Deltoid

Oszacujmy pole

Korzystając z tytułowego pomysłu oraz z rysunku lub drobnych jego modyfikacji, można udowodnić szereg twierdzeń z różnych działów matematyki.

Zauważmy, że pole całego kwadratu jest nie mniejsze od sumy pól czterech zawartych w nim białych prostokątów. Stąd $(a + b)2⩾ 4ab,$ uzyskujemy więc $√ --- a+b ⩾ ab, 2$ czyli nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną.
Dla $b = 1a,$ każdy z prostokątów ma pole równe 1, zatem $| 1 2 (a + a) ⩾4.$ Stąd liczba dodatnia i jej odwrotność zawsze dają w sumie co najmniej 2.
Zamiast kwadratu o boku $a + b,$ rozważmy kwadrat o boku $a--ab b--ab √ --- |a+b + a+b = ab,$ przedstawiony na rysunku 2. Analogiczna jak dotychczas analiza pól pozwala udowodnić nierówność pomiędzy średnią geometryczną a harmoniczną: $√ --- √ --- √---2 a--ab- b--ab- √ --- -2ab- √ --- -2--- ab ⩾ 4 ⋅a + b ⋅ a+ b , ab ⩾ a + b, ab ⩾ 1+ 1 . a b$
Ciąg Fibonacciego definiujemy tak: $F1 = 1,F2 = 1,Fn+1 = Fn + Fn−1$ dla $n ⩾ 2.$ Rozumowanie podobne do powyższych pozwala dowieść następującej tożsamości: $F2 = 4F F +F2 dlan ⩾ 3. n+1 n n− 1 n− 2$
Rozważmy w tym celu kwadrat o boku $| Fn + Fn−1 = Fn+1.$ Zauważmy, że mały szary kwadracik pośrodku ma wówczas bok długości $Fn − Fn−1 = Fn−2.$ Wobec tego powyższa tożsamość opisuje pole całego dużego kwadratu.
Podobnie, analiza objętości sześcianu o krawędzi $|Fn + Fn−1 = Fn+1$ podzielonego na kilka części tak, jak na rysunku, pozwala dowieść tożsamości $F3n+1 = F3n + F3n−1 + 3Fn−1FnFn+1 dla n ⩾2.$
Z rysunku obok można dla odmiany odczytać, że dla nieparzystych liczb naturalnych $|n,$ liczba $n2$ daje przy dzieleniu przez 8 resztę 1.

Oznaczmy przekątne prostokątów z pierwszego rysunku przez $c.$ Usuwając cztery "zewnętrzne" trójkąty, otrzymujemy kolorowy kwadrat o boku $c.$ Z kolei usuwając cztery "górne" trójkąty, uzyskujemy szarą figurę złożoną z kwadratów o bokach $a$ i $b.$ Równość pól prowadzi do twierdzenia Pitagorasa: $2 2 2 a + b = c.$
Ponadto, co najmniej połowa kwadratu jest szara, czyli $|a2 + b2 ⩾ 12(a + b)2.$ Stąd nierówność pomiędzy średnią kwadratową a arytmetyczną: $√ -a2+b2 a+b | -2--⩾ -2-.$
Przekątne prostokątów z ostatniego rysunku mają długości $| 2 2 sin α + cos α = 1$ oraz $| 2 2 sin β +cos β= 1.$ Dwukrotnie usuwając po cztery trójkąty prostokątne, podobnie jak powyżej, uzyskujemy z jednej strony kolorowy romb o boku 1 i kącie $α +β ,$ z drugiej zaś strony szarą figurę złożoną z dwóch prostokątów. Stąd równość pól: $sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sin β.$

Warto poszukać na pierwszym rysunku dowodów innych ciekawych faktów oraz odpowiedzi na pytanie, kiedy w opisanych powyżej nierównościach zachodzą równości.