Delta mi!

W chwili zastygania skały znajdują się w niej jony uranu, a nie ma jonów ołowiu. Wszystkie jony znajdowane w skale pochodzą więc z późniejszych rozpadów jonów Niech oznacza początkową liczbę jonów w próbce. Ich liczba po czasie wynosi

a liczba jonów wynosi bo wszystkie powstały w wyniku rozpadu Stosunek liczby jonów do liczby jonów wynosi więc

Stąd otrzymujemy wiek skały

Z informacji wynika, że objętość jądra jest proporcjonalna do liczby nukleonów, a więc średnio, na każdy nukleon przypada objętość kuli o promieniu Tym samym możemy przyjąć, że nieoznaczoność każdej ze współrzędnych nukleonu wynosi Zgodnie z zasadą nieoznaczoności dla współrzędnej mamy gdzie oznacza pęd w kierunku Analogiczne nierówności spełnione są dla współrzędnych i pędów w kierunkach i Pozwala to wyznaczyć nieoznaczoność pędu w każdym z kierunków :

Ruch nukleonu odbywa się w ograniczonym obszarze i wobec tego ma charakter oscylacyjny, co pozwala nam utożsamić nieoznaczoność pędu z jego wartością Dla energii kinetycznej ruchu nukleonu otrzymujemy:

a po podstawieniu danych liczbowych Wartość średniej energii wiązania nukleonu musi być większa od jego energii kinetycznej. Otrzymujemy oszacowanie Dla ciężkich jąder mierzona średnia energia wiązania na nukleon wynosi około

Nić nie ulega zerwaniu, gdy ciężarek wisi na niej w stanie równowagi, zatem spełniony jest warunek: . Oznaczmy przez wydłużenie nici w stanie równowagi, mamy wtedy związki:

gdzie jest współczynnikiem sprężystości nici. Dodatkowe wydłużenie w momencie rozerwania nici wynosi

---

Musimy rozważyć dwa przypadki:

(1)

Gdy na ciężarek cały czas działa siła sprężystości i aż do momentu zerwania nici porusza się on ruchem harmonicznym. Najmniejsza wysokość, na jaką musimy go podnieść, wynosi

(2)

Gdy możemy skorzystać z zasady zachowania energii:

Ostatecznie szukana wysokość dana jest wzorem

Toczenie bez poślizgu możemy opisać jako czysty obrót wokół chwilowej osi przechodzącej przez punkt styczności z podłożem stąd prędkość kątowa ruchu obrotowego szpuli dana jest wzorem a jej prędkość ruchu postępowego wynosi Prędkość punktu styczności szpuli z deską w chwili, gdy deska tworzy z poziomem kąt ma składową prostopadłą do deski (prędkość ruchu obrotowego jest prostopadła do deski). Odległość punktu od osi obrotu deski wynosi Szukana prędkość kątowa deski dana jest wzorem

Jeżeli przyjmiemy, że odstęp czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami temperatury wynosi to temperatura śniegu wyniosła po czasie a po czasie przy czym po czasie cała zawarta w śniegu woda była już zamarznięta. Zapiszemy bilans cieplny, przyjmując, że prędkość odprowadzania ciepła w zamrażarce jest stała:

• od początku eksperymentu do 10-tego pomiaru
• od 10-go do 11-go pomiaru

gdzie jest energią odprowadzaną w jednostce czasu, jest masą śniegu, a określa ułamek masy wody w śniegu.

Z powyższych równań mamy

Po podstawieniu danych liczbowych dostajemy, że woda stanowiła 0,19 masy mokrego śniegu.

Proces parowania zachodzi powoli i z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że woda w akwarium jest w równowadze termicznej z otoczeniem o stałej temperaturze, od którego pobiera ciepło uzupełniające ubytek energii związany z parowaniem. Masa wody która wyparuje w ciągu bardzo małego czasu przy stałej temperaturze, stałej wilgotności powietrza i braku wiatru, zależy tylko od pola powierzchni wody :

gdzie jest współczynnikiem proporcjonalności. Zmiana poziomu wody jest związana z zależnością gdzie to gęstość wody. Stąd

Ponieważ warunki parowania są stałe, więc zmiana poziomu wody zależy liniowo od czasu i nie zależy od innych parametrów, w szczególności od kształtu naczynia. Skoro po dwóch dobach poziom wody obniżył się o , to całkowicie wyparuje ona z naczynia po 30 dobach.

