Kraty

Na płaszczyźnie euklidesowej $R2$ zbiór $Z2 = {(m; n) m; n ∈ Z}$ nazywamy kratą, a jego elementy punktami kratowymi.

Rys. 1. Liczba $|L r$ jest równa powierzchni pokrytej przez kwadraty jednostkowe, których dolny lewy wierzchołek leży wewnątrz lub na brzegu koła.

Carl Gauss zauważył, że jeśli liczba punktów kratowych w kole $|x2 + y2⩽ r2$ wynosi $|L(r),$ to $L -r2 π, r$ gdy $|r ∞$ (Rys. 1). Empirycznie wyznaczył $| L(100) = 31417,$ więc $| π ≈3,1417.$ Precyzyjnie, Gauss pokazał, że $2 |L(r) = πr +E(r),$ gdzie błąd $√ -- | E(r) ⩽2 2π r.$ Do dziś nie wiemy, jakie jest najlepsze oszacowanie tego błędu.

SWS 9 1 11 1 27 2 2 — Rys. 2. $1 27 SWS 9 2 11 1 2-$

Szybko okazało się, że kraty to ciekawy obiekt badań matematycznych. Na przykład, na płaszczyźnie łatwo wykreślić prostą, która nie przecina zbioru $2 |Z .$ Jeśli na prostej znajdują się dwa punkty kratowe, to jest ich na tej prostej nieskończenie wiele i są one rozmieszczone w równych odstępach. Istnieją też proste, które zawierają dokładnie jeden punkt kratowy. Gdyby prosta przechodząca przez punkty $| (0,0)$ i $| √ -- (1, 2)$ zawierała punkt kratowy $|(m,$ to z twierdzenia Talesa uzyskalibyśmy, że $√ -- n | 2 = m,$ a to jest niemożliwe, bo $√ -- | 2$ jest liczbą niewymierną.

Analizując pola wielokątów o wierzchołkach w punktach kraty $Z2,$ Georg Pick wykazał niespodziewanie, że wiedza o liczbie i położeniu punktów kratowych w wielokącie określa jego pole.

Twierdzenie 1 (G. Pick, 1899). Pole wielokąta $|W,$ którego wierzchołki są punktami kraty $2 Z ,$ a boki nie przecinają się, jest równe

1 W = pw +-pb − 1, 2

gdzie $|pw$ i $pb$ oznaczają, odpowiednio, liczbę punktów kratowych we wnętrzu i na brzegu wielokąta (Rys. 2).

Jednym z istotniejszych wyników o punktach kratowych jest rezultat Hansa Blichfeldta:

Twierdzenie 3 (H. Blichfeldt, 1914). Dla dowolnej liczby naturalnej $|k,$ dowolny zbiór ograniczony $⊂Rn,n⩾2, M$ o objętości większej od $| k$ można tak przesunąć, by zawierał co najmniej $| k +1$ elementów kraty $n |Z .$

Część I. Problem i rozwiązanie

W 1957 r. Hugo Steinhaus w Matematyce 10 (2), str. 58-59, przedstawił kilka zadań konkursowych dotyczących kraty $Z2$ :

Zadanie (A). Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje koło, zawierające wewnątrz dokładnie $n$ punktów kratowych.

Zadanie (B). Znaleźć największe koło zawierające wewnątrz dokładnie: (a) 0 punktów kratowych, (b) 1 punkt kratowy, (c) 2 punkty kratowe, (d) 3 punkty kratowe, (e) 4 punkty kratowe, (f) 5 punktów kratowych. Podać średnice tych kół.

Zadanie (C). Największe koło zawierające wewnątrz dokładnie $4$ punkty kratowe można tak przesunąć, żeby wewnątrz miało dokładnie $9$ punktów kratowych, a także dokładnie $|8$ lub $7$ punktów kartowych. Czy można je tak przesunąć, żeby w jego wnętrzu było dokładnie $|5,6$ lub $10$ punktów kratowych?

Rozwiązania Steinhausa znajdzie Czytelnik w książce Jeszcze 105 zadań Hugona Steinhausa opracowanej przez Edwarda Piegata, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

Rozwiązanie Zadania A podał też Wacław Sierpiński w czasopiśmie L'Enseignement Mathématique (2) 4 (1958), str. 25-31. Pomysł Sierpińskiego opierał się na następującej obserwacji:

każde dwa różne punkty kraty $Z2$ mają różne odległości od punktu $|w$ tj. nie ma okręgu o tym środku przechodzącego przez dwa lub więcej punktów kraty.

Istotnie, niech $a = (a ,a ),b = (b ,b ) ∈ Z2 x y x y$ i $a ≠ b.$ Jeżeli $a− w$ to

√ -- 1 2 √ -- 1 2 (ax − 2)2 +(ay − -) = (bx− 2)2 + (by −-) , 3 3

czyli

2 2 2 2 2- √ -- ax + ay −b x− by− 3 (ay− by) = 2(ax − bx) 2.

Prawa strona jest więc liczbą wymierną, zatem $ax = bx,$ ale wówczas

a2− b2 − 2(ay −by) = (ay− by) (ay + by − 2) = 0. y y 3 3

Jest to możliwe jedynie, gdy $ay = by.$ Zatem $a = b,$ sprzeczność.

Rozwiązanie Sierpińskiego. Krata $2 |Z$ jest zbiorem przeliczalnym, więc korzystając z powyższej obserwacji, wszystkie jej elementy możemy ustawić w ciąg $Z2 = {a1,a2,a3,...}$ tak, że

a − w i

Wówczas koło otwarte

{x ∈R2 x− w

zawiera wszystkie punkty kratowe $a1,a2,...,an$ i żadnych innych. Voilà!

Mamy więc:

Twierdzenie 4. Dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje koło o środku $√-- |( 2, 1), 3$ którego wnętrze zawiera dokładnie $n$ punktów kratowych.

Podobne rozumowanie (szczegóły pozostawiamy Czytelnikom) pokazuje, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje kula o środku w punkcie $√-- √-- |( 2, 3, 1) 3$ zawierająca wewnątrz dokładnie $n$ punktów kraty $|Z3.$

Część II. Pokłosie

Naturalne jest pytanie o istnienie okręgów przechodzących dokładnie przez $n$ punktów kraty $|Z2.$ Łatwo rysujemy okręgi przechodzące przez $1,2,3,4$ punkty kratowe. A jak jest dla większej liczby punktów kratowych?

W 1958 r. Andrzej Schinzel, korzystając z twierdzenia teorii liczb:

Twierdzenie. Liczba $r(n)$ rozwiązań równania $|x2 + y2 = n$ w liczbach całkowitych (= ilość rozkładów liczby naturalnej $n$ na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych) jest równa $|4(d − d ), 1 2$ gdzie $d 1$ jest liczbą dzielników liczby $n$ postaci $4k + 1,$ a $|d2$ jest liczbą dzielników liczby $n$ postaci $|4k+ 3$
(dowód w tym numerze, w artykule Michała Krycha),

udowodnił:

Twierdzenie 5 (A. Schinzel, 1958). Dla każdej liczby naturalnej $|n$ na okręgu opisanym równaniem

⎧⎪ 1 2 1 ⎪⎪⎪⎪(x − -) +y2 = -5k−1 dla n = 2k, ⎪⎨ 2 4 ⎪⎪⎪ 1-2 2 1-2k ⎪⎪⎪⎩(x − 3) +y = 95 dla n = 2k+ 1

leży dokładnie $n$ punktów kraty $Z2.$

Korzystając z rezultatu Schinzla, Tadeusz Kulikowski wykazał:

Twierdzenie 6 (T. Kulikowski, 1959). Dla każdej liczby naturalnej $|n$ istnieje sfera, która zawiera dokładnie $|n$ punktów kraty $3 Z$ .

Dowód. Ustalmy $n ∈N.$ Z twierdzenia Schinzla na płaszczyźnie $|z = 0$ istnieje okrąg $2 2 (x − a) + (y − b) = c,$ na którym leży dokładnie $|n$ punktów $(x,y,0) ∈ Z3.$ Rozważmy sferę o środku w punkcie $√ -- |(a,b, 2)$ i promieniu $√ ----- | c +2,$ gdzie $|a = 12$ lub $|13,b = 0,$ a $c$ to kwadrat odpowiedniego promienia z twierdzenia 4:

√ -- (x − a)2 + (y −b)2 + (z− 2)2 = c+ 2,

(*)

skąd

2 2 2 √ -- (x − a) + y + z − c = 2z 2.

Liczby całkowite $|x,y,z$ mogą spełniać to równanie tylko wtedy, gdy $|z = 0.$ Oznacza to, że wszystkie punkty $(x,y, z)∈ Z3$ leżące na sferze $|(∗)$ leżą na przecięciu tej sfery z płaszczyzną $z = 0.$ Zatem jedyne punkty kratowe na sferze $(∗)$ to $n$ punktów kratowych należących do okręgu Schinzla.

W tym samym czasie Jerzy Browkin zauważył, że funkcja

-- -- f(a) = a +a √ 3− 1 + a √ 3− a − √1- , x y 3 x y 3

(gdzie $a = (ax,ay) ∈Z2$ ) przyjmuje różne wartości dla każdych dwóch różnych punktów kraty $Z2,$ oraz dowiódł, że dla każdej liczby naturalnej $|n$ :

istnieje kwadrat zawierający wewnątrz (odpowiednio: na brzegu) dokładnie $n$ punktów kraty $2 |Z$ ,
istnieje sześcian zawierający wewnątrz dokładnie $n$ punktów kraty $|Z3$ .

Podobne problemy można rozważać dla figur o innych kształtach - trójkątów, elips. Oczywiście największe zainteresowanie budzą problemy, które mimo wysiłków nadal pozostają bez odpowiedzi.

Problem 1. Czy istnieje prostopadłościan, którego krawędzie, przekątne ścian, przekątna wewnętrzna mają długości całkowite?

Historia tego problemu sięga 1719 roku, gdy Paul Halcke wskazał prostopadłościan $44 × 117 ×240,$ którego przekątne ścian też są całkowitej długości.

Problem 2 (H. Steinhaus). Czy istnieje taki podzbiór $|A$ płaszczyzny, że każdy zbiór przystający do $A$ zawiera dokładnie jeden punkt kratowy?

Spacer po kracie $Z, Z2$ lub $|Z3$ polegający na tym, że w każdym kolejnym kroku przechodzimy o jedną jednostkę do sąsiedniego punktu kratowego (mając równe szanse poruszania się w każdym możliwym kierunku) nazywamy symetrycznym błądzeniem przypadkowym. George Pólya pokazał w 1921 roku, że w przypadku takiego błądzenia w kracie $Z$ lub $|Z2$ z prawdopodobieństwem równym $|1$ powrócimy do położenia początkowego. W kracie $3 Z$ prawdopodobieństwo to wynosi około $|0,35.$ Tak więc naprawdę zabłądzić możemy w kratach $Zn,$ gdzie $|n⩾ 3,$ ale to temat na inne spotkanie.