W dalszym ciągu będziemy rozważać tylko zbiory skończone. Dla przykładu niech  Totalnym nieporządkiem na tym zbiorze jest zbiór częściowo uporządkowany  taki że nie zachodzi  dla dowolnych różnych  ma sześć rozszerzeń liniowych:

Sortowanie zbioru częściowo uporządkowanego polega na zadawaniu pytań o relację między jego elementami w celu wybrania jednego z jego rozszerzeń liniowych. Niech  będzie zbiorem częściowo uporządkowanym, który chcemy posortować. Jeśli na pytanie o elementy  i   uzyskamy odpowiedź, że  to rozszerzamy relację  o tę informację. Wynikiem jest nowa relacja  i nowy zbiór częściowo uporządkowany  Formalnie relacja  jest domknięciem przechodnim relacji  uzupełnionej o porównanie

Sortowanie kończy się, gdy w wyniku zadawania kolejnych pytań otrzymamy zbiór liniowo uporządkowany. Oczywiście, nie ma sensu zadawanie pytania, na które znamy odpowiedź, czyli pytania o relację między elementami  i   jeśli  lub  Dla zachowania ścisłości przyjmujemy, że po zadaniu takiego pytania relacja nie zmienia się.

Wróćmy do naszego przykładu trójelementowego zbioru  i totalnego nieporządku na nim. Chcąc go posortować, możemy zadać pytanie o relację między elementami  i   Jeśli odpowiedzią jest  to nadal możliwe są rozszerzenia liniowe

Jeśli natomiast odpowiedź brzmi  to pozostają rozszerzenia liniowe

Zauważmy, że wykonanie porównania dzieli zbiór rozszerzeń liniowych na dwa rozłączne podzbiory. Niech  oznacza liczbę rozszerzeń liniowych zbioru częściowo uporządkowanego. Łatwo zauważyć, że dla dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego  jeśli  i   oznaczają rozszerzenie  odpowiednio o warunek  i   to  i przynajmniej jedna z wartości  lub  jest nie mniejsza niż

Zastanówmy się, jaka jest minimalna liczba porównań  potrzebna i zawsze wystarczająca do posortowania danego zbioru częściowo uporządkowanego  Gdyby było tak, jak w powyższym przykładzie, że zawsze możemy podzielić zbiór rozszerzeń liniowych na równoliczne podzbiory, to wystarczyłoby  porównań. Niestety, nie zawsze jest to możliwe. Rozważany przykład pokazuje, że możemy uzyskać trójelementowy zbiór rozszerzeń liniowych i wtedy najlepszy możliwy do uzyskania podział jest w stosunku  Okazuje się, że najprawdopodobniej jest to przypadek najbardziej pesymistyczny. Mówi o tym hipoteza  sformułowana wiele lat temu niezależnie przez Kislicyna, Fredmana i Liniala.

Powyższą hipotezę udowodniono dla wielu przypadków szczególnych, co pozwala wierzyć w jej prawdziwość. Jednak w ogólnym przypadku nadal pozostaje jednym z ważniejszych problemów otwartych teorii zbiorów częściowo uporządkowanych. Prawdziwość tej hipotezy implikuje możliwość posortowania zbioru częściowo uporządkowanego  za pomocą maksymalnie  porównań (przypomnijmy, że  dla ).

Czy można lepiej? Wydaje się, że tak. Autor tego artykułu sformułował kilka lat temu hipotezę złotego podziału dla zbiorów częściowo uporządkowanych.

Hipoteza złotego podziału jest bardziej ogólna od hipotezy  Innymi słowy, prawdziwość hipotezy złotego podziału implikuje prawdziwość hipotezy  gdyż każdy kontrprzykład dla hipotezy  jest również kontrprzykładem dla hipotezy złotego podziału. Załóżmy, że  jest kontrprzykładem dla hipotezy  Wtedy dla każdego porównania na  jeden z jego wyników daje nierówność  Oczywiście, dla każdego porównania na  możemy wskazać jego wynik, taki że  Stąd  i otrzymaliśmy kontrprzykład dla hipotezy złotego podziału.

Jak można się domyślić, hipotezy złotego podziału również nie udało się udowodnić w ogólności, ale dowiedziono jej w tak wielu przypadkach szczególnych, że mamy podstawy, aby wierzyć w jej prawdziwość.

Zmierzając do finału, zobaczmy dwa proste twierdzenia, które uzasadniają nazwę hipotezy. Niech  będzie -tą liczbą Fibonacciego, rozpoczynając od  a   stałą złotej proporcji.

W powyższym twierdzeniu kres górny jest po wszystkich skończonych zbiorach częściowo uporządkowanych, których dotyczy hipoteza złotego podziału, czyli skończonych i nieuporządkowanych liniowo. Niech  będzie takim zbiorem częściowo uporządkowanym. Niech  będzie liczbą porównań wymaganych do jego posortowania (  i nie można go posortować za pomocą  porównań). Z poprzedniego twierdzenia wynika, że  Wiadomo, że ciąg Fibonacciego spełnia nierówność  dla  zatem

Linial wskazał ciąg zbiorów częściowo uporządkowanych  nazywanych drabinami, takich że  ma  elementów,  oraz  Rysunek poniżej pokazuje diagramy Hassego kilku początkowych zbiorów  i pozwala odgadnąć regułę ich konstrukcji oraz genezę ich nazwy.

Ponieważ

więc mamy

Z powyższych rozważań wnioskujemy, że postulowanego ograniczenia tego  nie da się już poprawić. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  jest liniowo uporządkowany – wtedy  i   Zauważmy też, że  dla  Nieco nieformalnie można powiedzieć, że podczas sortowania każde porównanie może zmniejszyć średnio liczbę rozszerzeń liniowych przynajmniej o współczynnik złotej proporcji. Tak właśnie jest dla drabin. Chcąc posortować drabinę  należy porównać dwa jej elementy maksymalne. W wyniku zbiór jej rozszerzeń liniowych o liczności  zostaje podzielony na dwa podzbiory o liczności odpowiednio  i   a problem redukuje się do posortowania odpowiednio drabiny  lub