Przeskocz do treści

Delta mi!

Matematyka
Fizyka
Astronomia
Informatyka
Różności
Delta

Temat » Matematyka

Tweet

Zadania z myszką – matematyka

Zadania z matematyki - III 2020

Łukasz Rajkowski

Delta, marzec 2020

o artykule ...

Publikacja w Delcie: marzec 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Jak co miesiąc, trzy ciekawe zadania z matematyki...

Narzędzia
Obiekty: Liczby pierwsze
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Zadania z matematyki - III 2020»Zadanie 1630

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - III 2020
Publikacja w Delcie: marzec 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Niech $|p$ będzie liczbą pierwszą większą od 2. Udowodnić, że istnieje dokładnie jeden sposób przedstawienia $2 p$ w postaci sumy $1 1 |x + y ,$ gdzie $|x < y.$

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby $x < y$ spełniają $2 1 1 |p = x + y .$ Równanie to można sprowadzić do postaci $(2x − p)(2y − p) = p2.$ Ponieważ $p$ jest liczbą pierwszą, wynika stąd, że $2x − p = p$ lub $|2x− p = 1.$ Pierwsza z tych możliwości oznaczałaby, że $x = p = y,$ co przeczy zależności $x < y.$ Musi być zatem $p+1 |x = 2 ,$ skąd $p p+1- y = 2$ ; ponieważ $p > 2,$ liczby te są całkowite i faktycznie spełniają wymaganą równość.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadania z matematyki - III 2020»Zadanie 1631

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - III 2020
Publikacja w Delcie: marzec 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Punkt $|P$ leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ABC$ i nie jest środkiem okręgu $ω$ opisanego na tym trójkącie. Udowodnić, że wśród odcinków $|PA,$ i $P C$ znajdują się odcinek krótszy oraz odcinek dłuższy od promienia okręgu $ω$

Rozwiązanie

$obrazek$

Skorzystamy z następującego lematu: jeśli punkt $R$ leży wewnątrz trójkąta $YZ X$ i $R ≠ Z,$ to $+RY<ZX+ZY. RX$ Aby go udowodnić, zauważmy najpierw, że $R$ nie leży na co najmniej jednym z odcinków $,ZY.ZX$ Bez straty ogólności przyjmijmy, że jest to $. ZX$ Niech $|S$ będzie punktem przecięcia prostych $RX$ i $|ZY .$ Wtedy z nierówności trójkąta:

$pict$

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Niech $|O$ będzie środkiem okręgu $|ω$ a $r$ będzie promieniem tego okręgu. Punkt $|P$ leży w co najmniej jednym z trójkątów $ABO,$ ; bez straty ogólności przyjmijmy, że jest to trójkąt $|ABO.$ Podobnie, $O |$ leży w którymś z trójkątów $|ABP$ $BCP$ ; przyjmijmy, że jest to trójkąt $BCP$ Zgodnie z lematem zachodzi $AP$ ; i analogicznie: $BP + CP$ Zatem któryś z odcinków $|AP$ jest mniejszy od $r$ i któryś z odcinków $|BP,CP$ jest większy od $r. |$

Narzędzia
Obiekty: Szeregi liczbowe
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Zadania z matematyki - III 2020»Zadanie 1632

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - III 2020
Publikacja w Delcie: marzec 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Liczby $x ,...,x 1 n$ należą do odcinka $[0,1].$ Udowodnić, że istnieje takie $|0⩽ a ⩽ 1,$ że $1 n 1 |n P i 1 xi− a = 2 .$

Rozwiązanie

Niech $| f(x) = 1Pn x − x . n i 1 i$ Ponieważ $0 ⩽ x ⩽ 1, i$ więc

1 n 1 n f(1) = n-Q (1 −xi) = 1− n-Q xi = 1− f(0). i 1 i 1

W tej sytuacji $1 f(0) ⩽ 2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $1 f (1)⩾ 2 .$ Teza wynika zatem z ciągłości funkcji $f$ i własności Darboux funkcji ciągłych.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności

tematy

Matematyka
Algebra
Analiza
Teoria miary
Układy dynamiczne
Geometria
Geometria różniczkowa
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
Rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka
Teoria grafów
Teoria liczb
Teoria Mnogości
Teoria węzłów
Topologia
Zastosowania matematyki

