Poniższy rysunek przedstawia wszystkie możliwe kolorowania dwoma kolorami, podzielone na zbiory kolorowań identycznych względem izometrii.

Jak widać istnieje 16 kolorowań dwoma kolorami, ale tylko 6, gdy dopuścimy obracanie kwadratem i odbicia symetryczne. Aby obliczyć liczbę kolorowań większą liczbą kolorów, przyjrzyjmy się dokładnie izometriom naszego obiektu.
W przypadku kwadratu jest ich 8:

• identyczność,
• obroty o
• odbicia względem przekątnych, osi pionowej oraz osi poziomej.

Dodatkowo izometrie dowolnego obiektu można składać. Oznaczmy tę operację Przykładowo: jeżeli odbijemy kwadrat względem osi pionowej, a następnie obrócimy go o otrzymamy odbicie względem osi poziomej. Zbiór izometrii wraz z operacją ma poniższe podstawowe własności, dzięki którym tworzą one grupę, którą od teraz będziemy oznaczać przez

• złożenie dowolnych dwóch izometrii również jest izometrią;
• działanie jest łączne, czyli dla dowolnych mamy ;
• istnieje element neutralny nazywany identycznością, taki że dla dowolnego zachodzi ;
• dla dowolnego istnieje izometria odwrotna nazywana taka że

Zachęcam Czytelnika, aby samodzielnie uzasadnił powyższe własności grupy izometrii.

Jeżeli oznaczymy teraz zbiór wszystkich kolorowań kwadratu kolorami (dla pewnego ustalonego ) przez będziemy mogli zdefiniować działanie grupy na zbiór Zauważmy, że dowolna symetria z może działać na każdy element z przekształcając go na pewien inny. Mówiąc formalnie, jest to funkcja spełniająca dwie własności:

• 
• 

Aby lepiej zrozumieć działanie grupy izometrii na kolorowaniach obiektu, warto przyjrzeć się rysunkowi kolorowań kwadratu i zastanowić się, którymi izometriami trzeba działać na kolorowania z każdej grupy, aby otrzymać pozostałe.

Zanim przejdziemy do kluczowego twierdzenia, potrzebujemy jeszcze trzech nowych pojęć. Dla dowolnej izometrii zbiorem jej punktów stałych będą wszystkie kolorowania takie że - będziemy ten zbiór oznaczać przez Dla dowolnego kolorowania zbiorem jego stabilizatorów będą wszystkie symetrie takie że - ten zbiór będziemy oznaczać przez Ostatecznie, dla pewnego kolorowania orbitą, do której ono należy, będzie zbiór wszystkich innych kolorowań, które można otrzymać z działając pewną izometrią z Ten zbiór będziemy nazywać Zauważmy teraz, że na rysunku wszystkich kolorowań kwadratu (poprzednia strona) zostały one podzielone właśnie na orbity. Każda orbita odpowiada jednemu sposobowi kolorowania obiektu, zatem naszym celem jest obliczenie ich liczby.

Niech oraz będą dwoma kolorowaniami należącymi do tej samej orbity. Ponadto niech oznacza zbiór wszystkich takich izometrii że ; zauważmy również, że Wybierzmy dowolną izometrię Składając ją lewostronnie ze wszystkimi izometriami ze zbioru otrzymamy różnych izometrii należących do Zatem Ponadto można składać z odwrotnościami wszystkich izometrii z otrzymując izometrii należących do Z tego wynika, że więc:

Jeżeli zadziałamy na kolorowanie wszystkimi izometriami z to każde z kolorowań ze zbioru otrzymamy dokładnie tyle samo razy w wyniku działania grupy. Można zatem wywnioskować bardzo ważny lemat:

Teraz jesteśmy gotowi, aby wyprowadzić kluczowy wzór. Oznaczając zbiór wszystkich orbit poprzez otrzymujemy:

Ostatnia równość wynika z faktu, że zarówno jak i są równe liczbie par takich że Wyprowadzona powyżej tożsamość nazywana jest lematem Burnside'a. Zbiór jest niejednokrotnie ogromny, przez co nie ma możliwości badania wszystkich orbit. Dzięki tej równości wystarczy sklasyfikować izometrie z grupy których jest stosunkowo niewiele. Jedyną trudnością, jaka pozostała, jest obliczenie dla każdej izometrii, ile ma ona punktów stałych. Aby to zrobić, musimy spojrzeć, które spośród rogów kwadratu dana izometria przekształca na które. W ten sposób rozbijemy je na cykle, a każdy z nich będzie musiał być w tym samym kolorze. Jeżeli izometria ma cykli, to ma ona punktów stałych, ponieważ każdy z nich kolorujemy jednym kolorem.

Dla ułatwienia ponumerujmy rogi kwadratu od 1 do 4 tak, jak numeruje się ćwiartki układu współrzędnych. Poniższa tabela przedstawia, jakie cykle powstaną dla wszystkich izometrii kwadratu. Zachęcam do jej dokładnego przeanalizowania.

Podsumowując dane z tabeli i wstawiając je do otrzymanego wzoru, możemy wyprowadzić wzór na liczbę różnych kolorowań kwadratu kolorami:

Spróbujmy teraz zmierzyć się z trudniejszym problemem. Wyobraźmy sobie, że Kalina chciałaby pokolorować wszystkie ściany sześciennej kostki, mając do dyspozycji kredki w kolorach. Ile różnych kostek mogłaby w ten sposób otrzymać? Tym razem nie będziemy wypisywać wszystkich izometrii sześcianu, musimy to zrobić sprytniej. Zacznijmy od tego, że obracając sześcian, możemy go postawić na dowolnej ze ścian, a następnie obrócić na cztery sposoby, zatem mamy izometrie. Spróbujmy je teraz sklasyfikować.

• Identyczność. Każda ściana przechodzi sama na siebie, tworząc osobny cykl, zatem ma ona punktów stałych.
• Obrót o lub względem osi przechodzącej przez środki przeciwległych ścian. Jest takich izometrii. Dla każdej z nich dwie ściany, przez które przechodzi oś symetrii, przechodzą same na siebie, natomiast pozostałe ściany tworzą jeden cykl, zatem mamy punktów stałych.
• Obrót o względem osi przechodzącej przez środki przeciwległych ścian. Są trzy takie izometrie. Cykle zachowują się podobnie jak w poprzednim przypadku, ale cykl długości rozbija się na cykle długości Mamy zatem punktów stałych.
• Obrót o lub o względem osi przechodzącej przez parę przeciwległych wierzchołków. Mamy takich izometrii. Każda z nich tworzy dwa cykle długości przy obu wierzchołkach, tworząc punktów stałych.
• Obrót o względem osi przechodzącej przez środki przeciwległych krawędzi. Jest takich izometrii. W każdej z nich pary ścian połączone krawędziami, przez które przechodzi oś, oraz pozostałe ściany, przechodzą na siebie nawzajem. Mamy trzy cykle długości więc jest punktów stałych.

Zauważmy, że rozpatrzyliśmy już wszystkie izometrie. Po podstawieniu otrzymanych danych do wzoru otrzymujemy wzór na liczbę nieizometrycznych kolorowań ścian sześcianu kolorami:

Po przeczytaniu tego artykułu warto spróbować własnych sił i ustalić, na ile sposobów Kalina mogłaby pokolorować czworościan, a na ile ośmiościan foremny za pomocą kolorów.