Delta mi!

Niech oznacza odległość przedmiotu od soczewki. Zgodnie ze wzorem soczewkowym odległość obrazu od soczewki dana jest wzorem i dla przedmiotu rzeczywistego, gdy , spełnia warunki

(1)

Soczewka rozpraszająca daje zawsze obraz pozorny przedmiotu rzeczywistego. Obraz ten jest przedmiotem rzeczywistym dla zwierciadła, odległym od niego o Zgodnie z (1)

(2)

Obraz w zwierciadle musi być przedmiotem pozornym dla soczewki, zatem jego odległość od zwierciadła spełnia warunek Soczewka rozpraszająca daje rzeczywisty obraz przedmiotu pozornego, gdy odległość tego przedmiotu spełnia warunek czyli Stąd Zatem spełnione są warunki

Korzystając z równania zwierciadła

gdzie jest ogniskową zwierciadła, otrzymujemy następujące ograniczenia:

a biorąc pod uwagę warunek (2), dostajemy

Ostatecznie szukana ogniskowa zwierciadła jest równa

Pole elektrostatyczne układu jest złożeniem pola od kuli dielektrycznej i pola od uziemionej sfery.

Oznaczmy natężenie pola od kuli przez gdzie jest odległością od środka kuli. Dla mamy zgodnie z prawem Gaussa czyli pole

jest takie, jak od ładunku punktowego równego ładunkowi kuli i umieszczonego w środku kuli. Potencjał od kuli w rozważanym obszarze jest również taki, jak od ładunku punktowego i wynosi

Dla mamy Aby otrzymać potencjał w tym obszarze, do potencjału

musimy dodać pracę pola elektrycznego przy przenoszeniu jednostkowego ładunku z punktu oddalonego o od środka kuli do punktu na powierzchni kuli:

Pole od uziemionej sfery dla dane jest wzorem

gdzie jest ładunkiem indukowanym na sferze. Potencjał w tym obszarze jest równy Wypadkowy potencjał uziemionej sfery to

stąd szukany ładunek indukowany wynosi

Dla utrzymania stałej temperatury ciała musimy w ciągu doby odprowadzić energii. Jest to energia potrzebna do odparowania

wody. Gdyby jedynym mechanizmem chłodzenia była wymiana ciepła poprzez promieniowanie, to utrzymanie stałej temperatury oznaczałoby, że różnica mocy promieniowania przez odkrytą powierzchnię naszego ciała i mocy padającego na nią promieniowania cieplnego otoczenia równa jest dokładnie Mamy a zatem

gdzie a

Po podstawieniu danych liczbowych mamy Powierzchnia ciała człowieka dorosłego wynosi średnio niecałe Uwzględnienie faktu, że współczynnik emisji skóry jest mniejszy od 1, zwiększyłoby obliczoną wartość Jak z tego widać, w normalnych warunkach pocenie, promieniowanie oraz konwekcja i przewodnictwo cieplne odgrywają istotną rolę.

Intensywność opadu na godzinę oznacza, że na powierzchni spada w ciągu godziny l wody. Uderzenia kropel deszczu o dach są zderzeniami niesprężystymi i przekazywany przez nie dachowi pęd wynosi gdzie oznacza masę wody. Ciśnienie równa się sile działającej na jednostkę powierzchni. Mamy więc

gdzie oznacza powierzchnię dachu, a czas, w którym na dach spadła masa wody równa Otrzymujemy Jest to wartość bardzo mała - gdyby woda nie spływała z dachu, to już po pierwszej minucie opadu wywierałaby ciśnienie

Rys. 1

Niech obserwator, znajdujący się w punkcie widzi samolot w punkcie i słyszy wysłany przez samolot z punktu dźwięk, który dotarł do niego po czasie Zgodnie z rysunkiem 1

(1)

gdzie jest szukanym kątem. Wprowadźmy oznaczenie

Zgodnie z (1) mamy

Otrzymujemy stąd równanie kwadratowe

(2)

Rozwiązania tego równania mają postać

Gdy prędkość dźwięku jest większa od prędkości samolotu wyróżnik równania (2) jest dodatni dla każdego zatem Dla samolotu naddźwiękowego wyróżnik równania (2) jest dodatni, gdy - równanie (2) ma wtedy dwa pierwiastki dodatnie. Każdy punkt trajektorii samolotu jest źródłem fali kulistej, obwiednia tych fal tworzy powierzchnię stożkową (Rys. 2), która przesuwa się z prędkością samolotu Po raz pierwszy obserwator słyszy dźwięk wysłany przez samolot z punktu gdy W następnych chwilach do obserwatora docierają czoła dwóch fal kulistych (Rys. 3) i wydaje mu się, że z punktu poruszają się w przeciwne strony dwa źródła dźwięku.

Ponieważ tarcie między walcami jest zaniedbywalne, prędkość kątowa ruchu obrotowego pierwszego walca nie zmienia się w wyniku zderzenia. Z zasad zachowania pędu i energii (zderzenie sprężyste) wynika, że po zderzeniu prędkość ruchu postępowego pierwszego walca wynosi zero, a drugiego Po zderzeniu na pierwszy walec działa siła tarcia skierowana do przodu. Jego prędkość ruchu postępowego rośnie liniowo z czasem: prędkość kątowa ruchu obrotowego maleje liniowo z czasem: Po czasie gdy spełniony jest związek rozpoczyna się toczenie bez poślizgu. Stąd Na drugi walec działa siła tarcia skierowana do tyłu. Jego prędkość ruchu postępowego maleje liniowo z czasem, prędkość ruchu obrotowego rośnie liniowo z czasem. Po czasie drugi walec również zaczyna toczyć się bez poślizgu. Od chwili prędkości ruchu postępowego obu walców wynoszą Drogi przebyte przez walce w czasie wynoszą odpowiednio i Maksymalna odległość, na jaką się oddalą, jest równa

Z zasady zachowania energii mamy związek

gdzie jest napięciem na kondensatorze po upływie czasu Gdy kondensator rozładowuje się przez opornik, natężenie prądu maleje wykładniczo w czasie

Moc chwilowa jest iloczynem kwadratu napięcia początkowego i funkcji czasu, zatem stosunek energii wydzielonych na oporniku w jednakowych przedziałach czasowych jest proporcjonalny do kwadratów napięć początkowych Szukana pojemność kondensatora wynosi

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że tor lotu żaby powinien być styczny do rury w jej najwyższym punkcie. Rozważmy jednak tor symetryczny względem osi pionowej przechodzącej przez środek rury i styczny do niej w dwóch punktach. Niech prędkość żaby w punkcie styczności tworzy z poziomem kąt Z równań ruchu dla rzutu ukośnego otrzymujemy związek Zasada zachowania energii ma postać

gdzie jest prędkością żaby w chwili odbicia. Aby znaleźć jej wartość minimalną, musimy odpowiedzieć na pytanie, dla jakiego kąta funkcja

ma minimum. W tym celu wystarczy obliczyć jej pochodną i przyrównać ją do zera. Możemy też skorzystać z nierówności i wynikającej z niej Widzimy, że energia jest minimalna, gdy Szukana minimalna prędkość żaby wynosi Dla kąta gdy tor żaby styka się w najwyższym punkcie z rurą,

Zgodnie z równaniem gazu doskonałego

gdzie to ciśnienie powietrza w bańce, - objętość bańki, - masa cząsteczkowa powietrza.

Warunek równowagi bańki można zapisać jako

gdzie to dodatkowe ciśnienie pod sferyczną powierzchnią błonki o niewielkim promieniu a to ciśnienie atmosferyczne.

Stąd dla mas mamy

Korzystając z tego, że dostajemy ostatecznie

Ciśnienie wywierane na stół w momencie, gdy woda zaczyna wyciekać dołem, wynosi a siła parcia na stół wynosi Siła ta jest zarazem równa wspólnej masie dzwonu i wody

Stąd

i ostatecznie

Zmiana energii wewnętrznej gazu dana jest wzorem gdzie jest temperaturą w stanie początkowym, liczbą moli, a molowym ciepłem właściwym przy stałej objętości. Oznaczmy ciśnienia początkowe i końcowe w cylindrze odpowiednio przez i Równania Clapeyrona dla tych stanów mają postać:

gdzie jest przesunięciem tłoka, a jego polem powierzchni. Odejmując te równania stronami, otrzymujemy Z warunków równowagi mamy a z pierwszej zasady termodynamiki Stąd uwzględniając, że Szukana zmiana energii wewnętrznej wynosi

a ponieważ gaz jest jednoatomowy, więc

Dopóki kula nie traci kontaktu z uskokiem, działa na nią siła ciężkości oraz siła reakcji podłoża Ponieważ nie ma tarcia, siła reakcji skierowana jest wzdłuż promienia kuli. Obie siły mają zerowy moment względem środka kuli, zatem kula porusza się ruchem postępowym. Środek masy kuli porusza się po okręgu o promieniu a jego równanie ruchu ma postać:

W momencie, w którym kula odrywa się od uskoku, siła reakcji znika: Z zasady zachowania energii mamy W chwili oderwania kąt jaki tworzy prędkość kuli z poziomem, dany jest wzorem wartość prędkości wynosi a dolny punkt kuli znajduje się na wysokości nad ziemią. Po oderwaniu środek masy kuli porusza się w kierunku poziomym ze stałą prędkością w kierunku pionowym spada w polu ciężkości z prędkością początkową i osiąga prędkość po czasie Szukana odległość dana jest wzorem

Ze względu na ogromną odległość do Słońca soczewka skupiająca wytworzy jego obraz w odległości praktycznie równej jej ogniskowej Średnica obrazu będzie równa i na krążku o tej średnicy zostanie skupiona cała moc padająca na powierzchnię soczewki - niech średnica soczewki wynosi Drewno ma małe przewodnictwo cieplne, przyjmijmy więc w grubym przybliżeniu, że głównym mechanizmem utraty ciepła z jego powierzchni będzie promieniowanie termiczne. Temperatura powierzchni ustali się, gdy moc docierająca od Słońca na powierzchnię obrazu po skupieniu przez soczewkę będzie równa mocy wypromieniowanej przez powierzchnię obrazu. Mamy więc równanie:

które pozwala nam obliczyć wartość temperatury obrazu Słońca. Warunkiem zapłonu jest ( 273) K. Ostatecznie otrzymujemy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy warunek W naszych obliczeniach, poza przewodnictwem ciepła w drewnie, pominęliśmy straty energii podczas przechodzenia promieniowania przez materiał soczewki oraz straty wynikające ze zjawiska konwekcji w powietrzu i wad optycznych soczewki (aberracja sferyczna i chromatyczna). Rzeczywisty stosunek pozwalający za pomocą soczewki zapalić drewno jest z tych powodów 3 do 4 razy większy, niż to wynika z naszego oszacowania.

W obu przypadkach możemy posłużyć się analizą wymiarową. W przypadku a) zakładamy zależność postaci:

Wymiarem prędkości jest napięcia powierzchniowego gęstości a długości fali Po porównaniu wymiarów lewej i prawej strony otrzymujemy: czyli:

gdzie jest pewną bezwymiarową stałą - ścisłe rozwiązanie zagadnienia dla fal kapilarnych prowadzi do wartości Znaleziona zależność poprawnie opisuje zachowanie bardzo krótkich fal na powierzchni wody.

