Delta mi!

Niech spełnia warunki zadania. Zauważmy, że możemy wybrać takie, że wielomian ma współczynniki całkowite oraz współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 1. Niech i niech będzie liczbą pierwszą. Jeśli jest dostatecznie duże, to równanie ma dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie, które zgodnie z założeniem o wielomianie jest wymierne. Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych dostajemy, że rozwiązaniem tym może być tylko lub zatem dla dostatecznie dużych musi to być Wynika stąd, że dla dostatecznie dużych liczb pierwszych zatem co oznacza, że jest stopnia 1.

Zauważmy, że dla dowolnych różnych liczb całkowitych ma miejsce podzielność

Istotnie, oznaczając mamy

a każda z liczb jest podzielna przez (w razie potrzeby przyjmujemy ).

Korzystając z przywołanego spostrzeżenia, możemy zapisać

co w połączeniu z założeniami zadania prowadzi do wniosku, że jest liczbą podzielną zarówno przez jak i przez Pozostaje skorzystać z założenia, że liczby i są względnie pierwsze.

Przyjmijmy oznaczenie

i rozważmy wielomian Skoro

oraz liczby są różne, to są one różnymi pierwiastkami wielomianu Stąd na mocy wzorów Viéte'a uzyskujemy

Łatwo sprawdzić, że liczby spełniające założenia zadania rzeczywiście istnieją, np.

więc znaleziona wartość 0 istotnie jest osiągalna.

Odpowiedź: -23.
Zauważmy, że dla każdego

W szczególności dla oraz :

Wymnażając stronami powyższe dwie równości, uzyskujemy po lewej stronie żądany iloczyn, a po prawej liczbę

Wykażemy, że równanie nie ma rozwiązań, w których oraz Z tożsamości

wynika spostrzeżenie:

(1)

Stąd wniosek, że rozważane równanie nie może być spełnione, gdy jest liczbą parzystą.

Gdy jest liczbą nieparzystą postaci ( bo rozważamy ), zapisujemy lewą stronę równania jako iloczyn Prawa strona równania, równa musiałaby się dzielić przez co nie jest możliwe, znów w myśl uwagi (1).

Gdy natomiast mnożymy równanie stronami przez otrzymując

(2)

Lewa strona dzieli się przez więc i przez Liczba nie może być parzysta, bo wówczas liczba byłaby względnie pierwsza z oboma czynnikami prawej strony (2). Niech więc Skoro lewa (więc i prawa) strona (2) dzieli się przez możemy napisać Po podstawieniu wychodzi

(3)

- sprzeczność, bo liczba w nawiasie po prawej stronie (3) jest względnie pierwsza z każdym z czynników lewej strony (3).

Pozostają sytuacje trywialne, gdy lub równa się 1. Jeśli to zaś może być dowolne. A gdy równanie mówi jedynie, że Tak więc wszystkimi rozwiązaniami równania są trójki postaci lub

Tak, istnieją. Rozważmy liczbę

Jeśli jest ona wymierna, to żądana własność zachodzi dla liczb W przeciwnym przypadku warunki zadania spełniają liczby niewymierne
wtedy bowiem

Podstawiając oraz do tożsamości

uzyskujemy

czyli

Wobec tego wystarczy przyjąć

Niech Przypuśćmy, że dla ustalonej liczby istnieją dwa różne wielomiany stopnia spełniające podane równanie. Oznaczmy ich współczynniki wiodące przez (więc ); Przyrównując współczynniki wiodące po obu stronach równania widzimy, że (dla ). Zatem Stąd wynika, że różnica jest niezerowym wielomianem stopnia

Odejmujemy stronami równania (dla ) i przekształcamy uzyskaną równość:

Iloczyn po prawej stronie jest wielomianem stopnia wielomian po lewej stronie ma stopień To już sprzeczność, skoro ; dwa różne wielomiany stopnia o podanej własności istnieć nie mogą.

Wykażemy, że takie liczby nie istnieją. Przypuśćmy nie wprost, że trójka ma opisaną własność. Wówczas trójka również ją ma, więc możemy bez straty ogólności założyć, że jest liczbą parzystą.

Jeżeli są całkowitymi pierwiastkami trójmianu to liczby oraz są całkowite, co wobec parzystości oznacza, że liczby oraz również są parzyste.

Tymczasem jeżeli dla całkowitych to wyróżnik trójmianu równy

daje resztę przy dzieleniu przez co oznacza, że nie może być kwadratem liczby całkowitej. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.