Oznaczmy wysokość słupa cieczy w nieruchomym naczyniu przez a rozmiary podstawy naczynia przez i Zgodnie z treścią zadania możemy więc przyjąć, że powierzchnia cieczy w obracającym się naczyniu ma kształt jak na rysunku.

Odpowiedź na pierwsze pytanie jest oczywista. Siła parcia na dno równa jest ciężarowi cieczy niezależnie od tego, czy naczynie obraca się, czy pozostaje w spoczynku.

Rozważmy mały element cieczy o masie na jej powierzchni w obracającym się naczyniu. Działa na niego siła ciężkości i siła reakcji ze strony pozostałej cieczy, prostopadła do jej powierzchni. Wypadkowa tych dwóch sił jest siłą dośrodkową o wartości gdzie jest prędkością kątową, a odległością elementu cieczy od osi obrotu. Styczna do powierzchni cieczy w badanym punkcie nachylona jest do poziomu pod kątem i spełnione są związki:

gdzie funkcja opisuje kształt powierzchni cieczy. Stąd a stałą możemy wyznaczyć z warunków brzegowych. Gdy zatem Ponieważ ciecz jest nieściśliwa i jej objętość stała, możemy wyznaczyć prędkość kątową obracającego się naczynia, przyrównując objętość cieczy w połówce naczynia spoczywającego i obracającego się:

stąd

Wysokość cienkiego słupka cieczy stykającego się z wąską ścianką naczynia wynosi

Zgodnie z prawem Pascala ciśnienie cieczy na wąską ściankę boczną zmienia się liniowo z wysokością, a jego wartość średnia wynosi gdzie jest gęstością cieczy. Szukany stosunek parć na ściankę boczną w obracającym się i nieruchomym naczyniu równy jest

Wynik nie zależy od rodzaju i objętości cieczy, rozmiarów naczynia oraz przyspieszenia grawitacyjnego. Gdy otrzymujemy

Na początku rozważmy przypadek, gdy płytka porusza się pionowo w dół ze stałą prędkością Na swobodne elektrony w płytce działa w polu magnetycznym siła Lorentza gdzie jest wartością bezwzględną ładunku elektronu. W wyniku tego elektrony przemieszczają się na lewą stronę płytki. Powoduje to powstanie pola elektrycznego skierowanego jak na rysunku. Elektrony przestają się przemieszczać, gdy siła Lorentza zostaje zrównoważona przez siłę elektryczną czyli zachodzi związek Ponieważ grubość płytki jest dużo mniejsza od jej promienia, możemy ją traktować jako kondensator płaski, w którym napięcie między powierzchniami wynosi a ładunek na powierzchniach gdzie jest powierzchnią płytki. Gdy prędkość płytki rośnie, zmieniają się ładunki na jej powierzchniach, czyli przez płytkę płynie prąd o natężeniu

gdzie jest przyspieszeniem płytki. Na przewodnik z prądem w polu magnetycznym działa siła elektrodynamiczna, która w naszym przypadku ma zwrot pionowo w górę i wartość Równanie ruchu płytki ma postać Stąd szukane przyspieszenie jest równe

Rozpatrzmy najpierw przypadek bez przyłożonego napięcia. Brzeg kropli na powierzchni dielektryka pozostaje w spoczynku, gdy siły działające na jednostkę jego długości równoważą się. Niech kąt zwilżania w tym przypadku wynosi Mamy więc:

czyli

Dla znalezienia zmiany kąta zwilżania musimy wiedzieć, jak przyłożenie napięcia zmieni energię rozdziału faz ciecz-dielektryk. Przewodząca ciecz i metalowa elektroda tworzą kondensator o pojemności: gdzie oznacza pole powierzchni styku kropli z dielektrykiem. Energia kondensatora naładowanego do napięcia wynosi ale trzeba też uwzględnić, że podczas ładowania, źródło napięcia wykonuje pracę potrzebną do pokonania stałego napięcia przez przenoszony ładunek Całkowita zmiana energii układu źródło-kondensator wynosi więc:

Energia ta zmieni wartość energii rozdziału faz ciecz-dielektryk, czyli wartość napięcia powierzchniowego naładowana ciecz-dielektryk. Kąt zwilżania będzie teraz spełniał zależność:

a więc

Jeśli przewodnik poddamy jednostajnemu przyspieszeniu to elektrony przewodnictwa (przyjmujemy, że wewnątrz metalu zachowują się jak cząstki swobodne) doznają względem sieci krystalicznej metalu przyspieszenia co odpowiada ruchowi w polu elektrycznym :

Pole wywołuje przepływ prądu o gęstości gdzie oznacza przewodnictwo właściwe metalu. Wartość tego prądu można zmierzyć i (zmierzywszy również przyspieszenie i przewodnictwo właściwe) wyznaczyć żądany stosunek:

Opis doświadczeń i wyników pomiarów można znaleźć w Physical Review 8, 97 (1916).

