Delta mi!

Kierunki biegu fali dźwiękowej w powietrzu i w wodzie spełniają związek

gdzie jest kątem padania na powierzchnię wody, zaś - kątem załamania w wodzie. W skrajnym przypadku co daje

Dla danego maksymalna odległość, przy której dźwięk nie ulegnie całkowitemu odbiciu od powierzchni wody, to

Ale te wzory obowiązują przy założeniu, że dźwięk w ośrodku jednorodnym rozchodzi się prostoliniowo (tzn. że można pominąć efekty falowe, np. dyfrakcję) i są prawdziwe dla odległości znacznie większych niż długość fali. Ponieważ w powietrzu długość fali dźwiękowej mówiącego człowieka może dochodzić do kilkudziesięciu centymetrów, efektów związanych z falową naturą dźwięku nie można pominąć. Zatem rację ma Kasia.

Powietrze ma mniejszy współczynnik załamania niż woda, co oznacza, że nie zachodzi całkowite odbicie promieni padających na powierzchnię wody. Zatem w rozważanych warunkach rybka zawsze może zobaczyć wędkarza.

Ruch koralika jest złożeniem ruchu po okręgu o promieniu i ruchu w kierunku pionowym. Prędkość koralika w danej chwili można rozłożyć na składowe - poziomą i pionową gdzie jest kątem, jaki tworzy z poziomem styczna do spirali. Przyspieszenie koralika jest sumą wektorową składowej prostopadłej do toru, związanej z ruchem po okręgu, która wynosi

oraz składowej stycznej do toru Składową styczną można znaleźć, rozwijając myślowo zwój spirali na płaszczyźnie. Otrzymamy wtedy równię pochyłą nachyloną do poziomu pod kątem o podstawie i wysokości Składowa styczna do toru wynosi

Prędkość koralika po przebyciu zwojów otrzymujemy, korzystając z zasady energii mechanicznej: Szukana wartość przyspieszenia jest równa

Oznaczmy ładunki na kulach o promieniach i odpowiednio przez i Zachodzi związek

(1)

Kule połączone drutem tworzą jeden przewodnik, więc ich potencjały są jednakowe:

(2)

gdzie jest ładunkiem indukowanym na uziemionej sferze. Potencjał sfery jest równy zeru:

Stąd mamy Podstawiając to do (2) i uwzględniając warunek otrzymujemy związek:

Uwzględniając (1), otrzymujemy:

Okres wahadła a stąd jego długość Długość obrazu wahadła jest więc znacznie mniejsza od jego długości rzeczywistej Oznacza to, że poszukiwana odległość od kamery do wahadła wielokrotnie przewyższa ogniskową obiektywu Stąd z kolei wynika, że obraz wahadła znajduje się bardzo blisko ogniska obiektywu, a więc odległość od obiektywu do kliszy, na której powstaje obraz, jest w przybliżeniu równa Stąd wynika, że czyli

To, że nić pozostaje cały czas pionowa, oznacza, że na masę podczas ruchu układu nie działa siła pozioma. To z kolei oznacza, że siły poziome nie działają także na układ, składający się z dwóch mas i a kulki muszą poruszać się tak, aby ich środek masy nie poruszał się w poziomie (rysunek). Warunek ten będzie spełniony, gdy masa będzie się poruszała tak, jakby była zawieszona w środku masy układu na nici o długości gdzie jest odległością środka kulki od środka masy układu. Okres takiego wahadła wynosi Okres ten jest równy okresowi drgań punktu Korzystając z wyrażenia na położenie środka mas znajdujemy Podstawiając to wyrażenie do wzoru na okres dostajemy

a stąd

Zamiana jąder atomów cząsteczki na jądra ich cięższych izotopów praktycznie nie zmieni stanów elektronowych (patrz rozwiązanie zadania 883), tym samym zarówno odległość równowagowa jąder atomowych, jak i energia wiązania cząsteczki nie ulegną zmianie. Zależność energii wiązania od odległości atomów ma więc dla niewielkich wychyleń z położenia równowagi postać:

z takimi samymi wartościami i Częstość charakterystyczna takiego układu odpowiada zatem częstości drgań mas i o masie zredukowanej połączonych "sprężyną" o stałej sprężystości Mamy więc Z kolei stała jak w mechanice klasycznej, jest proporcjonalna do odwrotności momentu bezwładności obu mas obiegających wspólny środek ciężkości, a więc jest odwrotnie proporcjonalne do Oznaczając literami primowanymi odpowiednie wartości dla cząsteczki cięższej, a bez znaku prim dla lżejszej, otrzymujemy:

a więc:

oraz

Częstotliwość fotonów emitowanych przez spoczywający atom wodoru i, podobnie, deuteru jest proporcjonalna do iloczynu masy zredukowanej układu elektron-jądro, Masa zredukowana układu elektron-jądro o masie wynosi

