Delta mi!

Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki gazu w temperaturze wynosi gdzie oznacza stałą Boltzmanna. Średnia energia kinetyczna gdzie to średni kwadrat prędkości, a jest masą cząsteczki. Azot jest gazem dwuatomowym, a więc masa jego cząsteczki wynosi g, gdzie oznacza stałą Avogadro. Warunkiem uwolnienia się cząsteczki od przyciągania Ziemi jest osiągnięcie przez nią energii kinetycznej równej energii przyciągania grawitacyjnego:

gdzie to stała grawitacyjna, a i oznaczają, odpowiednio, masę i promień Ziemi. Otrzymujemy związek:

Podstawiając masę cząsteczki i korzystając z faktu, że dostajemy:

Przyjmijmy konwencję znaków tak, jakby ładunki dodatnie gromadziły się na okładkach, które są "bliższe" dodatniej elektrodzie baterii (jak na rysunku), i ponumerujmy ładunki i napięcia na kondensatorach tak jak ich pojemności.

Zgodnie z prawem Kirchhoffa mamy: oraz Zauważmy, że elektrody "dodatnie" kondensatorów i oraz elektroda "ujemna" są połączone, a więc tworzą jeden przewodnik. W związku z tym ładunki na nich mogły zgromadzić się wyłącznie w wyniku rozdzielenia i przemieszczenia ładunków tego przewodnika. Ponieważ nie jest on połączony z żadnym z biegunów baterii, to całkowity ładunek na nim musi być równy zeru - to także wniosek z prawa Kirchhoffa dla sumy prądów w węzłach sieci. Mamy więc Pamiętając, że dla każdego z kondensatorów otrzymujemy układ równań:

Rozwiązaniem tego układu są ładunki:

Pojemność zastępczą otrzymamy, dzieląc sumę ładunków na okładkach połączonych z punktem przez siłę elektromotoryczną (potencjał punktu ):

Ostatni wzór można było także otrzymać, zauważając, że nasz układ to kondensator połączony szeregowo z równolegle połączonymi kondensatorami i

Czas życia stanu ogranicza dokładność z jaką można wyznaczyć jego energię:

Masa spoczynkowa cząstki równoważna jest energii Tym samym masę spoczynkową cząstki o czasie życia można wyznaczyć z dokładnością

Dla oszacowanie to daje

Niech oznacza czas trwania dźwięku. Częstość dźwięku nasze ucho rozpoznaje na podstawie liczby rejestrowanych pełnych drgań mieszczących się w czasie inaczej: równe jest całkowitej części iloczynu Dokładność określenia częstości Jeśli różnica częstości ma odpowiadać nie więcej niż tonu (czyli półtonu), to

Mamy więc czyli Otrzymujemy dla a dla Tłumaczy to "powolność" arii basowych w porównaniu z partiami sopranu.

Podczas dokładnego ważenia należy uwzględnić siły wyporu powietrza. Równowaga mas na szalkach wagi oznacza równowagę ciężarów z uwzględnieniem sił wyporu powietrza:

gdzie oznacza przyspieszenie ziemskie. Otrzymujemy stąd:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

Wartość poziomej siły z jaką lokomotywa działa na tory, ograniczona jest przez tarcie statyczne kół o szyny, gdzie jest przyspieszeniem ziemskim. Podczas jazdy ze stałą prędkością siła pokonuje siłę oporów toczenia kół lokomotywy i kół wagonów. Mamy więc:

Stąd wynika, że maksymalna liczba wagonów wynosi:

Podczas wjazdu na zbocze nachylone do poziomu pod kątem maksymalna składowa siły wzdłuż toru wynosi Podczas jazdy siła ta musi pokonać opór toczenia oraz składową siły ciężkości równoległą do toru:

Stąd:

co dla daje ograniczenie Gdy konieczne jest pokonywanie odcinków bardziej stromych, wagonów musi być mniej lub należy doczepić drugą lokomotywę. Dla prędkości do /h opór powietrza jest kilkadziesiąt razy mniejszy od oporów toczenia.

Różnica dróg optycznych promieni odbitych od górnej i dolnej powierzchni warstwy gdzie jest grubością warstwy. Oba promienie odbijają się od ośrodka gęstszego optycznie, warunki na minima interferencyjne dla obu długości fal mają więc postać:

gdzie Stąd:

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy Najmniejsze liczby całkowite nieujemne spełniające to równanie to , Szukana grubość warstwy

Jeżeli walec nie obraca się, to suma momentów sił względem środka walca wynosi zero, stąd gdzie jest poziomą siłą przyłożoną do platformy. Środek masy walca pozostaje w spoczynku, zatem z warunków równowagi w kierunkach poziomym i pionowym otrzymujemy:

Rozwiązując te równania dostajemy:

Spełniony musi być też warunek aby platforma mogła wysuwać się spod nieruchomego walca. Uwzględniając, że otrzymujemy z równań i :

a szukana siła zgodnie z równaniem dana jest wzorem:

Otrzymane wyrażenie musi być dodatnie, stąd otrzymujemy warunek:

Z nierówności wynika ograniczenie na drugi współczynnik tarcia:

W płynnych warstwach, poniżej warstwy skał stałych, zgodnie z twierdzeniem Pascala ciśnienie hydrostatyczne jest stałe. Wynika stąd, że małe ciśnienie wywierane przez wody oceanu musi być kompensowane ciśnieniem grubszej warstwy skał płaszcza pod oceanami, czyli cieńszej warstwy skorupy ziemskiej:

czyli

W odległości od środka planety siła grawitacji działająca na masę będzie równa przyciąganiu grawitacyjnemu przez punktową masę umieszczoną w środku planety i równą całej masie znajdującej się w kuli o promieniu Dla mamy więc:

dla :

oraz dla :

Podstawienie danych liczbowych prowadzi do wartości: Pomiędzy i osiąga minimum w , Największa wartość siły grawitacji osiągana jest więc na głębokości Opisany w treści zadania rozkład masy, w grubym przybliżeniu, odpowiada rozkładowi masy we wnętrzu Ziemi. Wykres funkcji przedstawia rysunek.

Rozłóżmy prędkość poruszającego się kamienia na składowe: wzdłuż prostej przechodzącej przez środki obu kamieni podczas zderzenia i prostopadłą do niej Gdy deformacja jest maksymalna, prędkości kamieni w kierunku wyrównują się. Oznaczając ich wartość przez mamy z zasady zachowania pędu gdzie jest masą kamienia, stąd Zasada zachowania energii ma postać:

gdzie jest maksymalną energią sprężystej deformacji, a jej wartość Całkowita energia układu stąd

W wyniku polaryzacji ładunki cząsteczek dielektryka rozsunęły się. Wewnątrz kuli o środku w punkcie znajdują się ładunki ujemne, wewnątrz kuli o środku w punkcie ładunki dodatnie. Gęstość objętościowa ładunków Odległość między środkami kul jest równa Natężenie pola w dowolnym punkcie w obszarze, w którym kule nachodzą na siebie, jest sumą wektorową natężeń od obu kul.

Wypadkowe pole jest jednorodne, ma wartość i zwrot przeciwny do wektora

Ponieważ gdzie jest promieniem kuli, szukana gęstość ładunków powierzchniowych dana jest wzorem:

Pomiary Dulonga i Petita były wykonywane w temperaturach bliskich temperatury pokojowej - badali oni pierwiastki, które w tej temperaturze występują w stanie stałym, to znaczy, że ich atomy tworzą regularną sieć krystaliczną. W temperaturze pokojowej główny wkład do ciepła właściwego pochodzi od drgań sieci krystalicznej. W temperaturze energia drgań każdego z atomów wynosi to znaczy: po na każdy ze stopni swobody (zmiana energii potencjalnej i kinetycznej drgań w każdym z trzech kierunków przestrzennych; jest stałą Boltzmanna). Takie samo rozumowanie prowadzi do wniosku, że dla związku chemicznego w stanie stałym każdy z atomów też da wkład do energii wewnętrznej kryształu. Wniosek: w stanie stałym ciepło molowe związku o atomach w cząsteczce wynosi w przybliżeniu (prawo Koppa-Neumanna). Dla FeO,

Ilość gazu wypływającego w jednostce czasu (szybkość utraty gazu) przez niedomknięty zawór wynosi gdzie jest gęstością gazu, jest średnią prędkością wypływających cząstek, a powierzchnią otworu. Na podstawie równania stanu gazu stwierdzamy, że gęstość gazu w pojemniku pod ciśnieniem w temperaturze jest proporcjonalna do Średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu jest proporcjonalna do temperatury a więc średnia wartość prędkości jest proporcjonalna do Na tej podstawie stwierdzamy, że:

(znak oznacza proporcjonalność). W warunkach określonych w zadaniu z pierwszego z pojemników tlen ulatnia się więc raza szybciej niż z drugiego, mimo że, jak łatwo sprawdzić, początkowo w obu pojemnikach znajdowały się takie same ilości gazu.

Cząsteczka wchodząca w skład atmosfery jest utrzymywana w bezpośrednim sąsiedztwie planety, gdy jej energia całkowita spełnia warunek gdzie jest masą cząsteczki, średnim kwadratem jej prędkości, stałą grawitacji, masą planety oraz jej promieniem. Korzystając ze związku między masą a gęstością planety, otrzymujemy następujące oszacowanie:

Z drugiej strony, średni kwadrat prędkości cząsteczki gazu związany jest z jego temperaturą zależnością

gdzie jest stałą Boltzmanna, stałą gazową, masą molową gazu. Stąd

Ponieważ masa molowa azotu jest mniejsza od masy molowej tlenu, w celu naszego oszacowania możemy przyjąć, że atmosfera składa się tylko z azotu, którego masa molowa . Ostatecznie .

Powyższe oszacowanie uwzględnia jedynie wartość średniej kwadratu prędkości. W rzeczywistości cząsteczki gazu poruszają się z różnymi prędkościami (rozkład Maxwella), co oznacza, że część cząsteczek ma prędkości powyżej średniej i te będą mogły uciec od planety o minimalnym wyznaczonym powyżej promieniu. W bardziej dokładnym oszacowaniu poszukiwany minimalny promień będzie więc większy.

Ponieważ okładki kondensatora są bardzo duże, wartość indukowanych na nich ładunków nie zmienia się podczas przemieszczania ładunku równolegle do okładek (zmienia się tylko ich rozkład). Oznacza to, że wartość ładunków indukowanych nie zmieni się również wtedy, gdy ładunek zostanie równomiernie "rozmazany" na powierzchni równoległej do okładek kondensatora (rysunek). Ładunki i wytwarzają między okładkami kondensatora jednorodne pole o natężeniu gdzie jest powierzchnią okładek. Płaszczyzna wewnątrz kondensatora naładowana ładunkiem wytwarza pole o natężeniu Napięcie między płaszczyzną naładowaną ładunkiem a lewą okładką wynosi napięcie między tą samą płaszczyzną i prawą okładką Jednocześnie napięcie między okładkami zwartego kondensatora wynosi 0, stąd Analogicznie ładunek na prawej okładce po przesunięciu ładunku w położenie końcowe jest równy Szukany ładunek przepływający między okładkami kondensatora podczas przemieszczania ładunku punktowego dany jest wzorem

Koniec przewodnika ma kształt półkuli o promieniu Rozkład ładunku na nim będzie taki sam, jak na powierzchni przewodzącej kuli naładowanej do potencjału Niech ładunek tej kuli wynosi Mamy:

gdzie

Pole elektryczne na powierzchni kuli wynosi:

Dla uniknięcia przebicia musi zachodzić Otrzymujemy więc:

Wtedy kiedy wywołanie przebicia jest pożądane, czyli na przykład w piorunochronie, promień krzywizny powinien być jak najmniejszy, dlatego końcówki piorunochronów są zwykle zaostrzone.

Nośnikami prądu w miedzi są swobodne elektrony. Jeśli gęstość elektronów przewodnictwa wynosi to prąd

gdzie oznacza średnią prędkość ruchu elektronów w kierunku zgodnym z przyłożonym polem elektrycznym, a jest polem przekroju przewodnika. W odcinku przewodnika o długości wypadkowy pęd elektronów związany z tym ruchem wynosi:

Ostatecznie otrzymujemy:

po podstawieniu danych liczbowych

To mniej więcej pęd ziarenka maku poruszającego się z prędkością

Wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych jak na rysunku obok. Ponieważ kulki i połączone są nicią, mają wzdłuż osi jednakowe przyspieszenia. Na układ tych kulek działają siły i jest siłą oddziaływania elektrycznego między kulkami i jest wypadkową siły Coulomba między kulkami i oraz siły naprężenia nici i nie ma składowej wzdłuż osi Równanie ruchu układu wzdłuż osi ma postać:

stąd rzuty przyspieszeń kulek i na oś są równe

gdzie Analogicznie dla układu kulek i również połączonych nicią,

Wartość przyspieszenia kulki jest równa:

Wektor tworzy z osią kąt taki, że Równanie ruchu kulki w kierunku osi ma postać Stąd:

Analogicznie dla kulki otrzymujemy:

Rys. 1

Rys. 2

Dzięki symetrii początkowych położeń i prędkości, kulki przez cały czas znajdować się będą w punktach symetrycznie położonych względem osi obrotu oraz będą miały symetryczne prędkości. Ponieważ pręt jest nieważki, nie występują siły prostopadłe do niego, leżące w płaszczyźnie poziomej. Nie ma tarcia, wobec tego wzdłuż pręta na kulki również nie działają żadne siły i między kolejnymi zderzeniami z końcami prętów kulki poruszają się względem Ziemi ruchem jednostajnym prostoliniowym (Rys. 1) z prędkością Podczas zderzenia z odbojnikiem składowa pędu kulki prostopadła do pręta nie zmienia się. Zderzenie jest sprężyste, zatem kąty padania i odbicia są sobie równe i wynoszą Torem ruchu każdej z kulek jest trójkąt równoboczny o boku Pręt wykona pełny obrót w czasie Prędkość kątowa pręta dana jest wzorem promień spełnia równanie gdzie , a jest składową prędkości prostopadłą do promienia. Z rysunku 1 widać, że zachodzi związek Szukana zależność prędkości kątowej pręta od czasu dana jest wzorem

W chwili następuje zderzenie z odbojnikiem i cykl się powtarza (Rys. 2).

Poszukujemy wartości siły ściskającej (w przypadku wzrostu temperatury) lub rozciągającej szynę (w przypadku spadku temperatury) o odcinek równy zmianie jej długości wywołanej zmianą temperatury otoczenia. Mamy więc:

a więc

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy Z powodu wielkiej wartości tej siły, koniec szyny był unieruchamiany w kierunkach prostopadłych do jej długości, a pozostawiona niewielka szczelina między jej "sąsiadkami" dopuszczała zmiany długości.

Zgodnie z prawem Hooke'a ciało o długości i powierzchni przekroju poprzecznego pod wpływem rozciągającej je siły doznaje względnego wydłużenia

Podzielmy długość rury na jednakowych odcinków wysokości Każdy z tak otrzymanych odcinków rury będzie ściskany ciężarem znajdującej się nad nim części rury, a więc zmiana długości odcinka - numerujemy od górnego końca rury - wyniesie:

(znak minus, bo chodzi o siłę ściskającą). Całkowitą zmianę długości otrzymamy, sumując wszystkie Obliczenie sumy szeregu arytmetycznego prowadzi do wyrażenia:

Przechodząc z do nieskończoności, otrzymujemy:

Dla danych zadania

W stanie początkowym objętość gazu wynosi Oznaczmy objętość gazu po zwiększeniu ciśnienia do i ustaleniu się równowagi przez a temperaturę w tym stanie przez Przemiana jest adiabatyczna, ale nie kwazistacjonarna, korzystamy więc z pierwszej zasady termodynamiki: gdzie jest zmianą energii wewnętrznej, a praca wykonana nad gazem jest dodatnia i wynosi Stąd temperatura w stanie równowagi po sprężeniu gazu wynosi

Oznaczając objętość końcową przez a temperaturę przez i ponownie korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz równań Clapeyrona, otrzymujemy równanie: Stąd temperatura w stanie końcowym dana jest wzorem

Ponieważ obręcz o środku w punkcie jest nieruchoma, prędkość punktu jest w każdej chwili styczna do okręgu o środku w Odcinek dzieli odległość na dwie równe części, zatem składowa pozioma prędkości ma stałą wartość Wektor tworzy z pionem kąt i ma długość Zachodzi związek i szukana zależność ma postać