Oznaczmy odległość początkową między kulkami przez i obliczmy ich prędkości gdy odległość ta osiągnie wartość Z zasady zachowania energii otrzymujemy

gdzie jest masą, a ładunkiem kulki.

Widać, że prędkości kulek zależą od ich położenia względnego oraz położenia początkowego

(*)

Podczas ruchu kulki zmienia się od 1 do 2. Podzielmy przemieszczenia kulek w obu rozważanych przypadkach na jednakową liczbę odcinków, dla których są takie same. Przemieszczenie kulki przy zmianie o wynosi i w drugim przypadku jest 3 razy większe niż w pierwszym: Z wynika, że dla danego prędkość kulki w pierwszym przypadku jest razy większa niż w drugim. Przy zmianie o małe średnie prędkości kulek również będą różnić się razy: Czasy, w których kulki przemieszczają się o są równe: gdzie Stosunek tych czasów w rozważanych przypadkach dany jest wzorem Całkowity czas ruchu w drugim przypadku wynosi

Przyjmijmy, że obserwator O związany z Ziemią i obserwator związany z pojazdem zsynchronizowali swoje zegary, gdy znajdowali się w tym samym miejscu i tę chwilę uznali za zerową. Zdarzeniem początkowym jest odbicie sygnału radarowego wysłanego z Ziemi od pojazdu któremu obserwator O przypisuje współrzędną czasową oraz współrzędną przestrzenną W układzie statku to samo zdarzenie zachodzi w chwili w miejscu o współrzędnej przestrzennej zgodnie z transformacją Lorentza.

Zdarzenie końcowe - statek dogania - zachodzi w układzie Ziemi w miejscu o współrzędnej stąd chwila zdarzenia wynosi W układzie statku miejsce zdarzenia ma współrzędną i zachodzi w chwili

W układzie Ziemi statek dogoni po czasie

W układzie statku szukany czas wynosi

Ten sam wynik możemy otrzymać ze wzoru gdzie a jest prędkością statku względem

Skoro prędkość kolumny wynosi a odległość przednich zderzaków kolejnych ciężarówek wynosi to i gdzie i są względnymi prędkościami samochodu osobowego i kolumny w przypadku (1) i (2). Stąd oraz Rozwiązując ten układ równań dostajemy:

Kolejne ciężarówki będą mijały stojący samochód co

Po włączeniu zielonego światła samochody nie ruszają jednocześnie. Najpierw rusza pierwszy rząd samochodów, które stoją bezpośrednio przy sygnalizatorze, potem kolejno ruszają następne rzędy - wzdłuż korka rozchodzi się rodzaj "fali". Niech w czasie gdy włączone jest zielone światło, obok sygnalizatora przejeżdża część korka o długości Na czas składa się czas potrzebny na to, aby "fala" przebyła drogę i czas potrzebny, aby samochód drogę przejechał. Jeżeli jest prędkością samochodu (bez uwzględniania jego rozpędzania się), a prędkością rozchodzenia się "fali", to

Jeżeli czas, na który jest włączone czerwone światło wynosi to średnia prędkość poruszania się w korku wynosi Podstawiając, znajdujemy

a stąd dla otrzymujemy Po podwojeniu czasu prędkość samochodu w korku wyniesie:

a) Różnica dróg promieni biegnących od centrum płytki i z punktu odległego o od centrum płytki do środka ekranu umieszczonego w odległości od płytki wynosi: W przybliżeniu

Miejsca, z których biegnące fale osłabiałyby falę biegnącą z centrum płytki, powinny być nieprzezroczyste. Zachodzi dla nich związek: gdzie Stąd

Pierwszy nieprzezroczysty pierścień ma promień wewnętrzny , zewnętrzny , drugi , . b) niech szukana odległość wynosi Chcemy, żeby różnica dróg promieni przechodzących przez punkt odległy o od środka płytki i przechodzących przez środek płytki była taka sama, jak w przypadku wiązki równoległej:

