Klub 44 - Matematyka

Klub 44M - zadania IV 2012

Liga zadaniowa Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego i Redakcji Delty

Skrót regulaminu

Każdy może nadsyłać rozwiązania zadań z numeru $\text{[math]}$ w terminie do końca miesiąca $\text{[math]}$ . Szkice rozwiązań zamieszczamy w numerze $\text{[math]}$ . Można nadsyłać rozwiązania czterech, trzech, dwóch lub jednego zadania (każde na oddzielnej kartce), można to robić co miesiąc lub z dowolnymi przerwami. Rozwiązania zadań z matematyki i z fizyki należy przesyłać w oddzielnych kopertach, umieszczając na kopercie dopisek: Klub 44 M lub Klub 44 F. Oceniamy zadania w skali od $\text{[math]}$ do $\text{[math]}$ z dokładnością do $\text{[math]}$ . Ocenę mnożymy przez współczynnik trudności danego zadania: $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ oznacza sumę ocen za rozwiązania tego zadania, a $\text{[math]}$ – liczbę osób, które nadesłały rozwiązanie choćby jednego zadania z danego numeru w danej konkurencji ( M lub F) – i tyle punktów otrzymuje nadsyłający. Po zgromadzeniu 44 punktów, w dowolnym czasie i w którejkolwiek z dwóch konkurencji ( M lub F), zostaje on członkiem Klubu 44, a nadwyżka punktów jest zaliczana do ponownego udziału. Trzykrotne członkostwo – to tytuł Weterana.
Szczegółowy regulamin został wydrukowany w numerze 2/2002.

Termin nadsyłania rozwiązań: 30 VI 2012

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Klub 44M - zadania IV 2012»Zadanie 639

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania IV 2012
Publikacja w Delcie: kwiecień 2012
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (78 KB)

W trójkącie $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ jest środkiem okręgu wpisanego. Prosta $\text{[math]}$ przecina bok $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Prowadzimy przez punkt $\text{[math]}$ dowolną prostą, przecinającą okrąg opisany na trójkącie $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wykazać, że prosta $\text{[math]}$ jest dwusieczną kąta $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Narzędzia
Obiekty: Ciągi liczbowe
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Klub 44M - zadania IV 2012»Zadanie 640

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania IV 2012
Publikacja w Delcie: kwiecień 2012
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (78 KB)
Zadanie zaproponował pan Tomasz Ordowski.

Ciąg liczb całkowitych dodatnich $\text{[math]}$ spełnia warunek

display-math

Dowieść, że spełnia on również liniową zależność rekurencyjną

display-math

Wyznaczyć wszystkie pary współczynników $\text{[math]}$ oraz wszystkie pary wyrazów początkowych $\text{[math]}$ dla których ta rekurencja liniowa generuje ciąg $\text{[math]}$ spełniający zadany na wstępie warunek.

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ oznacza sumę po lewej stronie zależności, podanej na początku zadania, zaś $\text{[math]}$ – ułamek po prawej stronie. Dla $\text{[math]}$ mamy $\text{[math]}$ zatem równość $\text{[math]}$ wymusza wartość $\text{[math]}$ Dalej,

display-math

Widać więc, że podana zależność jest spełniona dla wszystkich $\text{[math]}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

display-math

(1)

Jeżeli ciąg $\text{[math]}$ spełniający ten warunek, miałby również spełniać rekurencję typu

display-math

(2)

(z $\text{[math]}$ ), to dla $\text{[math]}$ mielibyśmy

display-math

Pierwsza para równości to układ równań liniowych (z niewiadomymi $\text{[math]}$ ) o wyznaczniku $\text{[math]}$ więc mający dokładnie jedno rozwiązanie. Przy tym jest on spełniony dla $\text{[math]}$ (co łatwo stwierdzić, korzystając z drugiej pary równości). Stąd wniosek, że jedynym kandydatem na postulowaną zależność rekurencyjną jest równanie

display-math

(3)

z warunkiem początkowym $\text{[math]}$ Wprowadźmy oznaczenia:

display-math

i zauważmy, że (dla $\text{[math]}$ )

$pict$

skąd przez odjęcie stronami

display-math

(4)

Ponadto (wobec $\text{[math]}$ ) mamy: $\text{[math]}$

Wnioski: Jeżeli ciąg liczb całkowitych dodatnich $\text{[math]}$ spełnia wyjściową zależność, czyli warunki (1), to dla wszystkich $\text{[math]}$ mamy $\text{[math]}$ więc prawa strona (4) ma stale wartość 0; przy tym $\text{[math]}$ i ze wzoru (4) wynika, że $\text{[math]}$ dla wszystkich $\text{[math]}$ – mamy zależność (3).

Na odwrót, jeśli równanie (3) (z wyrazem początkowym $\text{[math]}$ oraz dowolnym $\text{[math]}$ ) jest dla wszystkich $\text{[math]}$ spełnione, czyli wszystkie $\text{[math]}$ są zerami, to wobec (4): $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ przy tym $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ – a to jest zależność (1).

Ostatecznie więc, zadana na wstępie zależność jest równoważna rekurencji liniowej (2) z parametrami $\text{[math]}$ – dowolna liczba naturalna.

Rozwiązania zadań z numeru 12/2011

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Klub 44M - zadania XII 2011»Zadanie 631

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania XII 2011
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 1 grudnia 2011

Czy istnieje ośmiościan opisany na kuli, której rzut prostokątny na płaszczyznę każdej ze ścian ośmiościanu jest kołem zawartym w tej ścianie?

Rozwiązanie

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste
Słowa kluczowe
Kategoria: Kombinatoryka

Klub 44M - zadania XII 2011»Zadanie 632

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania XII 2011
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 1 grudnia 2011
Zadanie zaproponował pan Paweł Najman z Krakowa.

Mamy cztery liczby rzeczywiste; można z nich wybrać parę liczb na sześć sposobów. W każdej parze dodajemy obie liczby; dostajemy układ sześciu liczb. Suma tych sześciu liczb jest znana, równa $\text{[math]}$ także suma ich kwadratów jest znana, równa $\text{[math]}$ Wyznaczyć wszystkie wartości, jakie może przyjąć suma sześcianów tych sześciu liczb.