Delta mi!

Średnia energia ruchów termicznych  w temperaturze  K wynosi – w przeliczeniu na elektronowolty – około 300 eV, czyli znacznie więcej zarówno od energii dysocjacji cząsteczek wodoru, jak i energii jonizacji atomowego wodoru. Każda cząsteczka H  rozpadnie się więc po podgrzaniu na cztery cząstki – dwa jądra i dwa elektrony. Ciśnienie wzrośnie  razy i wyniesie 4 MPa.

Przyjmijmy, że ciężarek porusza się z prędkością  do góry, wtedy jego prędkość względem piasku wynosi  Ponieważ masa piasku na jednostkę długości strumienia jest równa  więc masa piasku przyklejonego w ciągu czasu  wynosi  Energia przekształcona w ciepło jest równa

W ciągu jednego okresu masa ciężarka nie zmienia się znacząco i można przyjąć, że jego ruch jest w przybliżeniu harmoniczny:  gdzie  jest amplitudą,  Gdy podstawimy zależność  do  rozwiniemy sześcian i scałkujemy względem okresu, niezerowy wkład do całki dadzą tylko parzyste potęgi  – zerowa i druga:

Pierwszy składnik po prawej stronie jest początkową energią kinetyczną piasku przyklejonego w ciągu okresu, zatem drugi składnik  jest spadkiem energii drgań w tym czasie. Przechodząc do dłuższej skali czasu, należy wyrażenie  przyrównać do  gdzie  jest energią drgań ciężarka,  Stąd

Podstawienie  i scałkowanie prowadzi do wyniku  czyli

Jak widać, wartość prędkości piasku nie ma znaczenia.

Niech początkowy promień nawiniętej taśmy będzie równy  Zatem po dwukrotnym zmniejszeniu się tego promienia powierzchnia nawiniętej taśmy zmniejszy się o wielkość  Przy odsłuchiwaniu zapisu prędkość liniowa przesuwu taśmy  jest stała, zatem długość nawiniętej taśmy to  Z drugiej strony jest ona równa  gdzie  jest grubością taśmy. Z porównania tych wzorów wynika, że

Gdy promień nawiniętej taśmy zmniejszy się znowu dwa razy, pole powierzchni nawinięcia zmniejszy się o wielkość  stąd   Ostatecznie:

Po nawinięciu grubszej taśmy będzie ona zajmować powierzchnię o polu  Zatem długość nawiniętej taśmy będzie równa  gdzie  jest grubością taśmy.

Po nawinięciu cieńszej taśmy będzie ona zajmować powierzchnię o polu  a jej długość wyniesie  Ponieważ długości taśm są jednakowe, to z porównania wzorów na nie wynika, że  Stąd

Liczba obrotów szpulki w pierwszym i drugim przypadku jest równa:

Prędkość kątowa jest stała, zatem

Oznaczmy przez  i  indukcyjności uzwojenia pierwotnego i wtórnego, a przez  współczynnik indukcji wzajemnej. Równania wyrażające II prawo Kirchhoffa dla obu obwodów przybierają postać

W powyższych równaniach symbole  i  oznaczają – niezbyt konsekwentnie – wartości chwilowe, w odróżnieniu od dalszych przekształceń i treści zadania.

Brak zmiany napięcia  mimo zamknięcia obwodu wtórnego, świadczy o tym, że sprzężenie indukcyjne obwodów jest maksymalne, tzn.  Wtedy stosunek  jest równy  zatem stały. Przyjmując częstość  jako daną, z danych wartości    i  wyznaczamy (dla )

Szukane natężenie prądu w obwodzie pierwotnym po dołączeniu obciążenia do obwodu wtórnego oznaczymy jako  W przypadku a) należy przyrównać  do  co po wyeliminowaniu przesunięcia fazy między  a  prowadzi do tożsamości

Podstawienie do tego równania oporności w postaci  oraz wyrażeń na  i  daje szukane natężenie prądu w uzwojeniu pierwotnym

W podobny sposób otrzymujemy dla przypadku b)

 a dla przypadku c)

Zauważmy, że dla dużego obciążenia (dużej wartości ) we wszystkich przypadkach przechodzimy do powszechnie znanego związku