Stąd

Prędkość sanek jest pozioma, możemy rozłożyć ją na składowe równoległą do linki i prostopadłą do linki. Zachodzi związek W układzie inercjalnym, związanym z człowiekiem, sanki poruszają się po okręgu o promieniu z prędkością i przyspieszeniem dośrodkowym Jedyną siłą działającą na sanki w kierunku poziomym jest składowa siły naprężenia linki Nadaje ona sankom przyspieszenie Składowa tego przyspieszenia równoległa do linki jest przyspieszeniem dośrodkowym:

Stąd siła naprężenia linki dana jest wzorem:

Podczas narastania indukcji pola magnetycznego w pierścieniu pojawia się siła elektromotoryczna Zgodnie z prawem indukcji Faradaya mamy

gdzie oznacza strumień indukcji przez powierzchnię cewki. Oznacza to, że w każdym punkcie pierścienia, stycznie do niego, na ładunki działa pole elektryczne o wartości gdzie jest promieniem pierścienia. Liniowa gęstość ładunku na pierścieniu wynosi a więc na odcinek pierścienia działa siła i moment siły względem jego środka to Całkowity moment siły "obracający" pierścień wynosi Ten moment siły nadaje pierścieniowi przyspieszenie kątowe gdzie jest momentem bezwładności pierścienia. Otrzymujemy więc

Ostatnia równość wynika z definicji strumienia jednorodnego pola przez pole koła. Po uproszczeniu powtarzających się czynników dostajemy:

i ze względu na początkowe wartości oraz ostatecznie otrzymujemy

Siła oporu z jaką powietrze działa na ciało poruszające się z prędkością wynosi

gdzie jest gęstością powietrza, polem powierzchni przekroju ciała (prostopadłego do kierunku ruchu), a współczynnikiem zależnym od kształtu ciała o wartości rzędu 1 (od do 1). W dobrym przybliżeniu powietrze spełnia równanie stanu gazu doskonałego. Korzystając z tego równania dla danych zadania, otrzymujemy (dla temperatury w skali Kelvina ):

Przyjmijmy, że szerokość ciała skoczka wynosi średnio - w ramionach na pewno więcej, ale za to dla nóg mniej, co dla wzrostu daje Maksymalna prędkość odpowiada sytuacji, gdy siła oporu Po podstawieniu powyższych oszacowań do równania otrzymujemy

Podczas zawodów, przy skokach z wysokości około po około skoczkowie osiągają stałe prędkości około bliskie otrzymanej w rozwiązaniu.

Rys. 1

Rys. 2

1. Rozpatrzmy przypadek, gdy wektory indukcji pola magnetycznego oraz prędkości kątowej walca mają zwroty przeciwne (Rys. 1). Na swobodny elektron wewnątrz walca, poruszający się po okręgu o promieniu działa siła magnetyczna zwrócona na zewnątrz okręgu ( oznacza wartość bezwzględną ładunku elektronu). Wypadkowa siła działająca na elektron jest siłą dośrodkową, zatem siła elektryczna jest większa od siły magnetycznej i ma zwrot do środka okręgu ( jest natężeniem pola elektrycznego wewnątrz walca). Równanie ruchu elektronu ma postać stąd natężenie pola elektrycznego ma zwrot na zewnątrz walca, a jego wartość rośnie liniowo z odległością od środka walca. Rozważmy cienką warstwę cylindryczną o grubości wewnątrz walca (Rys. 2). Oznaczając przez gęstość ładunku wewnątrz tej warstwy, możemy zapisać prawo Gaussa

gdzie jest wysokością walca. Stąd

Gęstość ładunku wewnątrz walca jest stała i dodatnia, ładunek ujemny rozłożony jest na powierzchni walca.

2. Gdy wektory i mają zwroty przeciwne, siła magnetyczna działająca na swobodny elektron ma zwrot do środka okręgu, równanie ruchu elektronu ma postać Znak opisuje przypadek, gdy znak , gdy nierówność ma znak przeciwny. Szukana gęstość ładunku dana jest wzorem i może być dodatnia albo ujemna. Gdy gęstość ładunku wynosi 0.

