Każde pole tablicy o wymiarach należy pomalować na czarno albo na biało. Na ile sposobów można uczynić to tak, aby każdy kwadrat zawierał parzystą liczbę czarnych pól?
Rozwiązanie
Odpowiedź: Na sposobów.
Wyróżnijmy 15 pól tablicy, które tworzą skrajny dolny wiersz i skrajną lewą kolumnę. Zauważmy, że dowolne kolorowanie tych pól dwoma kolorami jednoznacznie określa pokolorowanie całej tablicy zgodnie z warunkami zadania - kolory pozostałych pól określamy w kolejności zadanej przez numery na rysunku.
Z drugiej strony każdy sposób pomalowania wszystkich pól tablicy jednoznacznie zadaje kolory pól wyróżnionych. To oznacza, że kolorowania tablicy o zadanych własnościach są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z dowolnymi pokolorowaniami wyróżnionych pól, a takich pokolorowań jest
Uwaga
Podany przykład zbioru 15 pól jednoznacznie kodującego kolorowanie całej tablicy nie jest jedyny - można zadać pytanie, jak wyglądają zestawy 15 pól o takiej własności i ile ich jest. Czytelnika Lubiącego Utożsamiać Tablice z Grafami Dwudzielnymi (a zbiory pól tablicy z odpowiednimi podgrafami) zachęcamy do udowodnienia, że omawiane zbiory pól to drzewa rozpinające takich grafów i jest ich dokładnie