Drganie ciężarka wystąpi wtedy, gdy bloki ruchome będą się zbliżać do siebie i oddalać (oprócz tego w układzie występuje drugi stopień swobody – zgodny ruch bloków ruchomych, przy stałym położeniu ciężarka i stałej sile naciągu nici). Jeśli górny blok ruchomy przesunie się w górę o  a dolny pozostanie nieruchomy, to ciężarek przesunie się w górę o   Przy tym sprężynka ulegnie skróceniu o  czyli siła wywierana przez nić  zmniejszy się o  Siła napięcia nici  jest dwukrotnie mniejsza, zatem zmniejszy się ona o   tak jakby ciężarek wisiał na sprężynce o stałej sprężystości  Szukany okres drgań jest opisany wyrażeniem

Z symetrii układu wynika, że jeśli usunie się z niego pierwsze oczko, to opór układu będzie równy  Zatem można przedstawić go w postaci pokazanej na rysunku obok. Stąd wynika, że  spełnia równanie:

Zatem:

gdzie

(Odrzucamy ujemne rozwiązanie.)

Z symetrii układu wynika, że może on być przedstawiony w następujący sposób przedstawiony na rysunku, gdzie  „Wewnętrzny” układ składa się z nieskończonej ilości oczek, a jego opór wynosi  (z symetrii układu). Zatem

---

Dodatnim rozwiązaniem powyższego równania jest

Niech  będzie szukanym oporem amperomierza, a  – natężeniem prądu całkowitego, czyli sumą natężenia prądu płynącego przez amperomierz  i przez bocznik. Napięcie na amperomierzu i boczniku jest jednakowe, zatem

Jeśli  jest stałe, to wykres zależności  od  powinien być liniowy, co dla danej serii pomiarów sprawdza się bardzo dobrze. Z ekstrapolacji prostej do przecięcia z osią  (tzn. do punktu, w którym ) znajdujemy

Z bilansu energii

gdzie  jest momentem bezwładności pręta względem punktu podparcia, wyznaczamy prędkość kątową pręta  w zależności od kąta odchylenia od pionu :

Różniczkując po czasie, znajdujemy przyspieszenie kątowe :

Podzielmy pręt na niewielkie elementy o długości  i masie  odległe od punktu podparcia o  i dla każdego z nich wyznaczmy „siłę wyginającą”  tzn. prostopadłą do pręta składową siły wywieranej przez dany element na sąsiednie. Jeśli dodatni zwrot tej siły jest w stronę spadku pręta, to jest ona równa różnicy prostopadłej składowej siły ciężkości  i iloczynu  przez prostopadłą składową przyspieszenia:

Siły te zostały przedstawione na rysunku 2, wraz z prostopadłą do pręta składową siły reakcji podłoża  Moment  siły zginającej pręt w punkcie  jest równy sumie momentów sił  dla wszystkich  większych od :

W wyniku całkowania otrzymujemy

Maksymalna wartość  występuje tuż przed upadkiem i w punkcie  Wynosi ona

a jeśli pręt ma się nie złamać, to jego wytrzymałość na zginanie nie może być mniejsza.

Warunek równowagi bańki mydlanej to  gdzie  jest ciśnieniem wewnątrz bańki. Po zmniejszeniu promienia bańki o połowę ciśnienie wywierane przez zakrzywioną powierzchnię bańki zwiększy się do  Skoro temperatura układu jest stała, to ciśnienie powietrza wewnątrz bańki, odwrotnie proporcjonalne do jej objętości, wzrośnie 8 razy,  Z otrzymanych dwóch równań wyznaczamy

Naczynie jest izolowane cieplnie, zatem a stąd

Zgodnie z warunkami zadania czyli co ostatecznie daje:

Temperatura pary jest proporcjonalna do średniego kwadratu prędkości atomów:

Ruch cząstek w kierunku pionowym odbywa się w polu siły ciężkości. Zatem z jednej strony czas ruchu cząstki to  z drugiej jest to czas spadku swobodnego równy  Stąd

co ostatecznie daje:

Podczas ruchu cieplnego w polu magnetycznym elektrony poruszają się po łukach okręgów o promieniu  Siła wywierana przez pole magnetyczne o indukcji  jest siłą dośrodkową:

stąd

Wykorzystując zasadę ekwipartycji energii, pęd elektronu można wyrazić przez temperaturę gazu  co daje ostatecznie

