promień to

Szukana ogniskowa soczewki wynosi

Klocek ruszy z miejsca, gdy rozciągnięcie sprężyny osiągnie wartość i przyjmijmy tę chwilę za początkową. W układzie odniesienia związanym ze swobodnym końcem sprężyny klocek zacznie oddalać się ruchem harmonicznym od położenia równowagi ( na rysunku), gdzie wydłużenie sprężyny wynosi W chwili początkowej prędkość klocka wynosi a jego odległość od położenia równowagi jest równa

Z zasady zachowania energii maksymalna odległość klocka od położenia równowagi wynosi

W tym położeniu prędkość klocka względem podłoża osiągnie wartość Ruch klocka do chwili, gdy oddali się na maksymalną odległość opisuje wzór gdzie Z warunku początkowego otrzymujemy przesunięcie fazowe Czas po którym odległość od położenia równowagi osiągnie wartość dostajemy ze wzoru Odległość klocka od położenia początkowego w układzie związanym z końcem sprężyny równa jest Szukana droga przebyta przez klocek w układzie związanym z podłożem wynosi

Kulka może trafić do krawędzi po jednym lub większej liczbie odbić od dna i towarzyszących im ewentualnie odbiciach od ścianek studni. Jeżeli nastąpiło odbić od dna, to kulka znajdzie się na wysokości od dna studni po czasie

W tym momencie kulka powinna się znaleźć przy prawej ściance studni. Oznacza to, że droga, przebyta przez nią w kierunku poziomym gdzie jest liczbą uderzeń kulki o pionowe ścianki studni. Stąd otrzymujemy, że prędkość kulki w punkcie powinna być równa:

Podzielmy pierścień na małe odcinki, takie że Na każdy odcinek działają siły naciągu pierścienia i reakcji walca Ich suma jest równa zero, bo pierścień nie obraca się. Stąd

co dla małych daje Stąd możemy obliczyć siłę tarcia, działającą na taki odcinek, przy przesuwaniu pierścienia wzdłuż walca:

Sumując siły tarcia, działające na wszystkie małe odcinki pierścienia, na które podzieliliśmy jego długość, otrzymujemy całkowitą siłę tarcia:

W obu przypadkach (kondensatora i przewodnika) przebieg linii sił pola elektrycznego jest taki sam: wektor natężenia pola elektrycznego w każdym punkcie powierzchni każdej z elektrod jest do tej powierzchni prostopadły, a jego wartość jest proporcjonalna do napięcia między elektrodami. Powierzchniowa gęstość ładunku w każdym punkcie elektrody kondensatora jest równa gdyż przenikalność elektryczna powietrza jest praktycznie równa przenikalności próżni. Normalna składowa gęstości prądu jest także proporcjonalna do wartości pola i jest równa W związku z tym, przy tym samym napięciu całkowity ładunek zgromadzony na powierzchni elektrod jest proporcjonalny do całkowitego prądu który popłynie po wypełnieniu kondensatora roztworem soli. Otrzymujemy więc:

Po podstawieniu danych liczbowych

(a) Liczba elektronów równa jest, oczywiście, liczbie protonów w atomach naszego ciała. Każdy gramoatom pierwiastka to atomów. Gramoatom to liczba gramów pierwiastka równa (z bardzo dobrym przybliżeniem sumie liczb protonów i neutronów jądra atomu). Ciało człowieka zbudowane jest głównie z atomów tlenu, węgla wodoru, azotu. Poza wodorem wymienione pierwiastki występują niemal wyłącznie w postaci izotopów o równej liczbie protonów i neutronów, a więc w każdym ich gramoatomie mamy protonów. Wodór to niemal wyłącznie izotop najczęściej związany w cząsteczkach wody (stanowiącej składnik żywych komórek). W cząsteczce wody mamy 10 protonów i 8 neutronów, co oznacza, że jeśli pominiemy niewielką różnicę mas protonu i neutronu, to masy wody przypada na protony. Z dokładnością do możemy więc przyjąć, że średnio 1 g naszego ciała zawiera około g protonów, a więc około protonów i tyle samo elektronów.

