Konferencja w Ameliówce

W dniach 4–6 listopada 2011 roku w hotelu Ameliówka koło Kielc odbyła się konferencja organizowana przez SEM wspólnie z Wydziałami Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej i Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Było to już czwarte spotkanie naukowe zorganizowane w podobnej formie przez nasze Stowarzyszenie.

Konferencja ta, podobnie jak poprzednie: Konkursy matematyczne w Polsce, Matematyka – jak uczyć? oraz Gdzie jest matematyka?, stworzyła okazję do spotkania wielu osób zainteresowanych rozbudzaniem matematycznych zdolności młodzieży.

Do Ameliówki przyjechało prawie 140 matematyków z całej Polski na co dzień zajmujących się szeroko rozumianą edukacją matematyczną. Zgodnie z tradycją uczestnikami konferencji byli zarówno nauczyciele matematyki w szkołach różnych typów, jak i pracownicy naukowi wyższych uczelni.

W trakcie konferencji odbywającej się pod hasłem Gdzie jest nauczyciel? zastanawiano się przede wszystkim nad rolą nauczyciela w kształceniu matematycznym. Próbowano odpowiedzieć na pytanie, jaką wartość wnosi nauczyciel do wykształcenia młodych ludzi. Doświadczeni nauczyciele matematyki, pracujący w specjalnych klasach matematycznych, dzielili się swoimi spostrzeżeniami i metodami pracy, pokazując Gdzie jest nauczyciel w klasie uczniów zdolnych? Dyskutowano również o podręcznikach matematyki oraz o sposobach i potrzebie uczenia matematyki humanistów. Przedstawiono także wiele interesujących zagadnień matematycznych, które można wykorzystać na zajęciach pozalekcyjnych w gimnazjach i szkołach ponadgimnazjalnych. Konferencja była też okazją prezentacji nowej formy organizacji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów. Więcej informacji o konferencji można znaleźć na stronie internetowej sem.edu.pl/konferencja-2011.

Jednym z wielu bardzo ciekawych odczytów matematycznych było wystąpienie Wojciecha Martysa o inwersji względem okręgu. Chcielibyśmy zwrócić uwagę naszych Czytelników na pewną ładną własność inwersji przedstawioną wraz z dowodem podczas tego referatu.

Twierdzenie. Niech $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ będą rozłącznymi okręgami leżącymi na danej płaszczyźnie. Wtedy istnieje inwersja tej płaszczyzny przekształcająca okręgi $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ na okręgi koncentryczne.

Dowód. Możemy założyć, że okręgi $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ nie są koncentryczne. Oznaczmy przez $\text{[math]}$ prostą przechodzącą przez środki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Na prostej $\text{[math]}$ znajdujemy punkt $\text{[math]}$ z którego długości odcinków stycznych, poprowadzonych do $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są jednakowe. Oznaczmy przez $\text{[math]}$ długość odcinka stycznego poprowadzonego z $\text{[math]}$ do $\text{[math]}$ Zauważamy, że okrąg $\text{[math]}$ o środku w punkcie $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ jest prostopadły do $\text{[math]}$ i do $\text{[math]}$ Oznaczmy przez $\text{[math]}$ jeden z punktów przecięcia $\text{[math]}$ z $\text{[math]}$ Wtedy inwersja o środku w punkcie $\text{[math]}$ przekształca prostą $\text{[math]}$ w siebie, co oznacza, że środki obrazów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ w tej inwersji leżą na $\text{[math]}$ Ponadto inwersja o środku w punkcie $\text{[math]}$ przekształca $\text{[math]}$ na prostą $\text{[math]}$ (bo $\text{[math]}$ ) prostopadłą do $\text{[math]}$ (inwersja zachowuje kąty). Więc $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są okręgami prostopadłymi do $\text{[math]}$ co oznacza, że ich środki leżą na $\text{[math]}$ Podsumowując: środki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą na $\text{[math]}$ i na $\text{[math]}$ a więc $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ muszą być koncentryczne.

Proponujemy Czytelnikom wykorzystanie udowodnionej własności w analizie następujących zadań.