Oznaczmy symbolami  i  początkową liczbę moli powietrza w naczyniu oraz liczbę moli w chwili osiągnięcia temperatury  Z równania adiabaty w zmiennych  –

gdzie  po przekształceniach znajdujemy

Wyznaczymy teraz pracę pompy próżniowej przy odpompowaniu niewielkiej ilości powietrza  przy założeniu, że ciśnienie w naczyniu pozostaje w przybliżeniu stałe i równe  Jeśli objętość cylindra pompy jest równa  (zgodnie z podanym założeniem  jest znacznie mniejsze od objętości naczynia), to wejdzie do niego moli powietrza, a praca przeciw sile parcia z zewnątrz wyniesie  Sprężanie powietrza w cylindrze zachodzi izotermicznie, zatem praca

gdzie dolna granica całki odpowiada zerowaniu się wyrażenia podcałkowego. Praca całkowita jest różnicą  i okazuje się równa

Podczas odpompowania adiabatycznego ciśnienie  zależy od liczby moli  pozostałej w naczyniu wg równania  i w wyniku całkowania otrzymujemy

Dla odpompowania izotermicznego zależność  ma postać  i całkowanie daje wynik

Pozostaje obliczenie ciepła pobranego podczas odpompowania izotermicznego. W „zwykłej” przemianie izotermicznej (tzn. gdy    jest zmienną) ciepło to jest równe

Tutaj zamiast zmiany objętości należy wprowadzić zmianę liczby moli  która jest równoważna  o ile   Dlatego  a jeśli stanem końcowym jest próżnia, to  Szukany iloraz

dla danych    i  przyjmuje wartość 1,48, co można porównać z

dla cyklu Carnota. Głównym powodem tej dużej rozbieżności jest nieodwracalność wpuszczenia powietrza atmosferycznego do opróżnionego naczynia – gdyby wykorzystać pracę ciśnienia atmosferycznego w tej fazie (odjąć ją od ), to wartość  zmalałaby do 0,109.

Oznaczmy siłę elektromotoryczną indukcji w każdym oczku jako  i przyjmijmy, że ma ona zwrot prawoskrętny – oczywiście wtedy prąd płynie przez oba oporniki prawoskrętnie. Napięcia na woltomierzach  i niech będą dodatnie, gdy plus jest po prawej stronie. Dla kolejnych oczek obowiązują równania

Widzimy, że  

gdzie  Stąd otrzymujemy:

Sznurek ma minimalną prędkość przejścia wtedy, gdy środek masy części sznurka o długości  i masie  zostaje podniesiony na wysokość :

Stąd

Przemieszczenie nurka o mały odcinek  w górę powoduje spadek siły wyporu o wielkość  wynikającą ze spadku gęstości wody

gdzie  jest objętością powietrza w nurku,  – objętością szkła, a   Z drugiej strony, nastąpi wtedy wzrost siły wyporu o wielkość

gdzie  a  jest wzrostem objętości, będącym skutkiem spadku ciśnienia i rozprężenia powietrza w nurku. Warunkiem równowagi trwałej jest

Wyznaczamy  na podstawie prawa przemiany izotermicznej, gdyż powietrza w nurku jest niewiele i kontakt ze ściankami zapewnia stałość temperatury. Zatem  albo

gdzie  a  jest ciśnieniem w położeniu równowagi nurka, czyli sumą ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia górnej połowy słupa wody. Średnia gęstość wody w górnej połowie wynosi  zatem

W ostatnim kroku zauważamy, że z warunku równowagi, przy pominięciu masy powietrza w nurku, wynika równanie

Po przekształceniach dochodzimy do warunku równowagi trwałej w postaci

Dla podanych wartości liczbowych warunek ten jest spełniony z dużym naddatkiem (lewa strona jest prawie 5-krotnie większa od prawej).

Gdy funkcja wielu zmiennych osiąga maksimum, jest to także jej maksimum jako funkcji każdej ze zmiennych oddzielnie (gdy pozostałe zmienne uważamy za stałe). Rozważmy więc trzy kule o numerach  oraz  Z zasad zachowania energii i pędu oraz warunku zerowej prędkości początkowej kul  i   wyprowadzamy standardowe wzory

Należy wyznaczyć maksimum ostatniego wyrażenia ze względu na zmienną  Nietrudno sprawdzić, że jest ono osiągane dla  tzn. masy powinny tworzyć ciąg geometryczny. Ilorazem tego ciągu jest  natomiast prędkości tworzą ciąg o ilorazie   Zatem

Dopiero na dalszych miejscach po przecinku wynik różni się od  m/s. Energia kinetyczna ostatniej kuli jest więc prawie dokładnie równa początkowej energii kinetycznej (po zderzeniach z kulą poprzednią i następną każda z kul pozostaje prawie nieruchoma).