(b) Stosunek liczby protonów do liczby wszystkich nukleonów w jądrze jest dla większości naturalnie występujących izotopów bliski i nieznacznie maleje ze wzrostem liczby atomowej do około 0,39 dla Wyjątek (patrz (a)) stanowi wodór, który niemal wyłącznie występuje jako izotop ale stanowi on niewielką część masy otaczających nas substancji (np. tylko 10% masy wody). Zatem dla otaczającej nas materii wynik jest taki sam, jak dla naszego ciała.

Oznaczmy przez głębokość zanurzenia klocka po ustaleniu się równowagi, a przez wzrost poziomu cieczy w naczyniu. Zgodnie z prawem Archimedesa Z rysunku widać, że zachodzi związek

Stąd

Wzrost poziomu cieczy możemy też wyliczyć, wiedząc, że parcie na dno zwiększyło się o ciężar klocka, a z drugiej strony ciśnienie na dno zwiększyło się o wartość Zatem zachodzi związek Po ustaleniu się równowagi energia potencjalna klocka zmalała o wielkość

Energia potencjalna cieczy wzrosła o

Wydzielone ciepło wynosi

Rys. 1

Rys. 3

Rys. 3

Gdyby nie było siły ciężkości, krople oderwane od obręczy koła poruszałyby się po liniach prostych i po czasie znajdowały się na okręgu o środku w punkcie (Rys. 1) i promieniu przy czym W polu ciężkości środek okręgu obniża się i w czasie przebywa drogę Granica obszaru suchego jest obwiednią okręgów, na których znajdują się w kolejnych momentach krople, które oderwały się jednocześnie od obręczy. Przyjmijmy, że początek układu współrzędnych znajduje się w środku obracającego się koła. Równanie "spadającego" okręgu ma w chwili postać:

Rozważmy prostą poziomą (Rys. 2). Chcemy znaleźć maksymalną wartość współrzędnej odpowiadającej jednemu z okręgów przecinających tę prostą:

Po prawej stronie równania mamy trójmian kwadratowy względem Jego wartość maksymalna spełnia równanie:

Rozwiązując to równanie względem otrzymujemy równanie krzywej opisującej granicę "suchego" obszaru:

Jest to równanie paraboli, której gałęzie są skierowane w dół, a wierzchołek znajduje się na osi na wysokości Gdy czyli spełniony jest warunek poszukiwana krzywa leży na zewnątrz obręczy. W przeciwnym przypadku granica "mokrego" obszaru przebiega w górnej części po obręczy (Rys. 3), a następnie gładko przechodzi w gałęzie paraboli.

Wprowadźmy układ współrzędnych o początku w jednym z wierzchołków podstawy akwarium, na przecięciu poziomej osi równoległej do oraz osi skierowanej pionowo w górę. Środek ciężkości wody przez cały czas ruchu pozostaje w jednakowej odległości od pionowych ścian akwarium równoległych do płaszczyzny a okres badanych drgań nie zależy od szerokości naczynia. Podczas drgań, gdy na bocznej ściance o współrzędnej woda podnosi się na wysokość to na ściance opada do Środek ciężkości wody przesuwa się wówczas z położenia równowagi w położenie:

Dla małych drgań przyjmujemy, że oraz Wyprowadzając powyższe wyrażenia, skorzystaliśmy z faktu, że dla każdego rozkład wody w naczyniu możemy otrzymać, dodając do rozkładu równowagowego wodę wypełniającą prostopadłościan o podstawie trójkąta prostokątnego z poziomą przyprostokątną i pionową - po stronie i odejmując taki sam prostopadłościan po stronie Pamiętamy też, że środek ciężkości jednorodnego trójkąta leży na przecięciu środkowych jego boków - dla trójkąta prostokątnego rzuty prostokątne środka ciężkości wypadają w 1/3 odpowiednich przyprostokątnych, licząc od wierzchołka kąta prostego. Kwadrat prędkości ruchu środka masy wynosi więc:

gdzie oznacza pochodną względem czasu. Jako kolejne przybliżenie przyjmijmy, że cała masa wody porusza się z tą sama prędkością Wówczas zmiany całkowitej energii mechanicznej podczas ruchu możemy zapisać jako:

Wyrażenie to "przypomina" nam wzór na energię drgań masy zawieszonej na sprężynie o stałej sprężystości jeśli przyjmiemy:

Poszukiwany okres drgań wynosi więc:

W akwarium o i natomiast, na przykład, dla Jeziora Genewskiego, dla którego można przyjąć i średnią głębokość obliczone minut (obserwowano fale o i minuty).

Siła działająca na opływane ze stałą prędkością ciało jest proporcjonalna do kwadratu prędkości cieczy względem ciała. W naszym przypadku siła działająca na łopatkę będzie miała postać:

przy czym stała zależy od kształtu opływanego ciała, jego rozmiarów i od gęstości cieczy. "Pobierana" przez koło moc będzie więc równa:

Jak widzimy, moc ta jest równa zeru, gdy lub Pochodna względem :

przyjmuje wartość 0 dla oraz dla Jak łatwo sprawdzić, maksymalna moc osiągana jest dla i wynosi:

Ciecz jednorodna wrze, gdy ciśnienie pary nasyconej w pęcherzykach, tworzących się w całej objętości cieczy, równe jest ciśnieniu zewnętrznemu - w rozważanym przypadku atmosferycznemu (dodatkowe ciśnienie wewnątrz pęcherzyka związane z napięciem powierzchniowym i ciśnieniem hydrostatycznym można zaniedbać). Przy wrzeniu "granicznym" w pęcherzykach na granicy wody i CCl znajduje się nasycona para wodna oraz nasycona para czterochlorku węgla, przy czym suma ich ciśnień cząstkowych równa jest ciśnieniu atmosferycznemu Stąd ciśnienie pary nasyconej CCl wynosi W czasie wrzenia pęcherzyki unoszą się w górę, dochodzą do powierzchni cieczy i pękają. Zatem stosunek mas czterochlorku węgla i wody, które wyparują w określonym czasie, równy jest stosunkowi gęstości par tych substancji

Korzystając z równania Clapeyrona

gdzie jest masą molową substancji, otrzymujemy:

Czterochlorek węgla podczas wrzenia "granicznego" paruje około 25 razy szybciej niż woda.

608. Ilość wydzielonego ciepła będzie największa, gdy klocek przebędzie maksymalną drogę względem taśmy transportera. Klocek musi dotrzeć do końca transportera z zerową prędkością względem Ziemi. Jego prędkość początkową otrzymujemy z zależności

gdzie jest masą klocka. Stąd Po zatrzymaniu klocek zaczyna poruszać się z przyspieszeniem w kierunku ruchu taśmy. Prędkość taśmy osiągnie po czasie gdy przebędzie względem Ziemi drogę

Ponieważ spełniony jest warunek klocek osiągnie prędkość względem Ziemi, czyli zatrzyma się względem taśmy, zanim spadnie z transportera. Energia kinetyczna klocka w układzie związanym z taśmą transportera od chwili startu do chwili zatrzymania maleje o wielkość i tyle wynosi maksymalne ciepło wydzielone w układzie:

Rozpatrzmy warunki równowagi -tego naczynia. Z prawa Archimedesa wynika, że jeżeli wyjmiemy (w myśli) wszystkie naczynia pływające w -tym naczyniu i dolejemy do niego tyle cieczy, aby zachować jej poziom wyjściowy, to siły działające na dno i ścianki naczynia ze strony cieczy w której ono pływa nie ulegną zmianie. Na -te naczynie działa siła ciężkości ( - masa tego naczynia), ciężar nalanej do niego wody ( - pole powierzchni dna, - wysokość poziomu wody w tym naczyniu) i siła wyporu gdzie - objętość zanurzonej części naczynia, - głębokość zanurzenia.

