Spośród wszystkich par wyróżnionych punktów o tym samym numerze wybierzmy taką, że między nimi jest jak najmniej innych wyróżnionych punktów (na pewnym z dwóch łuków). Bez straty ogólności przyjmijmy, że wybrana para ma numery 1 (cykliczne przenumerowanie jednocześnie w obrębie punktów obydwu kolorów nie ma wpływu na tezę

Zauważmy, że wszystkie wyróżnione punkty pomiędzy tymi o numerze 1 są tego samego koloru - w przeciwnym przypadku wśród nich byłyby punkty o tym samym numerze. Przypuśćmy, że są to punkty białe; rozumowanie w przypadku punktów czarnych jest analogiczne. W zależności od położenia punktów o numerze 1 możemy wyróżnić dwa przypadki.

Pomiędzy punktami o numerze 1 znajdują się punkty białe o numerach od 2 do Wówczas wybierając jeden punkt podziału okręgu na łuki pomiędzy białymi punktami o numerach i a drugi - w taki sposób, aby na obydwu uzyskanych łukach było po wyróżnionych punktów, uzyskujemy rozcięcie o postulowanej własności.

Pomiędzy punktami o numerze znajdują się punkty białe o numerach od do Wówczas wybierając jeden punkt podziału okręgu na łuki pomiędzy białymi punktami o numerach i (a drugi odpowiednio jak wyżej), uzyskujemy rozcięcie spełniające warunki zadania.