artykuły

Algorytmy
- Podróże w $d N$
Matematyka
Algebra
Analiza
Układy dynamiczne
- Nagrody Abela w roku 2020
Geometria
- Kochajcie trygonometrię, dziewczęta
Geometria różniczkowa
- O trójkątach (nie tylko) na sferze
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
- Czego jeszcze nie wiedzieliśmy o bryłach platońskich?
- Wierzchołki, krawędzie, ściany i dalej
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
- Czułość funkcji logicznych (II)
- Czułość funkcji logicznych (I)
Rachunek prawdopodobieństwa
- Nigdy Cię nie zobaczę?
- Paradoks jednomyślności
Statystyka
- O dowodzeniu racji
Teoria liczb
Teoria Mnogości
- Nieskończoność nieskończoności
Topologia
- Elementarnie o twierdzeniu Brouwera
- Zabawa zapałkami
Zastosowania matematyki

zadania

Matematyka
Liczby rzeczywiste, Rachunki
ZM-1648
ZM-1649
ZM-1650
Liczby rzeczywiste, Równania
ZM-K44-808
Liczby rzeczywiste
ZM-K44-803
Algebra
Liczby naturalne, Wielomiany
ZM-1647
Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki
ZM-20.07-KPO-1
ZM-20.07-KPO-2
ZM-20.07-KPO-3
ZM-20.07-KPO-4
ZM-20.07-KPO-5
ZM-20.07-KPO-6
ZM-20.07-KPO-7
Liczby rzeczywiste, Wielomiany
ZM-1638
Wielomiany
ZM-1653
Analiza
Ciągi liczbowe, Funkcje, Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-806
Funkcje, Liczby rzeczywiste, Nierówności
ZM-1639
Funkcje, Liczby rzeczywiste
ZM-K44-807
Funkcje
ZM-K44-811
ZM-20.09-GR-2
Planimetria
Konstrukcje
ZM-20.11-TK-1
Okręgi, Wielokąty
ZM-20.09-KPO-4
ZM-20.09-KPO-6
ZM-K44-805
ZM-20.06-KPO-4
Okręgi
ZM-K44-809
ZM-1652
ZM-20.08-KPO-1
Wielokąty, Konstrukcje
ZM-20.09-KPO-5
Wielokąty, Przekształcenia
ZM-20.10-KPO-3
ZM-20.10-KPO-6
Wielokąty
ZM-20.10-KPO-1
ZM-20.10-KPO-2
ZM-20.10-KPO-4
ZM-20.10-KPO-5
ZM-20.09-KPO-1
ZM-20.09-KPO-2
ZM-20.09-KPO-3
ZM-20.08-KPO-2
ZM-20.08-KPO-6
ZM-20.08-KPO-7
ZM-20.08-ME-1
ZM-20.08-ME-3
ZM-20.06-KPO-1
ZM-20.06-KPO-2
ZM-20.06-KPO-3
ZM-20.06-KPO-5
ZM-20.06-KPO-6
ZM-20.06-KPO-7
ZM-20.06-KPO-8
Inne
ZM-20.09-GR-3
ZM-20.09-GR-4
ZM-1646
ZM-1644
Stereometria
Wielościany, Wielokąty
ZM-20.08-ME-2
Kombinatoryka
Liczby pierwsze, Zbiory
ZM-K44-804
Zbiory
ZM-20.08-KPO-4
ZM-1640
ZM-20.05-DD-1
Inne
ZM-1657
ZM-1658
ZM-1659
ZM-20.11-IN-1
ZM-20.08-KPO-3
ZM-20.08-KPO-5
ZM-1642
ZM-1643
ZM-1637
Rachunek prawdopodobieństwa
Losowość
ZM-1654
ZM-1651
Teoria liczb
Ciągi liczbowe, Liczby
ZM-1655
ZM-1656
Liczby naturalne, Podzielność, Równania
ZM-1636
Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-812
Liczby naturalne, Równania
ZM-1645
Liczby naturalne
ZM-K44-810
ZM-20.08-PK-1
ZM-20.06-FB-2
ZM-20.06-FB-3
ZM-20.06-FB-4
Liczby pierwsze, Podzielność
ZM-20.12-KPO-1
ZM-20.12-KPO-2
ZM-20.12-KPO-3
ZM-20.12-KPO-4
ZM-20.12-KPO-5
ZM-20.12-KPO-6
ZM-20.12-KPO-7
ZM-20.12-KPO-8
ZM-20.12-KPO-9
ZM-20.11-KPO-1
ZM-20.11-KPO-2
ZM-20.11-KPO-3
ZM-20.11-KPO-4
ZM-20.11-KPO-5
ZM-20.11-KPO-6
ZM-1641
Liczby pierwsze
ZM-20.05-DD-2
Liczby wymierne
ZM-20.06-FB-1
Inne
ZM-20.08-KPO-8
Teoria Mnogości
Funkcje, Zbiory
ZM-20.09-GR-1

projekt graficzny: emilka bojańczyk

Delta:
archiwum
redakcja
autorzy
rubryki
prenumerata
zgłoś błąd/uwagę/opinię
DeltaMi RSS