Dopóki kulki się stykają, środek masy układu porusza się po okręgu o środku w punkcie i promieniu Siła dośrodkowa spełnia równanie

gdzie jest prędkością środka masy, i siłami reakcji ze strony podłoża i ściany, jest kątem, jaki tworzy wektor położenia środka masy zaczepiony w punkcie z poziomem. Oznaczając przez wartość siły oddziaływania między kulkami, możemy zapisać związki Gdy kulki przestają się stykać, w położeniu opisanym kątem mamy

(1)

Oznaczmy prędkości kulek dolnej i górnej w chwili utraty kontaktu odpowiednio przez i Z definicji środka masy mamy

zatem

Ponieważ nie ma tarcia, spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej

Uwzględniając (1), otrzymujemy:

Szukana prędkość dolnej kulki w chwili utraty kontaktu z górną dana jest wzorem

Każda kropla, wpadając do naczynia, powiększa jego ładunek o Ładunek ten rozkłada się równomiernie na powierzchni sfery i wytwarza wokół niej pole elektryczne, które jest takie jak pole pochodzące od ładunku punktowego, równego ładunkowi sfery, umieszczonego w jej środku. Na spadającą kroplę działają więc dwie siły: przyspieszająca ruch kropli siła ciężkości i opóźniająca ten ruch siła elektrostatyczna. Przyjmijmy, że do naczynia wpadło kropli, a więc jego ładunek wynosi Kropla już do naczynia nie wpadnie, jeżeli jej prędkość na wysokości otworu w naczyniu będzie równa zeru.

Prędkość tę znajdziemy, obliczając energię kinetyczną, jaką ma na wysokości kropla spadająca z wysokości Będzie ona równa zmianie jej energii potencjalnej, na którą składa się energia pochodząca od pola grawitacyjnego i od pola elektrycznego przy spadku z wysokości do wysokości :

Mamy więc

a stąd

Z warunku dostajemy

a to oznacza, że ostatnia kropla, która wpadnie do naczynia, ma numer będący największą liczbą całkowitą spełniającą warunek:

Każda kulka spadająca z wysokości przy sprężystym zderzeniu z tłokiem przekazuje mu pęd Następuje to raz w ciągu czasu pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami, który jest równy sumie czasu wznoszenia i spadania kulki: gdzie g to przyspieszenie ziemskie. Stąd znajdujemy średnią wartość siły oddziaływania jednej kulki na tłok w ciągu czasu równą

Dla średniej siły oddziaływania kulek na tłok znajdujemy

(Zauważmy, że wielkość tej siły, równa całkowitemu ciężarowi kulek, nie zależy od wysokości, na jaką one podskakują, co wynika ze sprężystego charakteru zderzeń z tłokiem).

Ciśnienie gazu pod tłokiem znajdujemy jako sumę ciśnień:

Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki ciepło potrzebne do zamiany masy wody w parę podczas wrzenia zużywane jest na zwiększenie energii wewnętrznej oraz pracę przeciw siłom zewnętrznego ciśnienia: gdzie jest objętością wygotowanej wody, objętością powstałej pary, ciśnieniem pary nasyconej wody w temperaturze Z równania Clapeyrona gdzie jest masą molową wody. Stosunek gęstości pary nasyconej i wody w temperaturze wynosi zatem objętość wygotowanej wody możemy pominąć w porównaniu z objętością powstałej pary. Stosunek zmiany energii wewnętrznej do pobranego ciepła dany jest wzorem

Oznaczmy prędkość środka masy pręta w chwili końcowej przez a prędkość kątową ruchu obrotowego wokół środka masy przez Ruch pręta możemy też traktować jako czysty obrót wokół chwilowej osi obrotu z taką samą prędkością kątową Prędkość punktu w chwili końcowej jest styczna do walca, a prędkość punktu ma kierunek poziomy. Punkt przez który przechodzi chwilowa oś obrotu, leży na przecięciu prostopadłych do prędkości i Z podobieństwa trójkątów prostokątnych na rysunku otrzymujemy, że długość odcinka wynosi Z twierdzenia Pitagorasa długość odcinka jest równa Wynika stąd, że związek między prędkością środka masy i prędkością ruchu obrotowego dany jest wzorem Ponieważ nie ma oporów ruchu, zachowana jest energia mechaniczna pręta

(1)

gdzie jest masą pręta, jego momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek. Wysokości środka masy nad powierzchnią poziomą w chwilach początkowej i końcowej wynoszą odpowiednio i Podstawiając to do równania (1), otrzymujemy prędkość kątową

Szukana wartość prędkości punktu dana jest wzorem

Na podstawie zasady równoważności masy i energii otrzymujemy, że kwant o częstości i energii gdzie jest stałą Plancka, spadając w polu grawitacyjnym z wysokości zwiększy swoja energię o a więc jego częstość wzrośnie o Dla niewielkich prędkości ruchu emitera zmiana częstości promieniowania w wyniku zjawiska Dopplera wynosi Dla skompensowania wzrostu energii kwantu podczas spadku emiter musi oddalać się od detektora z prędkością powodującą zmniejszenie energii kwantu o wartość równą temu wzrostowi. Otrzymujemy więc: W doświadczeniu Pounda i Rebki użyto kwantów o energii emitowanych przez izotop
(Physical Review Letters 4, 337 (1960)).