Z warunku równowagi dla tego naczynia mamy gdzie - różnica poziomów wody w rozpatrywanym naczyniu i w naczyniu w którym rozpatrywane naczynie pływa. Stąd Wynika z tego, że różnica poziomów wody w dwóch dowolnych, sąsiednich naczyniach jest dla wszystkich naczyń taka sama. Przyjmijmy, że poziom wody w naczyniu stojącym na stole wynosi W następnym naczyniu wynosi on w kolejnym itd. Całkowita objętość wody w naczyniach wynosi

a stąd całkowita masa wody

i ostatecznie

Równanie ruchu satelity po orbicie kołowej jest dane wzorem

(1)

gdzie - prędkość satelity na orbicie kołowej o promieniu - masa Ziemi, - jej promień. Załóżmy, że w ciągu krótkiego czasu promień orbity zmniejszył się o pod wpływem siły Z zasady zachowania energii mamy związek

(2)

Równanie ruchu satelity po orbicie o promieniu z prędkością ma postać

(3)

Znajdując prędkości i z zależności (1) i (3) i podstawiając je do zależności (2) otrzymujemy

Korzystając z tego, że oraz znajdujemy prędkość zniżania się satelity

Rys. 1

Podczas obrotu pierścienia zmienia się strumień pola magnetycznego Ziemi przez jego powierzchnię i w chwili wynosi W pierścieniu powstaje prąd indukcyjny o natężeniu

Prąd ten wytwarza pole magnetyczne, którego wektor indukcji w środku pierścienia jest prostopadły do płaszczyzny pierścienia, obraca się razem z pierścieniem i ma wartość

Igiełka magnetyczna ustawi się wzdłuż wypadkowego, uśrednionego w czasie pola magnetycznego. Aby je wyznaczyć, rozkładamy wektor na składowe - równoległą i prostopadłą do wektora (Rys. 1). Składowe mają wartości

Rys. 2

Po uśrednieniu po czasie składowa równoległa znika, wartość średnia składowej prostopadłej wynosi

Igiełka magnetyczna odchyla się od pierwotnego kierunku o kąt (Rys. 2), gdzie

Równanie ruchu klocka ma postać: gdzie jest przyspieszeniem klocka, a siłą naprężenia nici. W układzie związanym z klockiem ciężarek porusza się z przyspieszeniem wzdłuż prostej, która tworzy z pionem kąt pod działaniem sił przedstawionych na rysunku obok. Jego równanie ruchu ma postać:

Zachodzi związek: Rozwiązując przedstawione równania, otrzymujmy masę ciężarka:

W płaszczyźnie poziomej nie działają na ciała żadne siły zewnętrzne, zatem środek masy układu wyznacza pewien inercjalny układ odniesienia. Wektory położenia ciał w układzie środka masy i spełniają związki: oraz Stąd

Analogiczny związek spełnia w CMS wektor prędkości ciała drugiego:

gdzie jest prędkością względną ciał. Szukane naprężenie nici dane jest wzorem:

gdzie

jest masą zredukowaną układu.

Układ jest symetryczny względem płaszczyzny zawierającej krawędzie i :

Potencjały węzłów na prostych i są jednakowe i równe

gdzie i są potencjałami punktów i Zatem krawędzie między tymi węzłami można usunąć. Równoważny obwód składa się z dwóch nieskończonych obwodów połączonych równolegle i równoległego do nich opornika Opór każdego z nieskończonych obwodów nie zmieni się, gdy dodamy do niego jeden z powtarzających się elementów. Wynika stąd równanie:

Szukany opór zastępczy całego obwodu otrzymujemy z równania:

Wynosi on