Przeskocz do treści

Delta mi!

Matematyka
Fizyka
Astronomia
Informatyka
Różności
Delta

Temat » Matematyka

Tweet

Zadania z myszką – matematyka

Zadania z matematyki - X 2020

Łukasz Rajkowski

Delta, październik 2020

o artykule ...

Publikacja w Delcie: październik 2020
Publikacja elektroniczna: 30 września 2020

Jak co miesiąc, trzy ciekawe zadania z matematyki...

Narzędzia
Obiekty: Losowość
Słowa kluczowe
Kategoria: Rachunek prawdopodobieństwa

Zadania z matematyki - X 2020»Zadanie 1651

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - X 2020
Publikacja w Delcie: październik 2020
Publikacja elektroniczna: 30 września 2020

Zaprojektować dwie różne sześcienne kości do gry, dające te same prawdopodobieństwa wyrzucenia poszczególnych sum oczek co dwie kości standardowe. Na każdej ścianie nowej pary kości ma znaleźć się dodatnia liczba oczek.

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeśli na ścianach pierwszej kości mam $|ai$ oczek, a na ścianach drugiej kości mam $bi$ oczek $(i = 1,2,...,6)$ , to prawdopodobieństwo uzyskania sumy oczek równej $s$ jest równe współczynnikowi przy $s |x$ w wielomianie

1--6 ai 6 bi 36 Qi 1 x Qi 1 x .

Mamy

$pict$

W tej sytuacji kości, na których ściankach znajdują się następujące sekwencje oczek: $|(1,2,2,3,3,4)$ oraz $(1,3,4,5,6,8),$ spełniają warunki zadania.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadania z matematyki - X 2020»Zadanie 1652

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - X 2020
Publikacja w Delcie: październik 2020
Publikacja elektroniczna: 30 września 2020

$obrazek$

Okrąg $ω$ leży wewnątrz okręgu $o$ i współdzieli z nim środek. W kole ograniczonym przez $|ω$ znajduje się punkt $|P.$ Znaleźć taki punkt $R$ na okręgu $|o,$ by długość odcinka $QR,$ gdzie $Q |$ jest punktem przecięcia okręgu $|ω$ z odcinkiem $|PR,$ była jak największa.

Rozwiązanie

$obrazek$

Niech $|O$ będzie środkiem okręgów $ω$ i $o. |$ Zauważmy, że długość odcinka $QR$ jest malejącą funkcją kąta $?OQR, |$ czyli rosnącą funkcją kąta $|?OQP$ więc również rosnącą funkcją odległości punktu $O$ od prostej $|PR.$ Ta odległość jest nie większa od długości odcinka $|OP$ i jest równa $|OP$ tylko wtedy, gdy $?OPR |$ Ta ostatnia równość definiuje nam poszukiwany punkt $R.$

Narzędzia
Obiekty: Wielomiany
Słowa kluczowe
Kategoria: Algebra

Zadania z matematyki - X 2020»Zadanie 1653

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - X 2020
Publikacja w Delcie: październik 2020
Publikacja elektroniczna: 30 września 2020

Jaś wymyślił pewien wielomian $P$ o nieujemnych współczynnikach całkowitych. Małgosia może pytać Jasia o wartość $|P(a)$ dla wybranego przez nią całkowitego argumentu $a.$ Ile pytań potrzebuje Małgosia, aby wyznaczyć wielomian $P ?$

Rozwiązanie

Jedno pytanie to za mało, gdyż dla dowolnego $|a$ wielomiany $|P1(x) = x −a$ i $|P2(x) = a − x$ dadzą tę samą odpowiedź. Okazuje się, że dwa pytania są już wystarczające! Na początku Małgosia może zapytać o wartość $|s = P(1).$ Jest to suma wszystkich współczynników wielomianu $P,$ zatem jest nie mniejsza od każdego ze współczynników. Teraz wystarczy poprosić o $|c = P(s + 1)$ ; reprezentacja tej liczby w systemie o podstawie $|s+ 1$ da Małgosi szukane współczynniki wielomianu $P .$