W jednorodnym polu magnetycznym ruch naładowanej cząstki jest złożeniem ruchu jednostajnego wzdłuż kierunku pola i ruchu po okręgu ze stałą prędkością kątową Siłą dośrodkową jest tu siła Lorentza. Mamy więc:

gdzie jest promieniem okręgu, a jest wartością składowej prędkości prostopadłej do wektora indukcji Otrzymujemy więc czyli:

Częstotliwość nie zależy od kierunku i wartości prędkości cząstki. Fakt ten wykorzystywany jest do wyznaczania efektywnych mas nośników prądu (elektronów i dziur) w półprzewodnikach.

Układ połączonych baterii stanowi źródło o pewnej wypadkowej sile elektromotorycznej i oporze wewnętrznym W przypadku (a) a w przypadku (b) Moc wydzielana na oporze dołączonym do źródła o danych i wynosi:

Przy danym moc osiąga maksimum dla W przypadku (a) należy więc do układu baterii podłączyć opór a w przypadku (b) Jak łatwo sprawdzić, moc wydzielana na optymalnie dobranym oporze w obu przypadkach wynosi tyle samo:

Także prąd płynący przez każdą z baterii i moc wydzielana na oporze wewnętrznym każdej z nich są w obu przypadkach takie same.

Kropla oleju i wszystkie cząstki wody poruszają się z jednakowymi wartościami prędkości. Oznaczmy przez szukaną prędkość kropli w chwili, gdy przechodzi ona przez punkt W czasie, gdy kropla oleju przemieszcza się z punktu do porcja wody o tej samej objętości przemieszcza się z do czyli obniża się o Energia potencjalna pozostałej masy wody nie zmienia się. Zasada zachowania energii ma postać

stąd

Ponieważ to w przybliżeniu

Zgodnie ze wzorem soczewkowym

obraz w pierwszej soczewce powstaje w odległości od tej soczewki. Obraz ten jest przedmiotem pozornym dla soczewki położonym w Oznaczając przez odległość obrazu od drugiej soczewki po przejściu światła przez układ, otrzymujemy ze wzoru soczewkowego:

czyli Odległość punktu od osi optycznej drugiej soczewki wynika ze wzoru na powiększenie:

Szukana odległość między przedmiotem i obrazem wynosi

Zatrzymanie pojazdu następuje, gdy praca wykonana przez siły tarcia równa jest początkowej energii kinetycznej pojazdu:

gdzie oznacza masę pojazdu, - przyspieszenie ziemskie, a drogę przebytą do zatrzymania.

a)

Gdy prędkość początkowa jest większa od to podczas hamowania na drodze energia kinetyczna zmaleje o wartość odpowiadającą prędkości i po przebyciu drogi pojazd będzie poruszał się z prędkością

Dla i

b)

W przypadku mokrej nawierzchni pojazd podczas hamowania na drodze straci tylko część swojej energii kinetycznej. Jego prędkość po przybyciu drogi wyniesie więc:

Dla i

Przyjmijmy, że dla plamy współczynnik transmisji wynosi a odbicia Niech dla reszty kartki odpowiednie współczynniki wynoszą i Plama "znika", gdy źródło jest w odległości a źródło w odległości od kartki (patrzymy od strony ). Mamy wówczas (oświetlenia obu części kartki są równe):

czyli

Zamieńmy teraz miejscami źródła światła (obserwujemy kartkę z tej samej strony) i wyznaczmy nowe odległości, dla których plama "znika": i Otrzymujemy analogiczne równania ( jest teraz od strony obserwatora):

Po podzieleniu stronami (z obserwacji wiemy, że odpowiednie różnice współczynników są różne od zera) otrzymujemy:

Ze względu na sposób produkcji papieru obie strony kartki różnią się i drugi, niezależny pomiar możemy uzyskać po odwróceniu kartki i powtórzeniu procedury.

Przedstawiony tu fotometr został zaproponowany przez Roberta Wilhelma Bunsena w roku 1843, a ulepszony sposób jego użycia podał D.W. Lewis w Nature 40, 174 (1889).