Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

O LXIII Olimpiadzie Matematycznej

18 i 19 kwietnia odbyły sie zawody finałowe LXIII Olimpiady Matematycznej. Każdego dnia zawodów 104 uczniów z całej Polski, przez trzysta minut, rozwiązywało trzy zadania. Wszystkie bezbłędnie rozwiązał Maciej Dulęba z Wrocławia, a Igor Kotrasiński i Wojciech Nadara z Warszawy rozwiązali po pięć.

Tym razem 97 finalistów rozwiązało przynajmniej jedno zadanie. Każdy z laureatów rozwiązał co najmniej trzy zadania, a wyróżnieni po dwa i pół. Finał był więc chyba nieco trudniejszy niż przed rokiem. Najtrudniejsze okazało się zadanie szóste, które rozwiązały tylko trzy osoby (średnia ocena to 0,17). Najłatwiejsze było zadanie czwarte, które rozwiązało 75 uczniów (średnia ocena to 4,14).

Niektórzy finaliści rozwiązali zadania w sposób raczej nieoczekiwany przez autorów zadań. Omówimy rozwiązania zadania pierwszego i piątego, oparte na pomysłach Bartłomieja Żaka i Barbary Mroczek.

Narzędzia
Obiekty: Liczby wymierne
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

O LXIII Olimpiadzie Matematycznej»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu O LXIII Olimpiadzie Matematycznej
Publikacja w Delcie: lipiec 2012
Publikacja elektroniczna: 01-07-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (69 KB)

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka dodatnia liczba wymierna $\text{[math]}$ niebędąca liczbą całkowitą, że potęga $\text{[math]}$ jest liczbą wymierną

Rozwiązanie

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

O LXIII Olimpiadzie Matematycznej»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu O LXIII Olimpiadzie Matematycznej
Publikacja w Delcie: lipiec 2012
Publikacja elektroniczna: 01-07-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (69 KB)

W trójkącie ostrokątnym $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ jest środkiem okręgu opisanego, a dwusieczna kąta $\text{[math]}$ przecina bok $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ będzie takim punktem, że $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykazać, że okrąg o środku $\text{[math]}$ i przechodzący przez punkt $\text{[math]}$ jest styczny do prostej $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Przedstawione rozwiązanie jest prawie analityczne, oparte na idei, która zapewne powstała po przyjrzeniu się dokładnemu rysunkowi, który był w brudnopisie (zamieszczamy go na dole sąsiedniej szpalty). Niech $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Ponieważ trójkąt $\text{[math]}$ jest ostrokątny, więc $\text{[math]}$ Możemy założyć, że promień okręgu opisanego na trójkącie $\text{[math]}$ jest równy $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Ponieważ $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ oznacza punkt wspólny boku $\text{[math]}$ i dwusiecznej kąta $\text{[math]}$ Jej równanie to $\text{[math]}$ (bo leżą na niej punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ – środek łuku $\text{[math]}$ ). Wobec tego $\text{[math]}$ Równanie prostej $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ Mamy $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Jeśli $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ Stąd

$pict$

Stąd wynika, że prosta $\text{[math]}$ jest równoległa do prostej $\text{[math]}$ więc trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są podobne, zatem $\text{[math]}$ co kończy dowód twierdzenia. Jeśli $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ jest środkiem odcinka $\text{[math]}$ Twierdzenie zachodzi również w tym przypadku.