W przypadku b) zakładamy:

Analiza wymiarowa prowadzi do wartości: czyli:

gdzie jest bezwymiarową stałą - ścisłe rozwiązanie zagadnienia dla fal grawitacyjnych prowadzi do Znaleziona zależność poprawnie opisuje fale na wodzie, gdy

Na jednym centymetrze kwadratowym powierzchni płytki osadza się w ciągu sekundy masa srebra równa stąd gdzie to liczba atomów srebra, padających w ciągu sekundy na płytki, a - masa jednego atomu. Ciśnienie na powierzchni płytki, pochodzące od tych atomów, wynosi gdzie prędkość atomów to Po przekształceniu mamy

gdzie - liczba Avogadra. Stąd ostatecznie

Kulka, dzięki zapasowi energii kinetycznej, będzie wykonywała pracę przeciw siłom pola elektrycznego ( - ładunek kulki, - przebyta przez nią różnica potencjałów). Energia kulki będzie malała zgodnie ze wzorem

Kulka dosięgnie sfery, jeżeli na jej powierzchni prędkość jest nieujemna. Dla granicznego przypadku mamy więc gdzie - potencjał sfery (przyjęliśmy, że potencjał odległego punktu wystrzelenia kulki wynosi zero). Korzystając z tego, że potencjał sfery wyraża się jako gdzie to promień sfery, otrzymamy

Jeżeli sfera będzie miała mniejszy promień, kulka do niej nie doleci. Zatrzyma się w odległości 54 cm od środka sfery i poleci z powrotem.

Naładowana płytka wytwarza pole elektryczne o natężeniu Na powierzchniach warstwy cieczy nad płytką powstają ładunki indukowane oraz Wypadkowe pole nad płytką możemy zapisać na dwa sposoby

stąd

Siła, z jaką ładunek na płytce i ładunek indukowany na dolnej powierzchni warstwy cieczy dielektrycznej odpychają ładunek indukowany na górnej powierzchni cieczy, dana jest wzorem

Siła ta powoduje podniesienie cieczy nad płytką o i jest równoważona dodatkową siłą ciężkości o wartości Szukana wysokość, na jaką podniesie się ciecz, wynosi

Gdy sprężyna odchylona jest od poziomu o kąt a jej długość wynosi siły działające na ciężarek w kierunku poziomym i pionowym mają postać

Ruch ciężarka jest złożeniem ruchów harmonicznych

Uwzględniając warunki początkowe: otrzymujemy

Tor ciężarka

jest linią prostą. Minimalna długość sprężyny dana jest wzorem

Gdy pręt obraca się z prędkością kątową w wyniku zmiany strumienia pola magnetycznego przez powierzchnię obwodu powstaje siła elektromotoryczna indukcji, której wartość wynosi

Natężenie prądu w obwodzie dane jest wzorem Warunek równowagi momentów sił działających na obracający się ze stałą prędkością kątową pręt ma postać stąd Z porównania wzorów na natężenie prądu otrzymujemy ustaloną prędkość kątową pręta:

Podczas rozpędzania motocyklista musi optymalnie wykorzystać siłę tarcia. Oznaczmy przez kąt między prędkością i maksymalną siłą tarcia w pewnej chwili podczas rozpędzania. Równania ruchu motocyklisty w kierunku stycznym i prostopadłym do toru mają postać: oraz Różniczkując względem czasu drugie równanie i uwzględniając pierwsze, otrzymujemy:

Prędkość kątowa motocyklisty w rozważanej chwili dana jest wzorem stąd W chwili początkowej i zatem Gdy motocyklista osiąga maksymalną prędkość, co odpowiada okręgu.

Podłączamy szeregowo do źródła prądu opór i amperomierz; następnie podłączamy woltomierz równolegle do amperomierza i notujemy wskazania obu przyrządów, tj. napięcie i prąd a następnie podłączamy woltomierz równolegle do oporu i rejestrujemy napięcie i prąd Pierwszy pomiar pozwala wyznaczyć opór wewnętrzny amperomierza, a drugi sumę oporu i :

W obu przypadkach możemy posłużyć się analizą wymiarową.

