Deltoid

Z armaty do muchy

Delta, styczeń 2016

o artykule ...

Publikacja w Delcie: styczeń 2016
Publikacja elektroniczna: 01-01-2016
Wersja do druku [application/pdf]: (60 KB)

Poniższe zadania łączy to, że do rozwiązania każdego z nich można użyć pewnego Bardzo Znanego Twierdzenia, udowodnionego całkiem niedawno. Oczywiście to, że można strzelać z armaty do muchy nie oznacza, że zawsze trzeba...

W poniższych zadaniach $n$ i $|k$ oznaczają dodatnie liczby całkowite. Słynne Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF) z XVII w. głosi, że

Twierdzenie (Wielkie Twierdzenie Fermata). Równanie $|xn + yn = zn$ nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych $|x,y,z$ dla $n > 2.$

Dowód tego twierdzenia powstał dopiero pod koniec XX w. Jest zbyt długi i skomplikowany, by zmieścić się w tym artykule. Wielkie Twierdzenie Fermata łatwo można uogólnić dla liczb wymiernych $x,y,z ≠ 0$ ; proszę spróbować! Więcej o WTwF znaleźć można w tym numerze Delty na stronach

Więcej o Wielkim Twierdzeniu Fermata piszemy w artykule Reszta jest dziełem człowieka, czyli Fermat i inni

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste
Słowa kluczowe
Kategoria: Algebra

Z armaty do muchy»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Z armaty do muchy
Publikacja w Delcie: styczeń 2016
Publikacja elektroniczna: 01-01-2016
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (60 KB)

Udowodnij, że dla $n > 2$ liczba $-- n√ 2$ jest niewymierna.

Rozwiązanie

Załóżmy, że $√-- |n2 = pq,$ gdzie $|0 < p,q ∈ N.$ Wtedy $n |2 = pqn,$ zatem $|2qn = pn,$ czyli $qn + qn = pn,$ sprzecznie z Wielkim Twierdzeniem Fermata.

Narzędzia
Obiekty: Liczby naturalne
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Z armaty do muchy»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Z armaty do muchy
Publikacja w Delcie: styczeń 2016
Publikacja elektroniczna: 01-01-2016
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (60 KB)

Wykaż, że 56 nie jest trzecią potęgą liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Gdyby $56 = n3,$ to $n3 = 56 = 64 − 8 = 43− 23,$ czyli $|n3 + 23 = 43,$ sprzecznie z Wielkim Twierdzeniem Fermata.

Narzędzia
Obiekty: Losowość
Słowa kluczowe
Kategoria: Rachunek prawdopodobieństwa

Z armaty do muchy»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Z armaty do muchy
Publikacja w Delcie: styczeń 2016
Publikacja elektroniczna: 01-01-2016
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (60 KB)

W dwóch urnach jest po $k$ kul, każda z kul jest biała lub czarna. Z każdej z urn $n$ -krotnie losujemy kulę ze zwracaniem. Dla jakich wartości $n, k$ i dla jakiego układu kolorów kul prawdopodobieństwo wylosowania samych białych kul z pierwszej urny jest równe prawdopodobieństwu wylosowania z drugiej urny wszystkich kul jednego koloru?

Rozwiązanie

Niech $b1$ i $b2$ oznaczają liczby białych kul odpowiednio w pierwszej i drugiej urnie. Prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny $n$ -krotnie wylosowano białą kulę równe jest $n (b1/k) .$ Podobnie wyznaczamy odpowiednie prawdopodobieństwa dla drugiej urny i równość z treści zadania przybiera postać

b1 n b2 n k-−-b2 n ( k ) = ( k ) + ( k ) ,

czyli

bn1 = bn2 + (k −b2)n.

Jeśli $n > 2,$ to z WTwF musi być $b1 = b2$ i $|k− b2 = 0$ lub $|b1 = k− b2$ i $b2 = 0.$ To prowadzi do rozwiązań $b1 = b2 = k$ lub $|b1 = k$ i $b2 = 0.$

Jeśli $n = 2,$ równanie spełniają wszystkie trójki pitagorejskie i dla każdej z nich są dwa rozwiązania.

Jeśli $n = 1,$ to prawdopodobieństwo, że wszystkie kule wylosowane z drugiej urny są jednego koloru jest równe 1, więc rozwiązaniem jest $|b1 = k.$

Narzędzia
Obiekty: Liczby naturalne , Równania
Słowa kluczowe
Kategoria: Algebra

Z armaty do muchy»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Z armaty do muchy
Publikacja w Delcie: styczeń 2016
Publikacja elektroniczna: 01-01-2016
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (60 KB)

Znajdź wszystkie trójki dodatnich liczb całkowitych $x, y,z,$ dla których $2 2 4 |xy(x +y ) = 2z .$

Rozwiązanie

Dany warunek równoważny jest równości $|(x + y)4 = (x − y)4 + (2z)4.$ Na mocy Wielkiego Twierdzenia Fermata, skoro $x, y,z > 0,$ to $|x− y = 0,$ czyli $|x = y.$ Wówczas $|(2x)4 = (2z)4$ i w rezultacie $x = y = z.$

Narzędzia
Obiekty: Liczby naturalne , Równania
Słowa kluczowe
Kategoria: Algebra

Z armaty do muchy»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Z armaty do muchy
Publikacja w Delcie: styczeń 2016
Publikacja elektroniczna: 01-01-2016
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (60 KB)

Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych $|x,y,$ dla których $x3 −6y2 = 2.$

Rozwiązanie

Przekształcając dane równanie, uzyskujemy $|x3 = 6y2 +2 = (1+ y)3 + (1− y)3.$ Na mocy Wielkiego Twierdzenia Fermata musi być $|x = 0,1 +y = 0$ lub $1− y = 0.$ To daje rozwiązania $(x,y) = (2,−1)$ lub $|(x,y) = (2,1).$

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Liczby wymierne , Wielomiany
Słowa kluczowe
Kategoria: Algebra

Z armaty do muchy»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Z armaty do muchy
Publikacja w Delcie: styczeń 2016
Publikacja elektroniczna: 01-01-2016
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (60 KB)
Zadanie 6 pochodzi z LXIV Olimpiady Matematycznej, a opisane tu rozwiązanie przedstawił jej uczestnik.

Czy istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, który nie jest różnowartościowy na zbiorze liczb rzeczywistych, ale jest różnowartościowy na zbiorze liczb wymiernych?

Rozwiązanie

Tak. Niech $18 9 W(x) = x − 8x .$ Wówczas $√3-- W(0) = W( 2).$ Przypuśćmy, że $W(r) = W(s)$ dla pewnych liczb wymiernych $r ≠ s.$ Równanie $|x18 −8x9 − W(r) = 0$ ma wtedy dwa różne pierwiastki wymierne $|r,s.$ Stąd także równanie $y2 − 8y− W(r) = 0$ ma dwa różne pierwiastki wymierne $9 9 r ,s .$ Wobec tego z wzorów Viète'a $9 9 r + s = 8,$ czyli $|(r3)3 +(s3)3 = 23.$