Powierzchnię bańki mydlanej tworzą dwie powierzchnie rozdziału faz woda z mydłem - powietrze, pomiędzy którymi znajduje się roztwór wody z mydłem. Zakrzywiona powierzchnia bańki o promieniu powoduje, że w jej wnętrzu ciśnienie jest większe od zewnętrznego o gdzie jest promieniem bańki. Zamknięty w bańce gaz spełnia prawo Boyle'a-Mariotte'a, gdzie jest ciśnieniem gazu, jego objętością, liczbą moli gazu, stałą gazową, a temperaturą w skali bezwzględnej. Oczywiście gdzie oznacza masę gazu, a jego masę molową. Masa gazu zamkniętego w bańkach przed i po zderzeniu nie zmienia się, nie zmienia się też temperatura Biorąc to wszystko pod uwagę, otrzymujemy równanie spełniane przez promień końcowej bańki:

a stąd

Dla spełnienia warunku dodatniości prawej strony musi zachodzić

Ponieważ m, to bardzo nieznacznie przewyższa

a)

Gdy klucz znajduje się w położeniu potencjał dolnej okładki kondensatora jest taki sam jak potencjał klucza. Napięcie na kondensatorze nie zmienia się i wynosi 0.

b)

W chwili początkowej napięcia na obu kondensatorach wynoszą Po przełączeniu klucza do punktu kondensator ładuje się do napięcia Po ponownym przełączeniu do punktu przez źródło przepływa ładunek, napięcie na obu kondensatorach maleje o tę samą wartość Zgodnie z prawem Kirchhoffa Stąd napięcie na drugim kondensatorze wynosi Rozumując analogicznie, otrzymujemy, że po drugim powrocie klucza do położenia napięcie na kondensatorze wynosi a po -tym powrocie Po odpowiednio długim czasie dolny kondensator rozładuje się.

Podczas zderzenia na piłkę działa siła reakcji ściany oraz siła spowodowana ciśnieniem atmosferycznym. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki siła reakcji równa jest co do wartości sile nacisku piłki na ścianę. Ponieważ możemy zaniedbać sprężystość powłoki, więc gdzie jest promieniem powierzchni zetknięcia piłki ze ścianą (rysunek). W celu znalezienia siły podzielmy myślowo powierzchnię piłki stykającą się z powietrzem na małe elementy o powierzchni Na każdy element działa prostopadle do niego siła Wobec symetrii składowe równoległe do ściany wszystkich tych sił znoszą się, siła skierowana jest prostopadle w kierunku ściany i ma wartość Z rysunku widać, że wielkość jest rzutem -tego elementu powierzchni na płaszczyznę pionową, a suma tych wielkości równa jest powierzchni styku piłki ze ścianą. Stąd Wypadkowa siła działająca na piłkę wynosi zatem

Wobec mamy a zwrot jest przeciwny do deformacji W rozważanym przybliżeniu piłka podczas zderzenia ze ścianą porusza się ruchem harmonicznym z okresem gdzie Czas zderzenia piłki ze ścianą równy jest połowie okresu:

W czasie przez przekrój wirnika przechodzi strumień powietrza. Wirnik przekazuje więc mu pęd w jednostce czasu, więc siła nośna wynosi

Śmigłowiec zwisa w polu grawitacyjnym Ziemi, więc Z kolei energia kinetyczna powietrza popychanego w jednostce czasu wynosi

Silnik musi więc dostarczać co najmniej tyle energii w jednostce czasu, a więc

a po podstawieniu poprzednio wyprowadzonych zależności

Niech oznacza chwilową masę rakiety, a masę wyrzucaną w krótkim czasie Pęd rakiety zmienia się w tym czasie o

Jednocześnie za rufą pojawia się gazów o prędkości Z zasady zachowania pędu musi więc zajść

a stąd

Wielkość ta rośnie wraz z ubytkiem masy rakiety.

Zasadę zachowania energii rozpatrujemy w podobny sposób: zmiana energii kinetycznej rakiety w to

Energia kinetyczna wyrzuconych w tym czasie gazów to

Wobec tego

Łącząc oba wyrażenia dostajemy, że

co jest wielkością stałą podczas ruchu rakiety.