W przypadku a) zakładamy zależność postaci:

i po porównaniu wymiarów otrzymujemy: czyli:

gdzie jest pewną bezwymiarową stałą - ścisłe rozwiązanie zagadnienia dla fal kapilarnych prowadzi do wartości Znaleziona zależność poprawnie opisuje zachowanie bardzo krótkich fal na powierzchni wody.

W przypadku b) zakładamy:

Analiza wymiarowa prowadzi do wartości: czyli:

gdzie jest bezwymiarową stałą - ścisłe rozwiązanie zagadnienia dla fal grawitacyjnych prowadzi do Znaleziona zależność poprawnie opisuje fale na wodzie, gdy

Przy odbiciu dźwięku od muru kąt odbicia jest równy kątowi padania. Możemy więc zastosować metodę, którą znamy z analizy odbicia światła od zwierciadła płaskiego. Zamiast rozpatrywać rzeczywiste położenie źródła dźwięku i odbicie od muru - rozpatrujemy sytuację, w której fikcyjne źródło znajdowałoby się po drugiej stronie muru, w punkcie położonym symetrycznie względem muru w stosunku do rzeczywistego położenia źródła (punkt ).

Jeżeli jest czasem, po którym w punkcie kierowca usłyszy echo, to samochód przez ten czas przebędzie drogę a dźwięk drogę Z trójkąta mamy

Podstawiając dostajemy równanie

z którego znajdujemy

Zgodnie z prawem Faradaya spadek napięcia na cewce

gdzie - szybkość zmian strumienia pola magnetycznego przez cewkę, - szybkość zmian natężenia prądu w cewce ( małe). Ponieważ prąd w cewce ma rosnąć proporcjonalnie do czasu, napięcie nie zmienia się w czasie i w dowolnym momencie wynosi Napięcie na kondensatorze, które jest równe napięciu na cewce, także pozostaje stałe i wynosi

gdzie - początkowy ładunek na kondensatorze, - ładunek, który wypłynął z kondensatora w czasie -pojemność kondensatora w momencie Z równości dostajemy Ładunek, który wypłynął z kondensatora w czasie wynosi

gdzie - średnia wartość natężenia prądu w czasie Z warunku stałości napięcia na kondensatorze znajdujemy szukaną zależność pojemności od czas

Zauważmy, że wynik jest prawdziwy dla

to mniej niż 1/15 masy spoczynkowej protonu, a więc do oszacowań możemy zastosować przybliżenie nierelatywistyczne. Oddziaływanie z polem prostopadłym do toru jest źródłem siły dośrodkowej. Mamy więc: w przypadku pola elektrycznego i w przypadku pola magnetycznego, gdzie oznacza ładunek elementarny, a - prędkość protonów. Po skorzystaniu z faktu, że otrzymujemy:

Po podstawieniu danych liczbowych mamy i Pole elektryczne o otrzymanym natężeniu jest technicznie nieosiągalne, natomiast wartość odpowiada w przybliżeniu indukcji tuż przy biegunie magnesu neodymowego używanego, na przykład, do pokazów.

Rozumowanie przeprowadzimy dla nieskończenie długiej wiązki. Protony poruszają się ze stałą prędkością równolegle do osi wiązki, a więc składowe pól i wzdłuż wiązki są równe zeru. Z symetrii układu wynika, że dla każdej wartości różne od zera mogą być tylko składowa pola prostopadła do osi wiązki, skierowana od osi wiązki na zewnątrz i składowa pola prostopadła do pola i do prędkości Wartości i są przy tym jedynie funkcjami odległości od osi wiązki. Na podstawie prawa Gaussa (obliczamy strumień przez powierzchnię walca) mamy

gdzie oznacza ładunek protonu, to przenikalność dielektryczna próżni, a - "grubość plasterka" wiązki. Prawo Ampère'a (obliczamy krążenie wzdłuż okręgu o środku w centrum wiązki) prowadzi natomiast do równania

w którym jest przenikalnością magnetyczną próżni. Podstawiając otrzymane w ten sposób wartości i do wzoru na siłę Lorentza, otrzymujemy, że na proton wiązki działa siła prostopadła do osi wiązki i skierowana na zewnątrz wiązki:

Jak widać, wiązka jest niestabilna, tzn. bez zewnętrznych pól przeciwdziałających obliczonej powyżej sile protony wiązki będą się rozbiegać.