Obliczenie ogniskowej  układu jest dość standardowe i nie będziemy go powtarzać. Otrzymuje się

Podstawiamy  w postaci  gdzie  lub 2,  nie zależy od  Przy niewielkiej zmianie  zmiana zdolności skupiającej układu  wynosi

Proste przekształcenie prowadzi do wniosku, że zmiana ta jest równa zeru, gdy

Niech  będzie współrzędną wzdłuż osi obrotu, natomiast  – współrzędną wzdłuż osi prostopadłej. Składowa  siły napięcia linki jest stała, natomiast przyrost składowej  równoważy siłę odśrodkową działającą na fragment linki o długości  i masie :

Znak minus w powyższym równaniu odpowiada    Kierunek siły napięcia jest styczny do linki, czyli  a stąd

Numeryczne całkowanie tego równania rozpoczynamy od  i dowolnie wybranych wartości  oraz  Wartości te należy dobrać tak, aby w punkcie  osiągnąć  oraz długość linki równą  Okazuje się, że przy danych  i  właściwymi wyborami są  (faktycznie wyznaczamy w ten sposób ; wartości  i  nie wpływają na kształt linki) oraz  Maksymalną wartością  jest  m. Dla porównania, dla krzywej łańcuchowej (cosinusa hiperbolicznego) byłoby

Powierzchnia wypływającej strugi cieczy tworzy kąt z poziomym promieniem światła. Z drugiej strony kąt ten jest wyznaczony przez stosunek składowej poziomej i pionowej cieczy:

Kąt jest kątem granicznym, jeśli , zatem:

Rozważmy kulę o środku w źródle światła i promieniu  Kulę dzielimy za pomocą współśrodkowych sfer na  części o jednakowej grubości  W -tej części, licząc od środka, znajduje się drobin pyłu, które zasłaniają powierzchnię czyli  całości powierzchni sfery. Drobiny w różnych warstwach ustawione są przypadkowo i niezależnie od siebie, więc całkowita niezasłonięta powierzchnia to całej sfery, co po przejściu do granicy daje   Po podzieleniu na jednostkę powierzchni otrzymujemy

Ciśnienia z obu stron są takie same, tzn.  , czyli

Tutaj , ponieważ błonka ma dwie powierzchnie: zewnętrzną i wewnętrzną. Zatem

Możemy założyć, że kropla rozpłynęła się symetrycznie i widziana z góry ma kształt koła o promieniu  . Powierzchnia tego koła wynosi . Siła przyciągania między płytkami równa jest , gdzie jest ciśnieniem wywieranym przez zakrzywioną powierzchnię cieczy. Ostatecznie

Przykładowe rozwiązanie z przełącznikiem pięciopozycyjnym przedstawiono na rysunku. Dla położeń 1–3 przyrząd można wykorzystać jako woltomierz o zaciskach „+” i  , a dla położeń 4 i 5 jako amperomierz o zaciskach „+” i  , , , ,

Połączenia wg schematu pokazanego na rysunku poniżej pozwalają otrzymać każdą z trzech pożądanych mocy.

Ze względu na uproszczenie rozwiążemy zadanie równoważne: zbadamy oddziaływanie przewodnika prostoliniowego na ramkę. Na łuki okręgów nie działa żadna siła (pole przewodnika jest skierowane stycznie), natomiast na odcinek radialny o długości  działa siła

gdzie

jest indukcją pola przewodnika prostoliniowego. Na analogiczny odcinek drugiego przewodnika radialnego działa siła równa i przeciwnie skierowana, więc całkowita siła oddziaływania wynosi zero. Odległość wzajemna tych dwóch odcinków jest równa  stąd moment pary sił wynosi

Całkowity moment siły jest równy

Przechył krążka o kąt  oznacza podniesienie jego środka o   a zatem podniesienie środka masy ciężarków o tę samą wielkość. Łączna energia potencjalna ciężarków wzrośnie o

gdzie  jest masą jednego ciężarka. Prędkość ciężarków  wystarczy wyznaczyć w pierwszym rzędzie względem prędkości kątowej krążka  ponieważ do energii kinetycznej wchodzi ona w kwadracie. Ze względu na długość nici ruch ciężarków odbywa się wzdłuż osi pionowej i widzimy, że w tym przybliżeniu

Z warunku  znajdujemy