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności

tematy

Matematyka
Algebra
Analiza
Teoria miary
Układy dynamiczne
Geometria
Geometria różniczkowa
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
Rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka
Teoria grafów
Teoria liczb
Teoria Mnogości
Teoria węzłów
Topologia
Zastosowania matematyki

artykuły

Algorytmy
- Podróże w $d N$
Matematyka
Algebra
Analiza
Układy dynamiczne
- Nagrody Abela w roku 2020
Geometria
- Kochajcie trygonometrię, dziewczęta
Geometria różniczkowa
- O trójkątach (nie tylko) na sferze
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
- Czego jeszcze nie wiedzieliśmy o bryłach platońskich?
- Wierzchołki, krawędzie, ściany i dalej
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
- Czułość funkcji logicznych (II)
- Czułość funkcji logicznych (I)
Rachunek prawdopodobieństwa
- Nigdy Cię nie zobaczę?
- Paradoks jednomyślności
Statystyka
- O dowodzeniu racji
Teoria liczb
Teoria Mnogości
- Nieskończoność nieskończoności
Topologia
- Elementarnie o twierdzeniu Brouwera
- Zabawa zapałkami
Zastosowania matematyki

zadania

Matematyka
Liczby rzeczywiste, Rachunki
ZM-1648
ZM-1649
ZM-1650
Liczby rzeczywiste, Równania
ZM-K44-808
Liczby rzeczywiste
ZM-K44-803
Algebra
Liczby naturalne, Wielomiany
ZM-1647
Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki
ZM-20.07-KPO-1
ZM-20.07-KPO-2
ZM-20.07-KPO-3
ZM-20.07-KPO-4
ZM-20.07-KPO-5
ZM-20.07-KPO-6
ZM-20.07-KPO-7
Liczby rzeczywiste, Wielomiany
ZM-1638
Analiza
Ciągi liczbowe, Funkcje, Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-806
Funkcje, Liczby rzeczywiste, Nierówności
ZM-1639
Funkcje, Liczby rzeczywiste
ZM-K44-807
Funkcje
ZM-K44-811
ZM-20.09-GR-2
Planimetria
Konstrukcje
ZM-20.11-TK-1
Okręgi, Wielokąty
ZM-20.09-KPO-4
ZM-20.09-KPO-6
ZM-K44-805
ZM-20.06-KPO-4
Okręgi
ZM-K44-809
ZM-20.08-KPO-1
Wielokąty, Konstrukcje
ZM-20.09-KPO-5
Wielokąty, Przekształcenia
ZM-20.10-KPO-3
ZM-20.10-KPO-6
Wielokąty
ZM-20.10-KPO-1
ZM-20.10-KPO-2
ZM-20.10-KPO-4
ZM-20.10-KPO-5
ZM-20.09-KPO-1
ZM-20.09-KPO-2
ZM-20.09-KPO-3
ZM-20.08-KPO-2
ZM-20.08-KPO-6
ZM-20.08-KPO-7
ZM-20.08-ME-1
ZM-20.08-ME-3
ZM-20.06-KPO-1
ZM-20.06-KPO-2
ZM-20.06-KPO-3
ZM-20.06-KPO-5
ZM-20.06-KPO-6
ZM-20.06-KPO-7
ZM-20.06-KPO-8
Inne
ZM-20.09-GR-3
ZM-20.09-GR-4
ZM-1646
ZM-1644
Stereometria
Wielościany, Wielokąty
ZM-20.08-ME-2
Kombinatoryka
Liczby pierwsze, Zbiory
ZM-K44-804
Zbiory
ZM-20.08-KPO-4
ZM-1640
ZM-20.05-DD-1
Inne
ZM-1657
ZM-1658
ZM-1659
ZM-20.11-IN-1
ZM-20.08-KPO-3
ZM-20.08-KPO-5
ZM-1642
ZM-1643
ZM-1637
Rachunek prawdopodobieństwa
Losowość
ZM-1654
Teoria liczb
Ciągi liczbowe, Liczby
ZM-1655
ZM-1656
Liczby naturalne, Podzielność, Równania
ZM-1636
Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-812
Liczby naturalne, Równania
ZM-1645
Liczby naturalne
ZM-K44-810
ZM-20.08-PK-1
ZM-20.06-FB-2
ZM-20.06-FB-3
ZM-20.06-FB-4
Liczby pierwsze, Podzielność
ZM-20.12-KPO-1
ZM-20.12-KPO-2
ZM-20.12-KPO-3
ZM-20.12-KPO-4
ZM-20.12-KPO-5
ZM-20.12-KPO-6
ZM-20.12-KPO-7
ZM-20.12-KPO-8
ZM-20.12-KPO-9
ZM-20.11-KPO-1
ZM-20.11-KPO-2
ZM-20.11-KPO-3
ZM-20.11-KPO-4
ZM-20.11-KPO-5
ZM-20.11-KPO-6
ZM-1641
Liczby pierwsze
ZM-20.05-DD-2
Liczby wymierne
ZM-20.06-FB-1
Inne
ZM-20.08-KPO-8
Teoria Mnogości
Funkcje, Zbiory
ZM-20.09-GR-1

projekt graficzny: emilka bojańczyk

Delta:
archiwum
redakcja
autorzy
rubryki
prenumerata
zgłoś błąd/uwagę/opinię
DeltaMi RSS