Bańkę stanowi sferyczna, cienka błonka wody z mydłem. Błonka ta ma dwie powierzchnie - wewnętrzną i zewnętrzną. Zaniedbując grubość błonki i przyjmując, że promienie obu sfer są jednakowe, znajdujemy ich całkowitą powierzchnię Biorąc pod uwagę, że przed powstaniem bańki powierzchnia wody mydlanej, z której bańka powstała, była zaniedbywalnie mała, można przyjąć, że powyższy wzór wyraża zmianę (przyrost) powierzchni wody mydlanej. Powiększenie powierzchni cieczy o wiąże się ze wzrostem energii powierzchniowej o zgodnie ze wzorem Wykonywana przy nadmuchiwaniu bańki praca jest zużywana właśnie na powiększenie energii powierzchniowej, czyli Podstawiając wartości, otrzymujemy czyli

W celu obliczenia energii kinetycznej elektronu, niezależnie od tego, czy mamy do czynienia z przypadkiem relatywistycznym, czy nie relatywistycznym, musimy znać jego masę spoczynkową i prędkość albo pęd. Aby znaleźć pęd elektronu, zapiszmy II zasadę dynamiki dla ruchu elektronu w polu magnetycznym. Ponieważ przy ruchu elektronu w polu magnetycznym działająca na niego siła Lorentza jest prostopadła do wektora prędkości wartość prędkości nie zmienia się i dla rozważanego przypadku można równanie ruchu napisać w postaci Stąd pęd jest równy Należy teraz rozstrzygnąć, czy w rozpatrywanym przypadku elektron należy traktować jako cząstkę relatywistyczną, od tego bowiem zależy relacja pomiędzy i Podstawiając wartości do wzoru na pęd, dostajemy Dla elektronu Nie zachodzi więc relacja co pozwoliłoby stosować "zwykłe", nierelatywistyczne wzory. Używając wzoru relatywistycznego

gdzie dostajemy .

Rys. 1

Aby skonstruować obraz przedmiotu, jaki powstaje w soczewce, musimy odpowiedzieć na pytania: jak biegnie promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę oraz jak biegnie promień przechodzący przez środek soczewki. W przypadku promienia równoległego możemy wprowadzić umieszczony w powietrzu układ zastępczy, złożony ze stykających się cienkich soczewek - szklanej o promieniach krzywizny oraz płasko-wklęsłej soczewki wodnej (Rys. 1). Odwrotność ogniskowej takiego układu jest sumą odwrotności poszczególnych soczewek:

Rys. 2

Oznaczmy kąt padania na środek soczewki promienia wychodzącego z końca przedmiotu (Rys. 2) przez a kąt załamania tego promienia przez Ponieważ przedmiot jest mały, mamy zgodnie z prawem załamania. Korzystając z rysunku 2 i przybliżenia małych kątów, otrzymujemy związki: gdzie jest odległością obrazu od soczewki, wysokością obrazu. Z podobieństwa odpowiednich trójkątów mamy też:

Stąd , a szukane powiększenie dane jest wzorem

W układzie środka masy prędkości kulki i ramki odpowiednio i spełniają związki: , , gdzie jest prędkością względną. Stąd

Energia w układzie środka masy wynosi

Na układ nie działają z zewnątrz w kierunku poziomym żadne siły, zatem środek masy porusza się ze stałą prędkością i jego energia kinetyczna nie zmienia się. Zderzenia są sprężyste, więc nie zmienia się również energia w układzie środka masy, prędkość względna kulki i ramki pozostaje stała i równa prędkości początkowej kulki Szukany czas między dwoma kolejnymi zderzeniami wynosi