Przeskocz do treści

Delta mi!

Matematyka
Fizyka
Astronomia
Informatyka
Różności
Delta

Temat » Matematyka

Tweet

Zadania z myszką – matematyka

Zadania z matematyki - IV 2020

Delta, kwiecień 2020

o artykule ...

Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Jak co miesiąc, trzy ciekawe zadania z matematyki...

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadania z matematyki - IV 2020»Zadanie 1633

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - IV 2020
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Pewne $n$ przekątnych $2n$ -kąta foremnego przecina się w jednym punkcie, który nie jest wierzchołkiem tego wielokąta. Wykazać, że jest jego środkiem.

Rozwiązanie

Rozważmy dowolną spośród danych $|n$ przekątnych. Ponieważ pozostałych $|n− 1$ przekątnych ją przecina, więc po obu stronach rozważanej przekątnej znajduje się po $|n− 1$ wierzchołków wielokąta. Stąd wniosek, że ta przekątna łączy przeciwległe wierzchołki $|2n$ -kąta foremnego, więc przechodzi przez jego środek.

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadania z matematyki - IV 2020»Zadanie 1634

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - IV 2020
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Wierzchołki $2n$ -kąta foremnego oznaczono przez $P ,P ,...,P , 1 2 2n$ niekoniecznie w tej kolejności. Udowodnić, że łamana zamknięta $P1P2...P2n$ zawiera parę odcinków równoległych.

Rozwiązanie

Przypiszmy kolejnym wierzchołkom danego wielokąta foremnego kolejne reszty z dzielenia przez $|2n$ oraz oznaczmy przez $pi$ resztę przyporządkowaną wierzchołkowi $Pi.$

Zauważmy, że $|PiPj PkPℓ$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|pi + p j≡ pk + pl (mod 2n).$ Przypuśćmy nie wprost, że liczby $|p + p ,p + p ,...,p + p 1 2 2 3 2n 1$ dają parami różne reszty przy dzieleniu przez $|2n.$ Wówczas ich suma daje resztę

2n−1 Q i = n(2n − 1)≡ n (mod 2n). i 0

Z drugiej strony, rozważana suma jest równa

2n 2n−1 2Q pi = 2 Q i = 2n(2n − 1)≡ 0 (mod 2n). i 1 i 0

Uzyskana sprzeczność kończy rozwiązanie.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadania z matematyki - IV 2020»Zadanie 1635

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - IV 2020
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Prostokąt nazwiemy parzystym, jeśli każdy z jego wymiarów jest parzystą liczbą całkowitą. Kwadrat $n × n,$ gdzie $n$ jest liczbą nieparzystą, podzielono na części, z których każda jest parzystym prostokątem lub kwadratem $|1× 1.$ Znaleźć najmniejszą możliwą liczbę kwadratów $|1× 1$ uzyskanych w takim podziale.

Rozwiązanie

Odpowiedź: $2n − 1.$

Podzielmy dany kwadrat $|n× n$ na $|n2$ kwadratów jednostkowych, zwanych dalej polami, i wyróżnijmy pola znajdujące się na przecięciach wierszy i kolumn o parzystych numerach. Takich pól jest $|(n−1)2 2 .$

Zauważmy, że każdy parzysty prostokąt o wymiarach $|2a× 2b,$ a więc o polu $| 4ab,$ zawiera dokładnie $| ab$ wyróżnionych pól. Wobec tego łączne pole części podziału będących parzystymi prostokątami jest równe co najwyżej $4 (n−21)2 = (n −1)2.$ Łączne pole kwadratów jednostkowych jest zatem równe co najmniej $n2 −(n − 1)2 = 2n −1,$ skąd wniosek, że jest co najmniej tyle takich kwadratów.

Wystarczy zauważyć, że podział, w którym otrzymujemy $|2n− 1$ kwadratów jednostkowych, jest możliwy - wystarczy wyciąć kwadrat o boku $|n− 1,$ a pozostałą część podzielić na kwadraty jednostkowe.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności

tematy

Matematyka
Algebra
Analiza
Teoria miary
Układy dynamiczne
Geometria
Geometria różniczkowa
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
Rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka
Teoria grafów
Teoria liczb
Teoria Mnogości
Teoria węzłów
Topologia
Zastosowania matematyki