Wynika stąd, że wszystkie częstotliwości widma deuteru są razy większe od częstotliwości występujących w widmie wodoru:

Po podstawieniu wartości mas otrzymujemy a więc wartość bardzo bliską 1. Gdyby zinterpretować wzrost obserwowanych częstotliwości o czynnik jako skutek zjawiska Dopplera (postępowego ruchu atomu z prędkością ), to powinno być równe gdzie jest prędkością światła, i dla otrzymamy wartość /s, odpowiadającą ruchowi atomu wodoru w kierunku obserwatora (taka prędkość średnia atomu wodoru odpowiada temperaturze ok. ).

Maksymalny moment siły, jaki może uzyskać rowerzysta, opierając cały ciężar ciała na korbie ustawionej poziomo, wynosi gdzie to masa rowerzysty, - długość korby. Moment siły, z jakim koło działa na podłoże, to a siła działająca na punkt styczności koła z podłożem

gdzie jest promieniem koła. Załóżmy, że koło toczy się bez poślizgu. Wtedy wartość siły tarcia statycznego jest równa Siła równoległa do zbocza, działająca na rowerzystę z rowerem, jest równa gdzie to kąt nachylenia zbocza. Z warunku równowagi sił po uproszczeniu dostajemy warunek

Wstawiając dane, otrzymujemy maksymalną wartość kąta Dla większych kątów, nawet opierając cały ciężar swojego ciała na pedale, rowerzysta wraz z rowerem będzie się staczał do tyłu. W sytuacji granicznej, kiedy moment siły, z jaką rowerzysta naciska na pedał, przeniesiony przez przekładnie na podłoże, dokładnie równoważy składową ciężaru układu styczną do zbocza, rower spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym. W tej sytuacji warunek na brak poślizgu jest taki sam, jak dla klocka umieszczonego na równi pochyłej: czyli dla danych w zadaniu i mamy

Jeżeli żądamy, aby koło toczyło się bez tarcia w całym zakresie kątów, to siła nie może przekroczyć maksymalnej siły tarcia statycznego równej

Po uproszczeniu warunek sprowadza się do

Oba otrzymane ograniczenia na współczynnik tarcia są rosnącymi funkcjami i są tożsame dla kąta Wystarczy zatem

Energia potrzebna do podgrzania szklanki wody o to:

Energia uzyskana z jednej baterii:

Stosunek czyli potrzebujemy 39 baterii, których koszt to około Koszt podgrzania energią z sieci:

Stosunek tych kosztów to około 6000

Podczas ruchu światła w ośrodku niejednorodnym zmienia się kąt jaki tworzy styczna do toru z osią Zgodnie z prawem załamania zachodzi związek Rozważmy ruch punktu materialnego, którego prędkość wzdłuż granicy ośrodków jest stała:

gdzie jest prędkością na granicy ośrodków, stąd

Widzimy, że przy zadanym współczynniku załamania punkt materialny porusza się jak pod działaniem stałej siły skierowanej pionowo w dół. Z zasady zachowania energii mamy bowiem:

gdzie jest stałym przyspieszeniem cząstki i wynosi Korzystając ze wzorów dla rzutu ukośnego w polu stałej siły, otrzymujemy dla maksymalną odległość między punktami wejścia i wyjścia promienia z ośrodka niejednorodnego

Promień nie może przy tym przejść do górnego ośrodka jednorodnego, musi więc być spełniony warunek czyli W przeciwnym przypadku odległość między punktami wejścia i wyjścia promienia odpowiada takiemu kątowi dla którego promień jest styczny do górnej granicy rozdziału ośrodków:

stąd

Stan równowagi nastąpi, gdy zrównają się strumienie wodoru dyfundującego między częściami naczynia. Strumień dyfuzji jest proporcjonalny do średniej liczby zderzeń cząsteczek wodoru z przegrodą, która z kolei jest proporcjonalna do liczby cząsteczek w jednostce objętości oraz średniej prędkości ruchu cieplnego cząsteczek. W danej temperaturze zachodzi związek Oznaczmy przez liczbę moli wodoru, które przeniknęły przez przegrodę. Warunek równowagi ma postać:

stąd

Ciśnienie w części zawierającej mieszaninę argonu i wodoru wynosi

w drugiej części

Zależność

można zapisać jako

Oznacza to, że zmodulowana amplitudowo fala stanowi sumę trzech monochromatycznych fal o częstościach i Energie fotonów odpowiadające każdej z tych fal wynoszą odpowiednio:

Ponieważ energia jonizacji atomu wodoru jest większa od energii i energii to fale o częstościach i nie mogą spowodować jonizacji atomu wodoru, natomiast może ją spowodować fala o częstości Maksymalna energia "wybitych" przez odpowiadające jej fotony elektronów będzie równa

Rakiety będą się poruszały po elipsach.
Punkt startu każdej z nich odpowiada minimalnej odległości od środka Ziemi, a punkt orbity leżący dokładnie nad punktem Ziemi po jej przeciwnej stronie stanowi apogeum orbity. W tych punktach prędkość rakiety jest prostopadła do prostej, poprowadzonej od orbity do środka Ziemi. Niech będzie dłuższą osią orbity. Maksymalna odległość między rakietami wynosi Okres obiegu orbity przez rakietę wynosi gdzie jest podanym w zadaniu okresem. Oznaczmy okres obiegu, gdyby rakieta poruszała się po orbicie kołowej o promieniu przez Zgodnie z III prawem Keplera

skąd

Ponieważ przyspieszenie dośrodkowe rakiety na orbicie wynosi to mamy

czyli

Stąd

czyli

Rysunek przedstawia siły działające na wiewiórkę. Są to: siła ciężkości siła reakcji i siła tarcia Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki na koło działa stycznie siła o wartości która nadaje mu przyspieszenie gdzie jest masą koła. Przyspieszenie koła ma być stałe, zatem również musi być stałe. Ponieważ przyspieszenie koła ma mieć maksymalną wartość, to oraz też jest stałe. W układzie odniesienia związanym z Ziemią wiewiórka porusza się po okręgu:

gdzie jest masą wiewiórki, jej prędkością, a promieniem okręgu. Siła reakcji może być stała w dwóch przypadkach: albo wiewiórka biegnie po okręgu tak, że jej kwadrat prędkości jest sumą funkcji proporcjonalnej do i funkcji stałej, albo jest nieruchoma i W pierwszym przypadku dla i kwadrat prędkości osiąga odpowiednio najmniejszą i największą wartość. Wtedy składowa przyspieszenia wiewiórki styczna do okręgu wynosi 0, a zatem i siła tarcia równa jest zeru (siła ciężkości jest w tych położeniach skierowana wzdłuż promienia). Przypadek pierwszy należy więc odrzucić. Gdy wiewiórka nie porusza się względem Ziemi, zachodzi związek:

zatem Stąd mamy

Szukane przyspieszenie jest równe

Po zamknięciu klucza kondensator nie ładuje się, bo napięcie między końcami cewki o współczynniku samoindukcji wynosi 0, a przez cewkę o współczynniku samoindukcji nie płynie prąd, gdyż zmiana natężenia prądu indukowałaby siłę elektromotoryczną na bezoporowej cewce. Po otwarciu obwodu zewnętrznego, oznaczając natężenia prądów jak na rysunku, mamy dla lewego oczka:

z warunkami początkowymi Stąd Ponieważ elementy obwodu uważamy za idealne, w obwodzie nie ma strat energii:

Gdy natężenia prądów w cewkach mają te same wartości kondensator nie ładuje się ani nie rozładowuje i napięcie na nim jest maksymalne. Stąd Natężenia prądów w cewkach są maksymalne, gdy ich pochodne, a tym samym siły elektromotoryczne samoindukcji są równe zeru. W tym momencie znika również napięcie na kondensatorze połączonym równolegle z cewkami i cała energia skupiona jest w cewkach:

Stąd

Energia fotonu odpowiadającego promieniowaniu o częstotliwości wynosi Naturalna szerokość linii widmowej odpowiada więc przedziałowi częstotliwości Fali światła o długości odpowiada częstotliwość gdzie oznacza prędkość światła. Jeśli źródło emitujące światło o częstotliwości porusza się z prędkością w kierunku odbiornika, to ze względu na zjawisko Dopplera, odbiornik zarejestruje częstotliwość różną od z dokładnością do wyrazów liniowych w Składowa prędkości termicznego ruchu atomów w kierunku odbiornika podlega rozkładowi Maxwella o gęstości:

Różnica częstotliwości emitowanej i rejestrowanej podlega więc rozkładowi który jest proporcjonalny do:

co odpowiada

Tak obliczona wartość FWHM jest równa naturalnej szerokości dla temperatury

Dla podanej linii magnezu

Atom w stanie podstawowym pochłonie foton (wiązki laserowej) o energii odpowiadającej stanowi wzbudzonemu, a następnie, średnio po czasie wyemituje go w losowym kierunku. W każdym akcie absorpcji foton przekazuje atomowi swój pęd w wyniku czego atom zmniejsza swą prędkość (pęd fotonu jest przeciwnie skierowany do pędu atomu) o Proces powtórzy się po wyemitowaniu pochłoniętego fotonu, tj. po czasie Ze względu na losowy kierunek emisji średni pęd emitowanego fotonu wynosi zero. Atomy poruszają się więc ze średnim opóźnieniem a droga przebyta do zatrzymania wynosi

Opisaną tu metodę "chłodzenia" atomów zaproponowali T. W. Hänsch (nagroda Nobla 2005) i A. L. Schawlow (Nagroda Nobla 1981) w pracy w Optics Communications 15, 68 (1975) skąd zaczerpnięte zostały także dane liczbowe zadania.

Natężenie pola elektrycznego między płytkami 2 i 3 wynosi zero, bo są one połączone przewodnikiem i ich potencjały są jednakowe. Ze względu na duże rozmiary płytek w porównaniu z odległościami między nimi możemy przyjąć, że pole elektryczne wytwarzane przez płytkę jest takie, jak od nieskończonej powierzchni. Z prawa Gaussa natężenie pola od pierwszej płytki wynosi

natężenie od drugiej i trzeciej płytki w obszarze między nimi

gdzie oznacza ładunek na trzeciej płytce równy co do wartości i o przeciwnym znaku niż ładunek na płytce drugiej. Wektory i w obszarze między płytkami mają przeciwne zwroty i jednakowe wartości. Stąd

Płytka środkowa jest przyciągana przez płytki zewnętrzne siłami

Wypadkowa siła skierowana jest do pierwszej płytki i ma wartość

Rozważmy sytuację przedstawioną na rysunku, gdy prędkość statku tworzy z prostopadłą do brzegu kąt Statek zbliża się do statku z prędkością o wartości

Statek oddala się od punktu (rzut statku na tor statku ) z prędkością o tej samej wartości. Zatem suma długości odcinków jest stała. W chwili początkowej punkt pokrywa się z punktem zatem suma ta wynosi W chwili, którą uznajemy za końcową, punkt pokrywa się z punktem z dowolnie ustaloną dokładnością (tzn. odległość między punktami i dąży do zera w miarę upływu czasu), czyli

szukana odległość między statkami wynosi

Ponieważ na płytę nie działa żadna (niepominięta w modelu) pozioma siła zewnętrzna, to pozioma współrzędna położenia środka masy nie może się zmienić. Suwak znajdzie się dokładnie nad środkiem masy, gdy ruch płyty ustanie.

W chwili zwolnienia elektromagnesu wartość przyspieszenia suwaka (które jest skierowane poziomo) musi być taka sama jak wartość (skierowanego pionowo) przyspieszenia środka masy (dlaczego?). W takim razie chwilowym punktem obrotu jest punkt znajdujący się pod zawiasem na wysokości środka masy płyty. Moment bezwładności płyty względem tego punktu jest równy

Rozpatrując obrót wokół tego punktu, uzyskujemy warunek

natomiast rozpatrując obrót wokół środka masy mamy

Porównując te warunki, otrzymujemy

a z równania, opisującego ruch w kierunku pionowym mamy

wyznaczamy czyli również wartość początkowego przyspieszenia suwaka.

Przy rozwiązywaniu takiego zadania łatwo się pomylić, rozpatrując obrót wokół punktu, który jest poddany przyspieszeniu bez uwzględnienia siły bezwładności przyłożonej do środka masy. Siła taka nie wiąże się z dodatkowym momentem siły jedynie gdy rozpatrywanym punktem jest środek masy (co zostało wykorzystane w rozwiązaniu), lub punkt przyspiesza w kierunku środka masy. Łatwo zauważyć, że wszystkie punkty, dla których nie ma dodatkowego momentu siły, leżą na okręgu, którego średnicą jest odcinek miedzy chwilowym punktem obrotu a środkiem masy.

