Przyporządkujmy polom szachownicy w naturalny sposób pary liczb całkowitych gdzie Pomalujmy pola o obu współrzędnych parzystych na niebiesko, pola o obu współrzędnych nieparzystych - na czerwono, a pozostałe pola - na żółto.

Przypuśćmy, że pionki mogą poruszać się dowolnie długo w taki sposób, by żadne dwa nie spotkały się na jednym polu. W takim razie w każdej chwili na 16 niebieskich polach może znajdować się co najwyżej 16 pionków. Każdy pionek z czerwonego pola znajdzie się po dwóch ruchach na niebieskim polu, więc na czerwonych polach może przebywać w każdej chwili również co najwyżej 16 pionków. Ponadto każdy pionek z żółtego pola po jednym ruchu znajdzie się na polu niebieskim lub czerwonym. W takim razie na żółtych polach mogą przebywać naraz co najwyżej 32 pionki. Stąd na szachownicy mogą być łącznie najwyżej 64 pionki.

Jeśli pionków jest 65, to po pewnym czasie dwa z nich muszą znaleźć się na jednym polu.