artykuły

Algorytmy
- Podróże w $d N$
Matematyka
Algebra
Analiza
Układy dynamiczne
- Nagrody Abela w roku 2020
Geometria
- Kochajcie trygonometrię, dziewczęta
Geometria różniczkowa
- O trójkątach (nie tylko) na sferze
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
- Czego jeszcze nie wiedzieliśmy o bryłach platońskich?
- Wierzchołki, krawędzie, ściany i dalej
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
- Czułość funkcji logicznych (II)
- Czułość funkcji logicznych (I)
Rachunek prawdopodobieństwa
- Nigdy Cię nie zobaczę?
- Paradoks jednomyślności
Statystyka
- O dowodzeniu racji
Teoria liczb
Teoria Mnogości
- Nieskończoność nieskończoności
Topologia
- Elementarnie o twierdzeniu Brouwera
- Zabawa zapałkami
Zastosowania matematyki

zadania

Matematyka
Liczby rzeczywiste, Rachunki
ZM-1648
ZM-1649
ZM-1650
Liczby rzeczywiste, Równania
ZM-K44-808
Liczby rzeczywiste
ZM-K44-803
Algebra
Liczby naturalne, Wielomiany
ZM-1647
Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki
ZM-20.07-KPO-1
ZM-20.07-KPO-2
ZM-20.07-KPO-3
ZM-20.07-KPO-4
ZM-20.07-KPO-5
ZM-20.07-KPO-6
ZM-20.07-KPO-7
Liczby rzeczywiste, Wielomiany
ZM-1638
Wielomiany
ZM-1653
Analiza
Ciągi liczbowe, Funkcje, Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-806
Funkcje, Liczby rzeczywiste, Nierówności
ZM-1639
Funkcje, Liczby rzeczywiste
ZM-K44-807
Funkcje
ZM-K44-811
ZM-20.09-GR-2
Planimetria
Konstrukcje
ZM-20.11-TK-1
Okręgi, Wielokąty
ZM-20.09-KPO-4
ZM-20.09-KPO-6
ZM-K44-805
ZM-20.06-KPO-4
Okręgi
ZM-K44-809
ZM-1652
ZM-20.08-KPO-1
Wielokąty, Konstrukcje
ZM-20.09-KPO-5
Wielokąty, Przekształcenia
ZM-20.10-KPO-3
ZM-20.10-KPO-6
Wielokąty
ZM-20.10-KPO-1
ZM-20.10-KPO-2
ZM-20.10-KPO-4
ZM-20.10-KPO-5
ZM-20.09-KPO-1
ZM-20.09-KPO-2
ZM-20.09-KPO-3
ZM-20.08-KPO-2
ZM-20.08-KPO-6
ZM-20.08-KPO-7
ZM-20.08-ME-1
ZM-20.08-ME-3
ZM-20.06-KPO-1
ZM-20.06-KPO-2
ZM-20.06-KPO-3
ZM-20.06-KPO-5
ZM-20.06-KPO-6
ZM-20.06-KPO-7
ZM-20.06-KPO-8
Inne
ZM-20.09-GR-3
ZM-20.09-GR-4
ZM-1646
ZM-1644
Stereometria
Wielościany, Wielokąty
ZM-20.08-ME-2
Kombinatoryka
Liczby pierwsze, Zbiory
ZM-K44-804
Zbiory
ZM-20.08-KPO-4
ZM-1640
ZM-20.05-DD-1
Inne
ZM-1657
ZM-1658
ZM-1659
ZM-20.11-IN-1
ZM-20.08-KPO-3
ZM-20.08-KPO-5
ZM-1642
ZM-1643
ZM-1637
Rachunek prawdopodobieństwa
Losowość
ZM-1654
ZM-1651
Teoria liczb
Ciągi liczbowe, Liczby
ZM-1655
ZM-1656
Liczby naturalne, Podzielność, Równania
ZM-1636
Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-812
Liczby naturalne, Równania
ZM-1645
Liczby naturalne
ZM-K44-810
ZM-20.08-PK-1
ZM-20.06-FB-2
ZM-20.06-FB-3
ZM-20.06-FB-4
Liczby pierwsze, Podzielność
ZM-20.12-KPO-1
ZM-20.12-KPO-2
ZM-20.12-KPO-3
ZM-20.12-KPO-4
ZM-20.12-KPO-5
ZM-20.12-KPO-6
ZM-20.12-KPO-7
ZM-20.12-KPO-8
ZM-20.12-KPO-9
ZM-20.11-KPO-1
ZM-20.11-KPO-2
ZM-20.11-KPO-3
ZM-20.11-KPO-4
ZM-20.11-KPO-5
ZM-20.11-KPO-6
ZM-1641
Liczby pierwsze
ZM-20.05-DD-2
Liczby wymierne
ZM-20.06-FB-1
Inne
ZM-20.08-KPO-8
Teoria Mnogości
Funkcje, Zbiory
ZM-20.09-GR-1

projekt graficzny: emilka bojańczyk

Delta:
archiwum
redakcja
autorzy
rubryki
prenumerata
zgłoś błąd/uwagę/opinię
DeltaMi RSS