Zacznę od następującego zadania:

Rys. 1

Oznaczmy przez liczbę dróg żaby na -ty kamień. Oczywiście,  Na kamień z numerem 1 żaba może bowiem dostać się tylko w jeden sposób – ma wykonać jeden pojedynczy skok (Rys. 1).

Rys. 2

Następnie  Na kamień z numerem 2 żaba może dostać się dwoma sposobami – wykonać dwa skoki pojedyncze lub jeden podwójny (Rys. 2).

Zobaczmy teraz, na ile sposobów żaba może się dostać na kamień o numerze  Ma ona różnych dróg na kamień o numerze i  dróg na kamień o numerze  Ponieważ ostatni skok żaby jest skokiem podwójnym z kamienia o numerze lub pojedynczym z kamienia o numerze  więc łącznie istnieje dróg żaby na kamień  A więc  Zatem na trzeci kamień żaba może dostać się na sposoby, na czwarty na sposobów i tak dalej. Zauważmy, że jeśli przyjmiemy (co jest całkiem naturalne: istnieje jeden sposób dostania się na kamień o numerze 0, mianowicie nie robić nic), to okaże się, że  Zatem ciąg jest określony wzorami

Ten ciąg jest dobrze znany w matematyce: jest to tzw. ciąg Fibonacciego. Powyższy wzór definiujący ten ciąg jest wzorem rekurencyjnym: kolejny wyraz ciągu nie jest zdefiniowany wzorem uzależniającym ten wyraz od indeksu  ale w zależności od wyrazów poprzednich. Powstaje pytanie, czy możemy znaleźć wzór ogólny, zależny tylko od  Jedna z metod otrzymywania wzorów ogólnych korzysta z tzw. funkcji tworzących.

Definiujemy funkcję tworzącą dla ciągu Fibonacciego wzorem

Mamy teraz

Otrzymaliśmy równanie

z którego dostajemy wzór na :

Teraz otrzymaną funkcję tworzącą rozwijamy w szereg potęgowy. W tym celu rozkładamy ułamek

na tzw. ułamki proste. Szczegóły obliczeń pominę tutaj; Czytelnik może się natomiast łatwo przekonać (dodając ułamki), że

gdzie

Korzystamy teraz ze znanego wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego. Mianowicie dla dowolnej liczby i takiej liczby  że  mamy

Stąd dostajemy rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy

Porównując współczynniki przy kolejnych potęgach  dostajemy następujący wzór ogólny:

Ten wzór jest nazywany wzorem Bineta.

Zauważmy, że w tej metodzie otrzymywania wzoru ogólnego konieczne było rozwijanie funkcji w nieskończony szereg potęgowy. Tak więc nieskończoność została użyta nie tylko w znaczeniu potencjalnym (wzór obowiązuje dla każdej, dowolnie dużej, ale skończonej liczby ), ale w znaczeniu aktualnym: mamy do czynienia z rzeczywiście nieskończonym szeregiem potęgowym.