Interpolacja fraktalna, czyli dwukrotne fałszerstwo na zamówienie

Urządzenie pomiarowe zmierzyło wartości pewnej wielkości w czterech momentach (Rys. 1). Wiemy więc bardzo niewiele o zależności tej wielkości od czasu.

Mimo to chcielibyśmy odtworzyć brakujące punkty wykresu, kierując się następującymi informacjami:

pomiędzy każdymi dwoma kolejnymi punktami dzieje się tak dużo, jak pomiędzy pierwszym i ostatnim, tzn. kawałki wykresów pomiędzy kolejnymi punktami są takie, jak cały wykres po odpowiednim „przeskalowaniu”,
wykres funkcji jest linią ciągłą.

Z wielu możliwych funkcji, które spełniają powyższe warunki, wybierzemy taką, która da się łatwo opisać. Punkty z wykresu tej funkcji potraktujemy jako uzupełnienie brakujących danych. Będzie to więc świadome fałszerstwo.

Konstrukcja interpolacji fraktalnej

Tworzymy łamaną łączącą kolejne punkty $\text{[math]}$ Otrzymujemy w ten sposób interpolację kawałkami liniową $\text{[math]}$
Otrzymaną łamaną $\text{[math]}$ przeskalujemy (zwęzimy i ściśniemy) i wstawimy pomiędzy punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (Rys. 3). Podobnie łamaną $\text{[math]}$ przekształcimy i wstawimy kolejno pomiędzy punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$
W każdym następnym kroku powtarzamy te same czynności: krzywą otrzymaną w kroku poprzednim odwzorowujemy przekształceniem $\text{[math]}$ pomiędzy punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przekształceniem $\text{[math]}$ pomiędzy punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz przekształceniem $\text{[math]}$ pomiędzy punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Im więcej tych kroków wykonamy, tym dokładniejsze przybliżenie granicznej krzywej fraktalnej dostaniemy. W granicznej krzywej $\text{[math]}$ każdy kawałek pomiędzy punktami $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ 2 lub 3, jest podobny (afinicznie) do całości, a cała krzywa jest sumą swoich trzech kopii: $\text{[math]}$

Cały artykuł dostępny jest w formacie pdf.