Delta mi!

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej iloczyn dzieli się przez

W zależności od wyznaczyć i

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dla których zachodzi podzielność:

(a)

(b)

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze dla których jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku naturalnym większym niż 1.

Wyjaśnić, dlaczego nie istnieje lemat o zwiększaniu wykładnika -adycznego w wersji z dodawaniem dla parzystych.

Udowodnić, że dla naturalnych liczba jest podzielna przez kwadrat pewnej liczby pierwszej.

Liczby całkowite dodatnie i są różnej parzystości. Wykazać, że liczba jest podzielna przez kwadrat pewnej liczby pierwszej.

Niech i będą różnymi liczbami całkowitymi oraz niech będzie liczbą naturalną. Wykazać, że liczba jest całkowita tylko dla skończenie wielu naturalnych

Ustalmy nieparzyste Dla każdego naturalnego liczba jest sześcianem liczby naturalnej. Wykazać, że

Liczby i są całkowite i względnie pierwsze, a liczby są naturalne. Dowieść, że

bez korzystania z algorytmu Euklidesa.

Niech będzie liczbą całkowitą. Każdy
wyraz ciągu jest równy 1 lub -1. Parę nazwiemy minusjedynkującą, jeśli oraz Wykazać, że liczba par
minusjedynkujących jest nie większa od

Niech będzie liczbą całkowitą. Każdy wyraz ciągu jest równy 1 lub -1. Parę nazwiemy zerującą, jeśli oraz Wykazać, że liczba par zerujących jest nie większa od

Udowodnić następujące równości dla liczb całkowitych dodatnich i :

(a)

(b)

Korzystając z postulatu Bertranda (dla każdego rzeczywistego w przedziale znajduje się co najmniej jedna liczba pierwsza), udowodnić, że dla naturalnych :

(a)

liczba nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku naturalnym i większym niż 1,

(b)

liczba nie jest naturalna.

Liczby oraz są całkowite. Wykazać, że liczby i też są całkowite.

Liczby oraz są całkowite. Dowieść, że jest sześcianem liczby całkowitej.

Liczby całkowite spełniają podzielność Wykazać, że jest kwadratem liczby naturalnej.

Liczby naturalne i są dzielnikami Wykazać, że jeśli liczba jest podzielna przez i to liczba jest podzielna przez liczbę

Dla permutacji zbioru rozważamy liczby:

Dla każdej liczby naturalnej udowodnić, że permutacja o własności:

(i)

liczby dają różne reszty z dzielenia przez

istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje permutacja o własności:

(ii)

liczby dają różne reszty z dzielenia przez

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej istnieją nieparzyste liczby spełniające równanie

Udowodnić, że piramida o podstawie kwadratu ułożona z kul armatnich składa się z kwadratowej liczby kul wtedy i tylko wtedy, gdy bok jej podstawy ma długość 24 kul.

Na tablicy napisano trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby i zastępujemy je liczbami i a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych można w ten sposób otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

Udowodnij, że liczba składająca się w zapisie dziesiętnym z jedynek ma co najmniej różnych dzielników pierwszych.

Znaleźć liczbę wymierną taką, że liczby oraz są kwadratami.

Wybrać pięć odważników tak, aby można było na wadze szalkowej zważyć każdy ładunek o masie jeżeli podczas ważenia odważniki można układać tylko na jednej szalce.

Wybrać możliwie najmniej odważników tak, aby na wadze szalkowej można było zważyć każdy ładunek o masie 1, 2, 3, ...,30.

Ile będzie po roku par królików, które urodzą się jako potomstwo jednej pary, jeśli każda para wydaje na świat co miesiąc nową parę, zdolną z kolei po miesiącu do rozmnażania, i jeśli żadna para w tym czasie nie ginie?

Udowodnić, że nie istnieją takie nieparzyste liczby że

Udowodnić, że istnieje 2020 kolejnych dodatnich liczb całkowitych, wśród których jest dokładnie 13 liczb pierwszych.

Czy da się tak uporządkować zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych, by otrzymać ciąg różnowartościowy, w którym każde dwa sąsiednie wyrazy albo różnią się o 2, albo jeden z nich jest dwukrotnością pozostałego?