Kraty
Na płaszczyźnie euklidesowej zbiór
nazywamy kratą, a jego elementy punktami kratowymi.

Rys. 1. Liczba jest równa powierzchni pokrytej przez kwadraty jednostkowe, których dolny lewy wierzchołek leży wewnątrz lub na brzegu koła.
Carl Gauss zauważył, że jeśli liczba punktów kratowych w kole wynosi
to
gdy
(Rys. 1). Empirycznie wyznaczył
więc
Precyzyjnie, Gauss pokazał, że
gdzie błąd
Do dziś nie wiemy, jakie jest najlepsze oszacowanie tego błędu.

Rys. 2.
Szybko okazało się, że kraty to ciekawy obiekt badań matematycznych. Na przykład, na płaszczyźnie łatwo wykreślić prostą, która nie przecina zbioru Jeśli na prostej znajdują się dwa punkty kratowe, to jest ich na tej prostej nieskończenie wiele i są one rozmieszczone w równych odstępach. Istnieją też proste, które zawierają dokładnie jeden punkt kratowy. Gdyby prosta przechodząca przez punkty
i
zawierała punkt kratowy
to z twierdzenia Talesa uzyskalibyśmy, że
a to jest niemożliwe, bo
jest liczbą niewymierną.
Analizując pola wielokątów o wierzchołkach w punktach kraty Georg Pick wykazał niespodziewanie, że wiedza o liczbie i położeniu punktów kratowych w wielokącie określa jego pole.
Twierdzenie 1 (G. Pick, 1899). Pole wielokąta którego wierzchołki są punktami kraty
a boki nie przecinają się, jest równe

gdzie i
oznaczają, odpowiednio, liczbę punktów kratowych we wnętrzu i na brzegu wielokąta (Rys. 2).
Jednym z istotniejszych wyników o punktach kratowych jest rezultat Hansa Blichfeldta:
Twierdzenie 3 (H. Blichfeldt, 1914). Dla dowolnej liczby naturalnej dowolny zbiór ograniczony
o objętości większej od
można tak przesunąć, by zawierał co najmniej
elementów kraty
Część I. Problem i rozwiązanie
W 1957 r. Hugo Steinhaus w Matematyce 10 (2), str. 58-59, przedstawił kilka zadań konkursowych dotyczących kraty :
Zadanie (A). Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej istnieje koło, zawierające wewnątrz dokładnie
punktów kratowych.
Zadanie (B). Znaleźć największe koło zawierające wewnątrz dokładnie: (a) 0 punktów kratowych, (b) 1 punkt kratowy, (c) 2 punkty kratowe, (d) 3 punkty kratowe, (e) 4 punkty kratowe, (f) 5 punktów kratowych. Podać średnice tych kół.
Zadanie (C). Największe koło zawierające wewnątrz dokładnie punkty kratowe można tak przesunąć, żeby wewnątrz miało dokładnie
punktów kratowych, a także dokładnie
lub
punktów kartowych. Czy można je tak przesunąć, żeby w jego wnętrzu było dokładnie
lub
punktów kratowych?
Rozwiązania Steinhausa znajdzie Czytelnik w książce Jeszcze 105 zadań Hugona Steinhausa opracowanej przez Edwarda Piegata, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.
Rozwiązanie Zadania A podał też Wacław Sierpiński w czasopiśmie L'Enseignement Mathématique (2) 4 (1958), str. 25-31. Pomysł Sierpińskiego opierał się na następującej obserwacji:
każde dwa różne punkty kraty
mają różne odległości od punktu
tj. nie ma okręgu o tym środku przechodzącego przez dwa lub więcej punktów kraty.

Istotnie, niech i
Jeżeli
to

czyli

Prawa strona jest więc liczbą wymierną, zatem ale wówczas

Jest to możliwe jedynie, gdy Zatem
sprzeczność.
Rozwiązanie Sierpińskiego. Krata jest zbiorem przeliczalnym, więc korzystając z powyższej obserwacji, wszystkie jej elementy możemy ustawić w ciąg
tak, że

Wówczas koło otwarte

zawiera wszystkie punkty kratowe i żadnych innych. Voilà!
Mamy więc:
Twierdzenie 4. Dla każdej liczby naturalnej istnieje koło o środku
którego wnętrze zawiera dokładnie
punktów kratowych.
Podobne rozumowanie (szczegóły pozostawiamy Czytelnikom) pokazuje, że dla każdej liczby naturalnej istnieje kula o środku w punkcie
zawierająca wewnątrz dokładnie
punktów kraty
Część II. Pokłosie
Naturalne jest pytanie o istnienie okręgów przechodzących dokładnie przez punktów kraty
Łatwo rysujemy okręgi przechodzące przez
punkty kratowe. A jak jest dla większej liczby punktów kratowych?
W 1958 r. Andrzej Schinzel, korzystając z twierdzenia teorii liczb:
Twierdzenie. Liczba rozwiązań równania
w liczbach całkowitych (= ilość rozkładów liczby naturalnej
na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych) jest równa
gdzie
jest liczbą dzielników liczby
postaci
a
jest liczbą dzielników liczby
postaci
(dowód w tym numerze, w artykule Michała Krycha),
udowodnił:
Twierdzenie 5 (A. Schinzel, 1958). Dla każdej liczby naturalnej na okręgu opisanym równaniem
![]() |
leży dokładnie punktów kraty
Korzystając z rezultatu Schinzla, Tadeusz Kulikowski wykazał:
Twierdzenie 6 (T. Kulikowski, 1959). Dla każdej liczby naturalnej istnieje sfera, która zawiera dokładnie
punktów kraty
.
Dowód. Ustalmy Z twierdzenia Schinzla na płaszczyźnie
istnieje okrąg
na którym leży dokładnie
punktów
Rozważmy sferę o środku w punkcie
i promieniu
gdzie
lub
a
to kwadrat odpowiedniego promienia z twierdzenia 4:
![]() |
(*) |
skąd

Liczby całkowite mogą spełniać to równanie tylko wtedy, gdy
Oznacza to, że wszystkie punkty
leżące na sferze
leżą na przecięciu tej sfery z płaszczyzną
Zatem jedyne punkty kratowe na sferze
to
punktów kratowych należących do okręgu Schinzla.
W tym samym czasie Jerzy Browkin zauważył, że funkcja

(gdzie ) przyjmuje różne wartości dla każdych dwóch różnych punktów kraty
oraz dowiódł, że dla każdej liczby naturalnej
:
- istnieje kwadrat zawierający wewnątrz (odpowiednio: na brzegu) dokładnie
punktów kraty
,
- istnieje sześcian zawierający wewnątrz dokładnie
punktów kraty
.
Podobne problemy można rozważać dla figur o innych kształtach - trójkątów, elips. Oczywiście największe zainteresowanie budzą problemy, które mimo wysiłków nadal pozostają bez odpowiedzi.
Problem 1. Czy istnieje prostopadłościan, którego krawędzie, przekątne ścian, przekątna wewnętrzna mają długości całkowite?
Historia tego problemu sięga 1719 roku, gdy Paul Halcke wskazał prostopadłościan którego przekątne ścian też są całkowitej długości.
Problem 2 (H. Steinhaus). Czy istnieje taki podzbiór płaszczyzny, że każdy zbiór przystający do
zawiera dokładnie jeden punkt kratowy?
Spacer po kracie lub
polegający na tym, że w każdym kolejnym kroku przechodzimy o jedną jednostkę do sąsiedniego punktu kratowego (mając równe szanse poruszania się w każdym możliwym kierunku) nazywamy symetrycznym błądzeniem przypadkowym. George Pólya pokazał w 1921 roku, że w przypadku takiego błądzenia w kracie
lub
z prawdopodobieństwem równym
powrócimy do położenia początkowego. W kracie
prawdopodobieństwo to wynosi około
Tak więc naprawdę zabłądzić możemy w kratach
gdzie
ale to temat na inne spotkanie.