Z analizy wymiarowej wynika, że moment bezwładności kwadratu (jednorodnej kwadratowej płyty) o boku względem jego środka jest proporcjonalny do jego masy i kwadratu długości boku. Oznaczając stałą proporcjonalności przez otrzymujemy

Jest on jednocześnie równy sumarycznemu momentowi bezwładności czterech mniejszych kwadratów (na które ten większy można podzielić) względem ich stykających się rogów. Wykorzystując twierdzenie Steinera, otrzymujemy

gdzie jest odległością środków masy małych kwadratów do środka masy dużego. Przyrównując wzory na wyznaczamy

Moment bezwładności kwadratowej płyty względem jej rogu jest, oczywiście, równy

Płyta w chwili zwolnienia elektromagnesu zaczyna się obracać wokół zawiasu pod wpływem momentu siły gdzie jest ramieniem siły ciężkości (przyłożonej do środka masy) względem osi wyznaczonej przez zawias. Otrzymujemy warunek

skąd wyznaczamy przyspieszenie kątowe

Składowe pionowa i pozioma przyspieszenia środka masy są równe co do wartości (dlaczego?) i wynoszą

(jak to wykazać?). Z równania opisującego ruch w kierunku pionowym otrzymujemy warunek na składową pionową poszukiwanej siły czyli Natomiast z równania opisującego ruch w kierunku poziomym wyznaczamy składową poziomą (składowa ta jest skierowana przeciwnie do składowej poziomej wektora poprowadzonego od zawiasu do środka masy płyty).

Niech ciśnienie zewnętrzne wynosi Oznaczmy objętości i temperatury gazu w kolejnych stanach równowagi przez oraz Zmiana energii wewnętrznej podczas ściskania gazu wynosi

a po oswobodzeniu tłoka

gdzie molowe ciepło właściwe przy stałej objętości Całkowita zmiana energii wewnętrznej

Z równania Clapeyrona

Szukana temperatura końcowa wynosi

Wprowadźmy współrzędne jak na rysunku obok. Niech żuk znajduje się w odległości od początku układu Siły działające na słomkę zaznaczono na rysunku kolorem. Są to siły reakcji i prostopadłe odpowiednio do podłogi i ścianki oraz siła jaką żuk działa na słomkę. Siłę ciężkości działającą na słomkę pomijamy zgodnie z treścią zadania. Słomka nie porusza się, więc siły działające na nią równoważą się: Na żuka działa siła ciężkości oraz siła reakcji słomki która tworzy ze słomką nieznany kąt (siły te zaznaczono na rysunku na czarno). Równanie ruchu żuka ma postać Przyspieszenie skierowane jest wzdłuż słomki. Stąd oraz Momenty sił działających na słomkę względem dowolnego punktu równoważą się. Względem punktu warunek ten ma postać: Siły działające na żuka prostopadle do słomki równoważą się: zatem gdzie

Wprowadzając nową zmienną otrzymujemy równanie

Jest to równanie oscylatora harmonicznego o częstości Ruch żuka opisuje funkcja z warunkami początkowymi: oraz Zatem Kładąc otrzymujemy czas podróży żuka do końca słomki:

Aby uwzględnić wielokrotne odbicia od powierzchni poszczególnych płytek wewnątrz ich stosu, szukamy wzoru rekurencyjnego pokazującego, jak zmienia się współczynnik transmisji stosu przy dodaniu kolejnej płytki. Przyjmijmy, że transmisja stosu płytek wynosi Dodając jeszcze jedną płytkę, dostajemy "złożony" stos składający się z płytek. Niech na ten stos pada światło o natężeniu Oznaczmy natężenia światła rozchodzącego się na zewnątrz i wewnątrz "złożonego" stosu jak na rysunku.

Korzystając z tego, że współczynnik odbicia to dostajemy układ równań

Rozwiązując go, znajdujemy wyrażenie rekurencyjne na odwrotność transmisji układu płytek, zdefiniowanej jako :

Dla dwóch płytek mamy

dla trzech mamy

Kontynuując takie postępowanie dla stosu składającego się z płytek, dostajemy

a stąd znajdujemy jego transmisję

Poruszanie się kulki "po ósemce" (szczególny przypadek krzywej Lissajous) jest możliwe, jeżeli jej częstość drgań w pionie jest dwa razy większa, niż jej częstość drgań w poziomie tzn.

