Delta mi!

Zostań na chwilę demonem zła. Chcesz zainfekować szachownicę o polach , które będziemy nazywać komórkami. W każdym kolejnym kroku zdrowa komórka zostaje zainfekowana, gdy graniczy co najmniej dwoma bokami z zainfekowanymi sąsiadami. Ten proces nazywamy 2-infekcją. Zainfekowana komórka pozostaje chora na zawsze.

W mieście Parzystkowo zacny burmistrz postanowił w nietypowy sposób zaktywizować społeczeństwo. Zarządził utworzenie stowarzyszeń, które wykonywać będą powierzone im zadania...

W pewnym zakładzie karnym przebywa stu skazanych, ponumerowanych liczbami od 1 do 100: Strażnik zaproponował im następującą grę: sto kartek z ich numerami umieszcza w stu skrytkach, po jednej kartce w każdej skrytce. Sposób rozmieszczenia kartek nie jest znany więźniom. Następnie strażnik pozwala każdemu z więźniów sprawdzić dokładnie połowę skrytek. Sprawdzający wchodzi do pokoju ze skrytkami sam, a po swojej turze musi zostawić pokój w stanie nienaruszonym i jedynie poinformować nadzorcę, czy odnalazł swój numer, czy też nie. Nie komunikuje się później z pozostałymi więźniami. Osadzeni wygrywają wyjście na wolność wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z nich zdoła odnaleźć swój numer. Jaka jest szansa na to, że im się to uda?

Poprzez triangulację będziemy rozumieć podział figury na trójkąty (Rys. 1). W dalszej części artykułu będziemy zajmować się kolorowaniem wierzchołków triangulacji pewnego trójkąta...

Trójkąt Pascala zna praktycznie każdy. Widoczny poniżej z lewej strony trójkąt ma tę własność, że każda liczba jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio nad nią (z wyłączeniem wierzchołka trójkąta oraz jego prawego i lewego boku, gdzie znajdują się jedynki). Z kolei w trójkącie po prawej stronie każda liczba jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio pod nią. Na jego prawym oraz lewym boku znajdują się odwrotności kolejnych liczb naturalnych - liczby harmoniczne. Taki obiekt nazywa się trójkątem harmonicznym. Konstrukcję obu trójkątów można oczywiście kontynuować w nieskończoność...

Dawno temu... w czasach bez Internetu, bez gier komputerowych i smartfonów dzieci bawiły się w chowanego. Na początku zabawy trzeba było oczywiście wyznaczyć osobę, która będzie szukać. Uczestnicy ustawiali się w koło i ktoś odliczał: Raz, dwa, trzy, wychodź ty, i wówczas szósta osoba (odliczanka ma 6 sylab) wychodziła z kółka. Procedurę tę powtarzano aż do momentu, gdy w kółku pozostała jedna osoba - to był pierwszy szukający. Istnieje wiele wierszyków-odliczanek. Moją ulubioną jest odliczanka 15-sylabowa: Mama daje jeść, tata daje pić, a ty sobie idź.

O paru zasadach pozwalających stwierdzić, który z dwóch zbiorów ma więcej elementów, ale bez liczenia elementów tych zbiorów.

W autorskim tygodniku internetowym Trapez Jarosław Wróblewski proponuje serię zadań (nr 75-126) o parkietowaniu prostokątów. Na przykład: czy planszę da się szczelnie pokryć klockami o wymiarach oraz (oczywiście klocki nie mogą na siebie zachodzić).

...medal - dwie strony, czego nie ma tu, musi być tam, a co weszło, musi wyjść.

W tym artykule chcemy zaprezentować pewną technikę dowodową zwaną interpretacją kombinatoryczną. Metoda ta pokazana będzie w działaniu: podajemy dwa zadania wraz z rozwiązaniami, które są ilustracją tematu.

Turniej to zestaw rozgrywek pomiędzy pewną liczbą graczy, w którym każdy gra dokładnie jeden mecz z każdym z pozostałych i nie ma remisów. Jeśli zawodnik wygrał wszystkie swoje mecze, nazwiemy go zwycięzcą.

Ten artykuł będzie poświęcony zliczaniu różnych kolorowań obiektów, które podlegają symetrii. Wyobraźmy sobie, że Kalina chciałaby pokolorować rogi kwadratu za pomocą kolorów. Ile różnych figur może w ten sposób otrzymać?

Najogólniej mówiąc, kombinatoryka ekstremalna zajmuje się pytaniami o to, jaki jest rozmiar największego (lub najmniejszego) możliwego zbioru obiektów danego typu, spełniającego pewien zadany warunek i jak takie ekstremalne przypadki wyglądają.

Symbol Newtona dla liczb całkowitych oznacza liczbę sposobów wybrania zbioru elementów spośród W szczególności

Niedługo po ukazaniu się mojego artykułu Kolorowe czapeczki do redakcji przyszedł list od wieloletniego Czytelnika Delty, Jana Błaszczyńskiego, z propozycją rozwiązania postawionego tam problemu. Proste rozwiązanie Jana Błaszczyńskiego, w przeciwieństwie do przedstawionego w moim artykule, jest deterministyczne i na dodatek pozwala rozstrzygnąć problem dla dowolnej liczby kolorów czapeczek i dowolnej liczby krasnoludków.

W wielu zadaniach występują różnokolorowe punkty płaszczyzny, a w ich rozwiązaniach przydatne bywają rozmaite rozumowania kombinatoryczne.

Niektórzy znajdują co rano na progu swojego domu butelkę ze świeżym mlekiem. Kubuś Puchatek każdego ranka znajduje tam garnczków miodu. Garnczki są różnej wielkości i Kubuś każdego dnia stara się opróżniać je w innej kolejności...

W tym artykule zastanawiamy się nad pytaniem kiedy szachownicę można pokryć prostokątami ? Naturalna próba odpowiedzi to: szachownicę można pokryć, gdy dzieli długość któregoś z boków, czyli gdy lub Jasne jest, że w tym przypadku faktycznie można pokryć szachownicę. Ale czy są inne przypadki, w których istnieje pokrycie?

Kombinatoryka zajmuje się własnościami zbiorów skończonych, w szczególności zagadnieniem zliczania elementów takich zbiorów. Czy może zatem w kombinatoryce znaleźć się miejsce dla nieskończoności? Okazuje się, że tak – pokażę jedno z takich zastosowań nieskończoności: funkcje tworzące...

Rozważmy szachownicę  Policzmy dwoma niezależnymi sposobami, ile jest na niej prostokątów o bokach wzdłuż linii podziału na kratki.

W Polsce i w wielu krajach wybory do parlamentu są proporcjonalne. Oznacza to, że liczba mandatów przypadających na jeden głos powinna być taka sama dla każdej partii. Gdy w państwie XY oddano 15 głosów na partię A, 7 na partię B i 1 na partię C i do obsadzenia były 23 mandaty – ich przydział jest niezwykle prosty. Gdyby jednak do podziału było 15 mandatów, powstaje problem: partia A powinna dostać  mandatu, partia B uzyskać  mandatu, partia C otrzymać  mandatu.

Królewna Śnieżka wezwała siedmiu krasnoludków i oświadczyła, że w związku z wielkim świętem w najbliższą niedzielę postanowiła nagrodzić ich pracowitość...

W artykule „Gra w 20 pytań” omówiliśmy sposób gry z graczem, który nie kłamie. A jak postępować z graczem, który kłamie? Czy jesteśmy zupełnie bezradni?