Deltoid

Ciąg Fibonacciego

Delta, maj 2012

o artykule ...

Publikacja w Delcie: maj 2012
Publikacja elektroniczna: 28-04-2012
Wersja do druku [application/pdf]: (90 KB)

Ciąg Fibonacciego definiujemy następująco:

display-math

Każdy wyraz ciągu, począwszy od trzeciego, jest sumą dwóch poprzednich, kolejno otrzymujemy więc: $\text{[math]}$ Spośród mnóstwa interesujących faktów związanych z tym ciągiem uzasadnimy kilka, które można udowodnić, odpowiednio ustawiając pewne figury.

Narzędzia
Obiekty: Ciągi liczbowe , Liczby naturalne
Słowa kluczowe
Kategoria: Kombinatoryka

Ciąg Fibonacciego»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Ciąg Fibonacciego
Publikacja w Delcie: maj 2012
Publikacja elektroniczna: 28-04-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Wykaż, że dla każdego naturalnego $\text{[math]}$ zachodzą następujące równości:

(a): $\text{[math]}$
(b): $\text{[math]}$
(c): $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Liczby wewnątrz kwadratów oznaczają długości ich boków.

Pewną liczbę kwadratów o bokach równych początkowym wyrazom ciągu Fibonacciego ustawmy jak na rysunku , po kolei dobudowując kwadraty na przemian po prawej stronie i na dole. Na każdym etapie tej konstrukcji powstaje prostokąt, bo $\text{[math]}$ – następny kwadrat „pasuje” do dwóch poprzednich.

(a): Jeśli ostatni kwadrat dobudowano na dole i ma on bok długości $\text{[math]}$ to cały prostokąt ma taką właśnie szerokość, a wysokość równą następnemu wyrazowi ciągu, czyli $\text{[math]}$ Jednocześnie wysokość ta jest równa $\text{[math]}$
(b): Analogicznie, jeśli ostatni kwadrat ustawiono po prawej i ma bok długości $\text{[math]}$ to prostokąt ma szerokość równą $\text{[math]}$ i zarazem równą $\text{[math]}$
(c): Jeśli jako ostatni ustawiono kwadrat o boku długości $\text{[math]}$ to prostokąt ma taką właśnie szerokość lub wysokość, a drugi z wymiarów równy $\text{[math]}$ więc ma pole $\text{[math]}$ Jednocześnie pole to jest równe $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Kombinatoryka

Ciąg Fibonacciego»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Ciąg Fibonacciego
Publikacja w Delcie: maj 2012
Publikacja elektroniczna: 28-04-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Podziel płaszczyznę na kwadraty, z których każde dwa są różnej wielkości.

Rozwiązanie

Uwaga: Oznaczenia pochodzą z artykułu źródłowego.

Zmodyfikujmy rysunek z poprzedniego zadania, ustawiając kwadraty o bokach równych $\text{[math]}$ kolejno po prawej, na dole, po lewej, na górze, znów po prawej itd., jak na rysunku . Żądany podział płaszczyzny uzyskamy, dzieląc jeden z dwóch kwadratów o boku długości 1 tak, jak w zadaniu 3.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Kombinatoryka

Ciąg Fibonacciego»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Ciąg Fibonacciego
Publikacja w Delcie: maj 2012
Publikacja elektroniczna: 28-04-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Podziel kwadrat na mniejsze kwadraty, z których każde dwa są różnej wielkości.

Wskazówka

Podziały na 24 kwadraty i na 21 (na mniej się nie da) pokazano np. na stronie http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Kombinatoryka

Ciąg Fibonacciego»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Ciąg Fibonacciego
Publikacja w Delcie: maj 2012
Publikacja elektroniczna: 28-04-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Na ile różnych sposobów można ułożyć chodnik o długości $\text{[math]}$ i szerokości 1, mając do dyspozycji duży zapas płyt o rozmiarach $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ ?

Rozwiązanie

Możliwe początki chodnika długości n.

Oznaczmy tę liczbę sposobów przez $\text{[math]}$ Dla $\text{[math]}$ na początku chodnika możemy położyć płytę $\text{[math]}$ a następnie na $\text{[math]}$ sposobów ułożyć resztę (chodnik o długości $\text{[math]}$ ); możemy też zacząć od płyty $\text{[math]}$ i wtedy na $\text{[math]}$ sposobów ułożyć resztę. Stąd $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ Otrzymany wzór jest taki sam, jak dla ciągu Fibonacciego. Nietrudno sprawdzić, że $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ uzyskujemy więc wniosek, że $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Ciągi liczbowe , Liczby naturalne
Słowa kluczowe
Kategoria: Kombinatoryka

Ciąg Fibonacciego»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Ciąg Fibonacciego
Publikacja w Delcie: maj 2012
Publikacja elektroniczna: 28-04-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Wykaż, że

display-math

dla dowolnych liczb naturalnych $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Cięcie chodnika długości n + k - 1 na części o długościach n oraz k - 1.

Ile spośród chodników o długości $\text{[math]}$ takich jak opisano w poprzednim zadaniu, można rozciąć na chodnik o długości $\text{[math]}$ (od lewej strony) oraz chodnik o długości $\text{[math]}$ (po prawej stronie) bez rozcinania poszczególnych płyt (Rys. (a))? Takich chodników jest tyle, na ile sposobów można ułożyć po lewej stronie chodnik długości $\text{[math]}$ a po prawej chodnik długości $\text{[math]}$ Z poprzedniego zadania wiemy, że możliwości tych jest po lewej $\text{[math]}$ po prawej $\text{[math]}$ więc łącznie $\text{[math]}$ Cięcie chodnika wymaga rozcinania płyty, gdy w miejscu podziału leży płyta $\text{[math]}$ (Rys. (b)).

Takich chodników jest $\text{[math]}$ : układamy od lewej kolejno chodnik długości $\text{[math]}$ następnie płytę $\text{[math]}$ a po prawej chodnik długości $\text{[math]}$ Wszystkich chodników, jak wiemy z poprzedniego zadania, jest $\text{[math]}$ i każdy z nich da się rozciąć w opisany sposób lub nie, stąd $\text{[math]}$

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności