Delta mi!

Parcie na dno naczynia nie zmienia się po stopieniu wody, bo nie zmienia się ciężar zawartości naczynia, a ścianki cylindra są pionowe:

gdzie i oznaczają wysokości słupa wody w naczyniu przed i po stopieniu lodu, jest objętością ołowiu. Różnica wysokości poziomów wody wynosi

(1)

Ponieważ gęstość ołowiu jest większa od gęstości wody, poziom wody w naczyniu obniży się. Objętość ołowiu możemy znaleźć z warunku równowagi sił działających na pływający lód:

(2)

Z równań (1) i (2) otrzymujemy szukany wynik:

Szukany współczynnik załamania możemy znaleźć ze wzoru na zdolność skupiającą soczewki okularów:

gdzie i są promieniami krzywizny powierzchni soczewki. Są one dodatnie, gdy powierzchnia soczewki jest wypukła, i ujemne, gdy powierzchnia jest wklęsła. Odległość ucznia od soczewki jest stała i wynosi Gdy nauczyciel patrzy na ucznia przez okulary, widzi jego obraz pozorny w odległości stąd

Soczewki okularów są rozpraszające.

Gdy nauczyciel jest odwrócony do tablicy, jeden z obrazów odległy o powstaje w wyniku odbicia od powierzchni soczewki bliższej oka. Zdolność skupiająca takiego zwierciadła wynosi Musimy rozważyć dwa przypadki:

a)

powierzchnia soczewki jest płaska,

b)

powierzchnia jest wypukła, czyli

Drugi obraz obserwowany przez nauczyciela odwróconego do tablicy, odległy od niego o powstaje w wyniku przejścia światła przez soczewkę, odbiciu od powierzchni o zdolności skupiającej dalszej od oka i ponownym przejściu przez soczewkę. Zdolność skupiająca takiego układu wynosi

Rozważamy ponownie dwa przypadki:

a)

b)

Przypadek b) musimy odrzucić, bo soczewka szklana dwuwypukła nie może być rozpraszająca. W przypadku a) soczewka jest płasko-wklęsła wykonana ze szkła o współczynniku załamania

Gdyby prędkość wirowania Ziemi wzrosła, to najsilniejszy efekt tej zmiany byłby obserwowany na równiku. Oszacujmy, przy jakiej prędkości kątowej siła odśrodkowa zrównoważyłaby przyciąganie grawitacyjne na równiku:

Biorąc pod uwagę, że gdzie jest poszukiwaną długością najkrótszej doby, otrzymujemy:

czyli około "obecnej" doby.

Na szczęście rotacja Ziemi spowalnia i doba wydłuża się o niecałe na stulecie.

Siła przyciągania Ziemia-Księżyc jest źródłem siły dośrodkowej w ruchu orbitalnym Księżyca, co prowadzi do warunku:

gdzie oznacza odległość środków Ziemi i Księżyca.

W układzie nieinercjalnym rotującym z prędkością wokół środka Ziemi (duża masa Ziemi pozwala nam utożsamić jej środek ze środkiem masy układu Ziemia-Księżyc) na cząstkę pyłu o masie leżącą na Księżycu najdalej od Ziemi działa więc wypadkowa siła "do Księżyca":

a na podobną cząstkę najbliżej Ziemi siła:

Dla mamy

W tym przybliżeniu

Ostatnia równość oznacza, że cząstka jest dociskana do Księżyca. Ostatecznie otrzymujemy warunek:

Po podstawieniu danych liczbowych

Obliczona odległość to około promienia Księżyca a więc warunek jest słabo spełniony, stąd w treści zadania, dla bezpieczeństwa pada określenie "oszacuj".

Okres obiegu Księżyca w obliczonej odległości od Ziemi wynosiłby około 3 godziny 7 minut zamiast 27 i 1/3 dnia.

Warto jednak pamiętać, że aktualnie Księżyc oddala się od Ziemi w tempie niecałych

W stanie równowagi tyle samo cząsteczek gazu pierwszego przenika przez tłok w obie strony. Ponieważ temperatura w obu częściach cylindra jest taka sama, liczba moli gazu pierwszego w jednostce objętości po obu stronach tłoka musi być jednakowa, zatem jednakowe jest też ciśnienie gazu pierwszego po obu stronach tłoka. Niech oznacza ciśnienie gazu nieprzenikającego przez tłok w dolnej części cylindra. Warunek równowagi tłoka ma postać gdzie jest polem powierzchni tłoka. Korzystając z równania Clapeyrona dla gazu drugiego, otrzymujemy wyrażenie na odległość tłoka od dolnej podstawy cylindra:

Oznaczmy liczbę moli gazu pierwszego w górnej części cylindra przez a w dolnej przez Zachodzi związek Spełnione są też równania Clapeyrona: oraz Rozwiązując powyższy układ równań, otrzymujemy szukaną liczbę moli gazu w górnej części naczynia:

Przyjmijmy dla ustalenia uwagi, że ładunek płytki jest dodatni. Rozważmy sytuację, gdy płytka naładowana ładunkiem jest nieruchoma i znajduje się w odległości od jednej z okładek. Okładki kondensatora są zwarte drutem i uziemione, zatem napięcie między nimi wynosi zero. Wartości natężeń pola elektrycznego w obszarach zaznaczonych na rysunku wynoszą:

gdzie i to ładunki na okładkach kondensatora, jest powierzchnią płytki. Spełniony jest związek Ponieważ potencjał okładek kondensatora wynosi zero, na zewnątrz kondensatora nie ma pola elektrycznego, stąd Eliminując z powyższych równań i otrzymujemy związek Przesunięcie płytki o powoduje zmianę ładunku o czyli przepływ prądu między okładkami kondensatora o natężeniu

Energia fotonu wyraża się wzorem a jego pęd Jeżeli na powierzchnię folii w ciągu sekundy pada N fotonów, to moc światła padającego wynosi Ciśnienie wytwarzane przez padające fotony wynosi gdzie - zmiana pędu fotonu przy odbiciu. Stąd

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki gdzie - prędkość uzyskana przez folię. Stąd

W wyniku zjawiska fotoelektrycznego na kulce zbiera się ładunek dodatni, a pochodzące od niego pole hamuje fotoelektrony. Wielkość ładunku zależy od pojemności kulki i jej potencjału Maksymalny potencjał kulki zależy od początkowej energii kinetycznej fotoelektronów. Ponieważ przyrost energii kinetycznej elektronów jest równy pracy sił pola kulki, więc przyjmując, że potencjał pola kulki i prędkość elektronów w nieskończoności wynoszą zero, dostajemy: (gdzie ładunek elektronu). Stąd (gdzie maksymalna energia fotoelektronu) a Zgodnie ze wzorem Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego (gdzie częstość światła). Ostatecznie

Rys. 1

Rys. 2

Niech oznacza ładunek płytki, jej powierzchnię, energię płytki, czyli sumę energii oddziaływania ładunków na poszczególnych elementach dielektryka. Na rysunku 1 przedstawiono dwa małe elementy płytki o powierzchniach odległe od siebie o Ładunek każdego elementu wynosi ich energia oddziaływania Po złożeniu ładunek płytki pozostaje niezmieniony, jej powierzchnia elementy odpowiadające poprzednio rozważanym mają powierzchnię a ich odległość wynosi (Rys. 2). Energia oddziaływania tych elementów Całkowita energia złożonego dielektryka wynosi Praca wykonana przy składaniu dana jest wzorem Po kolejnym złożeniu wykonana praca wynosi gdzie energia podwójnie złożonego dielektryka Szukana praca dana jest wzorem:

Równanie ruchu klocka, gdy jego przesunięcie wzdłuż płaszczyzny wynosi ma postać gdzie jest liczbą rurek stykających się z klockiem, oznacza siłę tarcia między rurką a klockiem. Ruch obrotowy rurki opisuje równanie stąd Szukane przyspieszenie dane jest wzorem

O wysokości dźwięku piszczałki decyduje jej długość Podstawowa częstość dźwięku odpowiada długości fali a więc wynosi Prędkość dźwięku w gazie wynosi

gdzie oznacza wykładnik adiabaty, masę molową gazu, stałą gazową, a temperaturę w skali Kelwina. Spadek temperatury od do spowoduje obniżenie częstości od do

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy

Na potrzeby oszacowania przyjmijmy bardzo uproszczony model, w którym cała masa struny skupiona jest w jej środku. Ruch harmoniczny poziomej struny odbywa się pod wpływem składowej pionowej siły naciągu. Dla masy skupionej w środku struny odpowiada to jej ruchowi pod działaniem pionowej sprężyny o pewnej wypadkowej stałej sprężystości Częstość drgań wynosi więc:

W stanie równowagi siła ciężkości równoważona jest przez siłę naciągu sprężyny: gdzie oznacza wydłużenie sprężyny, czyli w naszym modelu obniżenie środka struny. Otrzymujemy:

W chwili początkowej kondensator jest naładowany ładunkiem a jego energia wynosi gdzie jest napięciem między okładkami a przenikalnością elektryczną próżni. Załóżmy, że ruchoma okładka zatrzyma się, gdy sprężyna zostanie rozciągnięta o Do chwili zatrzymania ładunek na kondensatorze wzrośnie do wartości energia osiągnie wartość a źródło wykona pracę Zasada zachowania energii ma postać Otrzymujemy stąd równanie Ma ono rozwiązanie, gdy Stąd szukana maksymalna wartość napięcia Odpowiadająca jej odległość między okładkami ma wartość

Zadanie możemy też rozwiązać, rozważając siły działające na ruchomą okładkę kondensatora. Są to: siła sprężystości i siła przyciągania elektrostatycznego między okładkami Jeżeli okładka zatrzyma się, gdy to jej zmiana energii kinetycznej wynosi a z drugiej strony równa jest pracy wypadkowej siły działającej na okładkę:

Stąd otrzymujemy takie samo równanie na jak w poprzednim rozwiązaniu.

Załóżmy, że po przyłożeniu siły do pierwszego klocka (rysunek) klocek drugi nie ruszy z miejsca. Niech oś skierowana będzie wzdłuż sprężyny. Gdy sprężyna jest nieodkształcona, jej koniec przyczepiony do pierwszego klocka ma współrzędną Oznaczmy przez współrzędną punktu w chwili początkowej. Zachodzi związek gdzie jest współczynnikiem sprężystości sprężyny. Znaki " " odpowiadają sytuacjom, gdy sprężyna jest początkowo rozciągnięta lub ściśnięta. Po przyłożeniu siły klocek najpierw przyspiesza, mija położenie równowagi gdzie następnie jego prędkość maleje. W chwili, gdy prędkość klocka osiąga wartość zerową w punkcie zmiana energii sprężystości równa jest pracy siły oraz tarcia

stąd

Ostatnie równanie wyraża warunek równowagi sił w położeniu Ponieważ klocek drugi nie rusza z miejsca, a siła jest maksymalna, mamy dodatkowy warunek Szukana siła dana jest wzorem

Przyjmijmy, że kulka o masie spada z wysokości i sprężyście zderza się z nieruchomą, poziomą płaszczyzną. Jeżeli czas zderzenia jest mały w porównaniu z czasem pomiędzy kolejnymi zderzeniami to gdzie to przyspieszenie ziemskie. Przy każdym zderzeniu pęd kulki zmienia się o gdzie to prędkość kulki w momencie zderzenia. W rezultacie na płaszczyznę działa pewna średnia siła W ciągu czasu pęd przekazany powierzchni wyniesie

a więc uśredniona po czasie siła działająca na płaszczyznę ze strony odbijającej się kulki wynosi

Ponieważ masa szalki jest znacznie większa od masy kulki to powyższe rozumowanie możemy zastosować do powierzchni szalki. Wynika stąd, że na powolne drgania szalki będą nakładać się prawie periodyczne uderzenia kulki w jej powierzchnię, a wynikająca stąd średnia siła spowoduje przesunięcie położenia równowagi szalki o

Jeżeli noga piłkarza w momencie zderzenia z piłką porusza się z prędkością to w związanym z nią układzie odniesienia prędkość piłki wynosi (przyjmujemy, że oś ruchu jest zgodna z kierunkiem ruchu piłki). Po całkowicie sprężystym zderzeniu prędkość piłki w tym samym układzie odniesienia wyniesie a jej prędkość względem ziemi wyniesie Jeżeli piłka po uderzeniu zatrzyma się to a stąd Znak minus wskazuje, że noga piłkarza powinna poruszać się w tym samym kierunku, co piłka przed uderzeniem.

Dla daleko idącego uproszczenia przyjmijmy, że Ziemia jest ciekłą, jednorodną kulą. Korzystając z faktu, że wewnątrz jednorodnej powłoki kulistej wypadkowa siła grawitacji od całej powłoki równa się zeru, otrzymujemy, że przyspieszenie grawitacyjne we wnętrzu Ziemi rośnie liniowo z odległością od jej środka: Pozostaje nam obliczyć ciśnienie pochodzące od słupa cieczy o gęstości i wysokości znajdującego się w polu grawitacyjnym :

(nielubiący całkowania dla otrzymania wzoru końcowego mogą posłużyć się analogią z obliczaniem prędkości średniej w ruchu jednostajnie przyspieszonym).

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

Na podstawie badań fal sejsmicznych wartość ciśnienia we wnętrzu Ziemi oceniana jest w granicach od do Niedoszacowanie tej wartości w przeprowadzonym powyżej rachunku wynika z nieuwzględnienia wzrostu gęstości skał wraz ze zbliżaniem się do środka Ziemi.

Na paczkę poza siłą działa skierowana pionowo siła ciężkości oraz równoległa do powierzchni pochylni siła tarcia

Rozłóżmy siły działające na paczkę na składowe: prostopadłą do pochylni i równoległą Siła tarcia Wciąganie paczki oznacza, że Podstawiając poprzednio uzyskane wzory, otrzymujemy:

Skąd wyznaczamy:

Minimalna wartość siły odpowiada maksymalnej wartości mianownika wyrażenia. Współczynnik tarcia możemy wyrazić jako i otrzymać warunek:

Maksimum mianownika otrzymujemy, gdy czyli

Długofalowa granica zjawiska fotoelektrycznego określa pracę wyjścia elektronu, charakterystyczną dla metalu, z którego zrobiona jest fotokatoda: gdzie to stała Plancka. W rozpatrywanym przypadku Skoro siatka, mająca potencjał zatrzymuje wszystkie fotoelektrony, to ich energia kinetyczna gdzie i to masa i ładunek elektronu, a - jego prędkość, przy czym znak równości odpowiada elektronom o maksymalnej prędkości Energia, potrzebna do wykonania pracy wyjścia i nadania elektronowi prędkości, pochodzi od fotonu o częstości więc zgodnie z prawem zachowania energii mamy

(równanie Einsteina). Stąd, korzystając z otrzymanych zależności, mamy

i ostatecznie

a po podstawieniu danych liczbowych

Ponieważ a to

Korzystając z tego, że gdzie to gęstość, - ciężar atomowy, a - liczba Avogadro, otrzymujemy:

a stąd

Podstawiając tablicowe wartości gęstości i ciężarów atomowych, dostajemy

Nitka działa na kulkę siłą prostopadłą do prędkości kulki, zatem wartość prędkości kulki podczas ruchu jest stała i wynosi Rozważmy krótki przedział czasu podczas odwijania się nitki. Niech oznacza długość odwiniętej części nitki w chwili Po czasie nitka odwinie się o dodatkowe a kulka przebędzie drogę Zachodzi związek

Dodając wszystkie przedziały czasowe, otrzymujemy czas odwijania się nitki z walca gdzie jest długością nitki. Zanim nitka zacznie ponownie nawijać się na walec, kulka musi przebyć drogę w czasie Czas nawijania równy jest czasowi odwijania, szukany czas całkowity to

Rozważymy promień równoległy do osi optycznej, który po przejściu przez soczewkę pada na powierzchnię sferyczną pod kątem i załamuje się pod kątem Odległość środka krzywizny od punktu przecięcia promienia załamanego z osią optyczną soczewki wynosi gdzie Podstawiając, otrzymujemy

Funkcja maleje ze wzrostem kąta Gdy promień pada na koniec soczewki, kąt jest maksymalny i spełnia równanie Dla podanych danych liczbowych maksymalny kąt jest większy od kąta granicznego, zatem wszystkie promienie wiązki padające na soczewkę załamują się na jej powierzchni sferycznej. Skrajne promienie wiązki przecinają oś optyczną w odległości od ekranu. Zgodnie z (*),

gdzie jest ogniskową cienkiej soczewki płaskowypukłej. Szukana średnica plamki na ekranie dana jest wzorem

gdzie jest średnicą soczewki.

Długość fali de Broglie'a elektronów jest dana wzorem gdzie oznacza stałą Plancka, masę elektronu, a jego prędkość. Prędkość elektronów o ładunku przyspieszanych napięciem wynosi:

dla Wewnątrz kryształu długość fali wyznaczamy zastępując wartością Współczynnik załamania wynosi więc:

a stąd

(Interpretację doświadczenia i oszacowanie podał Hans Bethe - Annalen der Physik 87, 55 (1928)).

W zderzeniu niesprężystym część energii kinetycznej zamieniana jest na wewnętrzne wzbudzenia zderzających się cząsteczek, ale nie zmienia się suma ich pędów i tym samym energia kinetyczna ruchu ich środka masy nie zmienia się w wyniku tych wzbudzeń. Najkorzystniejsza, z punktu widzenia zerwania wiązania, jest sytuacja, która odpowiada zderzeniu centralnemu, gdy przed zderzeniem cząsteczki zbliżają się do siebie z takimi samymi prędkościami. Cała energia kinetyczna ruchu przed zderzeniem może być wówczas zamieniona na wzbudzenia wewnętrzne. Minimalna prędkość spełnia więc warunek:

a stąd

Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek gazu w temperaturze wynosi Otrzymanej prędkości odpowiada więc temperatura:

Ze względu na szeroki rozkład prędkości cząsteczek opisana tu termiczna dysocjacja cząsteczek pojawia się w znacznie niższych temperaturach. Dodatkowo, dysocjacja może nastąpić po kilku zderzeniach, gdy w każdym z nich wzbudzane są coraz wyższe stany oscylacyjne cząsteczki.

Siła działająca na ładunek równa jest co do wartości sile, jaką ładunek działa na płytkę. Ładunek znajduje się w środku sześcianu, którego jedną ze ścian jest płytka. Zgodnie z prawem Gaussa strumień pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek przez powierzchnię tego sześcianu wynosi gdzie jest przenikalnością elektryczną próżni. Strumień pola przez powierzchnię płytki jest równy

gdzie jest elementem powierzchni płytki, a składową wektora natężenia pola elektrycznego prostopadłą do płytki w miejscu, w którym znajduje się i-ty element powierzchni. Gęstość powierzchniowa ładunku płytki wynosi szukana wartość siły działającej na płytkę dana jest wzorem

Kulka o masie zacznie wsuwać się na lewy klin, gdy będzie wystarczająco lekka. Rozważmy masę graniczną gdy kulka jeszcze się nie wsuwa, ale już nie naciska na prawy klin. Na rysunku przedstawiono siły działające w tym granicznym przypadku na obie kulki. Siła reakcji jest prostopadła do lewego klina. Ponieważ podstawka jest nieważka, składowe poziome sił reakcji, działających na kulki, równoważą się stąd Przyspieszenia obu kulek w kierunku prostopadłym do prawego klina są jednakowe (i równe przyspieszeniu podstawki w tym kierunku)

stąd Dolna kulka będzie wsuwać się na lewy klin przy spełnionym warunku

Camera obscura to nieprzezroczysta skrzynka z niewielkim otworkiem z przodu i matówką albo kliszą fotograficzną zamykającą ją od tyłu. Na kliszę, przez otworek działający jak obiektyw w aparacie fotograficznym, padają promienie pochodzące od poszczególnych punktów fotografowanego obiektu, tworząc jego pomniejszony obraz. Aby na fotografii było widać osobne tygrysie pręgi, obszary kliszy i na które padają promienie pochodzące od najbliższych punktów sąsiednich pręg, nie mogą się przekrywać. Warunek ten będzie spełniony dla głębokości kamery Ponieważ więc skąd Korzystając z tego, że otrzymujemy Tak więc głębokość kamery powinna być większa niż .

Prędkość odbijającej się cegły w momencie, gdy odrywa się ona od piłki, jest równa prędkości najwyższego punktu piłki. Oznaczmy ją przez Po odbiciu cegła porusza się swobodnie w polu siły ciężkości i zgodnie z zasadą zachowania energii mamy gdzie to wysokość, na którą podskoczy cegła, a - masa cegły. Stąd znajdujemy Prędkość najniższego punktu piłki w momencie, gdy cegła odrywa się od piłki, wynosi zero. Stąd, z dobrym przybliżeniem, prędkość środka piłki wynosi Dla piłki mamy więc z zasady zachowania energii gdzie to wysokość, na którą podskoczy piłka, a - masa piłki, i stąd

Zadanie możemy rozwiązać, korzystając z praw magnetostatyki lub z prawa indukcji Faradaya.

a) Rozważmy punkt w odległości od środka drutu (Rys. 1). Na swobodny elektron w tym punkcie działa siła Lorentza której składowa, równoległa do drutu, dana jest wzorem: Średnia wartość tej składowej na odcinku o długości jest równa Szukane napięcie wynosi:

Potencjał końca drutu jest wyższy niż potencjał jego środka.

b) Rozważmy odcinek drutu o długości (Rys. 2), obracający się z okresem między dwoma współśrodkowymi przewodzącymi okręgami o promieniach i gdzie Szybkość zmian strumienia pola magnetycznego w obwodzie przedstawionym na rysunku 2 ma wartość

Ciepło pobrane przez gaz, powoduje przyrost jego energii wewnętrznej oraz zwiększenie energii potencjalnej sprężyny:

gdzie jest współczynnikiem sprężystości, a i są odkształceniami sprężyny w stanach końcowym i początkowym. Dla gazu jednoatomowego

Z warunków równowagi w stanach początkowym i końcowym oraz z równań Clapeyrona gdzie a jest ciśnieniem gazu, jego temperaturą, powierzchnią tłoka, otrzymujemy związki Szukane ciepło wynosi