Niech oznacza siłę naciągu sprężyn, a - ich współczynnik sprężystości, przy czym Przy wychyleniu kulki w poziomie na odległość gdzie będzie działała na nią pozioma siła zwrotna a w konsekwencji kwadrat częstości drgań w poziomie wyniesie Kwadrat częstości drgań w pionie jest dany wzorem ("wahadło sprężynowe"). Korzystając z warunku ruchu "po ósemce", mamy a więc czyli a stąd

Niech oznacza masę jednostki długości łańcuszka, a długość jego odcinka Oznaczmy przyspieszenie, z jakim porusza się w pewnej chwili czasu wisząca część łańcuszka, przez natomiast jej prędkość w tej samej chwili przez Równanie ruchu odcinka łańcuszka ma postać: równanie odcinka : gdzie i są siłami naprężenia łańcuszka odpowiednio w punktach i Stąd Rozważmy bardzo krótki przedział czasu W tym czasie unosi się ze stołu odcinek łańcuszka o masie Zmiana pędu tego odcinka stąd Ustalona prędkość łańcuszka, gdy wynosi

Rys. 1

Rys. 2

Niech pierwszy promień wychodzący z przedmiotu przechodzi przez ognisko soczewki skupiającej, jego dalszy bieg przedstawiony jest na rysunku 1. Drugi promień przechodzi przez środek soczewki skupiającej, chcemy znaleźć jego kierunek po przejściu przez soczewkę rozpraszającą. Wiemy, że gdy na soczewkę rozpraszającą pada równoległa wiązka światła pod pewnym kątem do osi optycznej, przedłużenia promieni przechodzących przez soczewkę przecinają się w jej płaszczyźnie ogniskowej (Rys. 2). Na rysunku 1 narysujmy trzeci promień pomocniczy, który przechodzi przez środek soczewki rozpraszającej równolegle do promienia drugiego. Przedłużenie promienia 2 przecina się z promieniem 3 w płaszczyźnie ogniskowej soczewki rozpraszającej, a z promieniem 1 tam, gdzie znajduje się szukany obraz przedmiotu. Aby sprawdzić poprawność konstrukcji, możemy wykonać obliczenia. Obraz w soczewce skupiającej powstaje w odległości . Jest on przedmiotem pozornym dla drugiej soczewki: . Odległość obrazu od drugiej soczewki . Jest to obraz pozorny, który znajduje się między soczewkami w środku odległości między nimi.

Energia wiązania sześcianu o boku o długości zawierającym cząsteczek wynosi bo każda cząsteczka ma 6 najbliższych sąsiadów i z każdym dzieli jedno wiązanie. Do oddzielenia dwóch sąsiednich warstw cząsteczek potrzebna jest energia ale po rozdzieleniu powstają dwie kwadratowe powierzchnie swobodne cieczy o boku o długości każda. Mamy więc oraz Stąd już łatwo wyznaczamy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy cząsteczek w Dokładna wartość to 1/18 liczby Avogadro, czyli cząsteczek w a więc otrzymaliśmy niezły wynik.

Najsłabszym ogniwem naszego rozumowania jest założenie o charakterze wiązań (więcej w artykule K. Rejmera "Wiązania wodorowe" w Delcie 5/2014). Lepsze oszacowanie otrzymujemy dla substancji tworzącej kryształy o wiązaniach kowalencyjnych, jak np. krzem (Si) o - dla powierzchni (w - oraz dla którego otrzymujemy wartość atomów w wobec dokładnej wartości - tu rozbieżność wynika z nieco bardziej skomplikowanej postaci sieci krystalicznej niż przyjęta w naszych obliczeniach.

Granicę wysokości góry wyznacza wytrzymałość jej dolnych warstw. Jeżeli ciśnienie górnych warstw wystarczy do zerwania sztywności wiązań, to dolne warstwy zaczną się "rozpływać", co spowoduje "opadanie" wierzchołka góry. Oszacujmy, przy jakiej wysokości zmniejszenie energii potencjalnej skał na skutek obniżenia środka ciężkości o przewyższy energię potrzebną do stopienia dolnej warstwy skał o gęstości grubości i polu powierzchni Zmiana energii potencjalnej wyniesie Energia potrzebna do stopienia warstwy wynosi Otrzymujemy stąd warunek "stopienia podstawy":

a więc największą możliwą wysokością jest co dla podanych wartości daje wartość w granicach od do