Przeskocz do treści

Delta mi!

Matematyka
Fizyka
Astronomia
Informatyka
Różności
Delta

Temat » Matematyka

Tweet

Zadania z myszką – matematyka

Zadania z matematyki - IX 2020

Delta, wrzesień 2020

o artykule ...

Publikacja w Delcie: wrzesień 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Jak co miesiąc, trzy ciekawe zadania z matematyki...

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste, Rachunki
Słowa kluczowe
Kategoria: Matematyka

Zadania z matematyki - IX 2020»Zadanie 1648

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - IX 2020
Publikacja w Delcie: wrzesień 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Na tablicy zapisanych jest 5 (niekoniecznie różnych) liczb rzeczywistych. Dla każdej pary liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano ich sumę. Karteczki pomieszano, a tablicę starto. Czy na podstawie liczb z karteczek można odtworzyć liczby z tablicy?

Rozwiązanie

Odpowiedź: Tak.
Przypuśćmy, że na tablicy zapisano liczby $a ⩽ b ⩽ c⩽ d ⩽e.$ Wówczas najmniejsza z liczb zapisanych na karteczkach to $|a+ b,$ druga najmniejsza (być może równa) - $|a+ c$ ; największa to $d + e,$ a druga największa - $|c+ e.$ Ponadto sumując liczby ze wszystkich karteczek, uzyskujemy $|4(a+ b + c+ d +e),$ a zatem znamy również wartość $a + b+ c +d + e.$ Ta wiedza wystarcza kolejno do znalezienia wartości

$pict$

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste, Rachunki
Słowa kluczowe
Kategoria: Matematyka

Zadania z matematyki - IX 2020»Zadanie 1649

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - IX 2020
Publikacja w Delcie: wrzesień 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Na tablicy zapisanych jest 5 różnych liczb rzeczywistych. Dla każdej pary $|x,y$ liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano liczbę $| x − y .$ Czy może się zdarzyć, że na karteczkach zapisano liczby całkowite od 1 do 10?

Rozwiązanie

Odpowiedź: Nie.
Z kolejnego zadania wynika, że karteczki można podzielić na dwa stosy o równych sumach zapisanych liczb. Wobec tego gdyby na karteczkach znajdowały się liczby od 1 do 10, to istniałby podział na stosy, każdy o sumie

1+-2+-...+-10= 27,5; 2

nie jest to możliwe, gdyż liczby na wszystkich karteczkach są całkowite.

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste, Rachunki
Słowa kluczowe
Kategoria: Matematyka

Zadania z matematyki - IX 2020»Zadanie 1650

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - IX 2020
Publikacja w Delcie: wrzesień 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Na tablicy zapisanych jest $|n⩾ 3$ różnych liczb rzeczywistych, przy czym $n$ jest liczbą nieparzystą. Dla każdej pary $|x,y$ liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano liczbę $| x − y .$ Wykazać, że wszystkie karteczki można podzielić na dwa stosy o równych sumach zapisanych liczb.

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód indukcyjny. Dla $n = 3$ niech $x < y < z$ będą elementami zbioru $X.$ Wówczas na jednym stosie kładziemy karteczkę z liczbą $z − x,$ a na drugim - karteczki z liczbami $z −y$ oraz $|y− x.$

Przypuśćmy, że żądaną własność mają wszystkie liczby nieparzyste nie większe od $|2k− 1,$ i rozważmy dowolny zbiór $2k + 1$ liczb $|x1 < ... < x2k+1$ oraz związane z nimi karteczki. Z założenia indukcyjnego wszystkie karteczki pochodzące wyłącznie od liczb $x2,x3,...,x2k$ można podzielić na stosy o równych sumach. Pozostałe karteczki najpierw podzielmy na następujące $|2k$ grup: $2k −1$ grup po dwie karteczki, z liczbami $x2k+1−xi$ oraz $xi− x1$ dla $|i = 2,3...,2k,$ oraz jedna grupa składająca się z pozostałej karteczki z liczbą $x2k+1−x1.$ Zauważmy, że w każdej grupie suma liczb z karteczek jest równa $|x − x . 2k+1 1$ Wobec tego wystarczy karteczki z dowolnych $|k$ grup dołączyć do jednego stosu, a karteczki z pozostałych $k$ grup - do drugiego stosu. To kończy dowód indukcyjny.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności

tematy

Matematyka
Algebra
Analiza
Teoria miary
Układy dynamiczne
Geometria
Geometria różniczkowa
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
Rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka
Teoria grafów
Teoria liczb
Teoria Mnogości
Teoria węzłów
Topologia
Zastosowania matematyki

artykuły

Algorytmy
- Podróże w $d N$
Matematyka
Algebra
Analiza
Układy dynamiczne
- Nagrody Abela w roku 2020
Geometria
- Kochajcie trygonometrię, dziewczęta
Geometria różniczkowa
- O trójkątach (nie tylko) na sferze
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
- Czego jeszcze nie wiedzieliśmy o bryłach platońskich?
- Wierzchołki, krawędzie, ściany i dalej
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
- Czułość funkcji logicznych (II)
- Czułość funkcji logicznych (I)
Rachunek prawdopodobieństwa
- Nigdy Cię nie zobaczę?
- Paradoks jednomyślności
Statystyka
- O dowodzeniu racji
Teoria liczb
Teoria Mnogości
- Nieskończoność nieskończoności
Topologia
- Elementarnie o twierdzeniu Brouwera
- Zabawa zapałkami
Zastosowania matematyki

zadania

Matematyka
Liczby rzeczywiste, Równania
ZM-K44-808
Liczby rzeczywiste
ZM-K44-803
Algebra
Liczby naturalne, Wielomiany
ZM-1647
Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki
ZM-20.07-KPO-1
ZM-20.07-KPO-2
ZM-20.07-KPO-3
ZM-20.07-KPO-4
ZM-20.07-KPO-5
ZM-20.07-KPO-6
ZM-20.07-KPO-7
Liczby rzeczywiste, Wielomiany
ZM-1638
Wielomiany
ZM-1653
Analiza
Ciągi liczbowe, Funkcje, Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-806
Funkcje, Liczby rzeczywiste, Nierówności
ZM-1639
Funkcje, Liczby rzeczywiste
ZM-K44-807
Funkcje
ZM-K44-811
ZM-20.09-GR-2
Planimetria
Konstrukcje
ZM-20.11-TK-1
Okręgi, Wielokąty
ZM-20.09-KPO-4
ZM-20.09-KPO-6
ZM-K44-805
ZM-20.06-KPO-4
Okręgi
ZM-K44-809
ZM-1652
ZM-20.08-KPO-1
Wielokąty, Konstrukcje
ZM-20.09-KPO-5
Wielokąty, Przekształcenia
ZM-20.10-KPO-3
ZM-20.10-KPO-6
Wielokąty
ZM-20.10-KPO-1
ZM-20.10-KPO-2
ZM-20.10-KPO-4
ZM-20.10-KPO-5
ZM-20.09-KPO-1
ZM-20.09-KPO-2
ZM-20.09-KPO-3
ZM-20.08-KPO-2
ZM-20.08-KPO-6
ZM-20.08-KPO-7
ZM-20.08-ME-1
ZM-20.08-ME-3
ZM-20.06-KPO-1
ZM-20.06-KPO-2
ZM-20.06-KPO-3
ZM-20.06-KPO-5
ZM-20.06-KPO-6
ZM-20.06-KPO-7
ZM-20.06-KPO-8
Inne
ZM-20.09-GR-3
ZM-20.09-GR-4
ZM-1646
ZM-1644
Stereometria
Wielościany, Wielokąty
ZM-20.08-ME-2
Kombinatoryka
Liczby pierwsze, Zbiory
ZM-K44-804
Zbiory
ZM-20.08-KPO-4
ZM-1640
ZM-20.05-DD-1
Inne
ZM-1657
ZM-1658
ZM-1659
ZM-20.11-IN-1
ZM-20.08-KPO-3
ZM-20.08-KPO-5
ZM-1642
ZM-1643
ZM-1637
Rachunek prawdopodobieństwa
Losowość
ZM-1654
ZM-1651
Teoria liczb
Ciągi liczbowe, Liczby
ZM-1655
ZM-1656
Liczby naturalne, Podzielność, Równania
ZM-1636
Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-812
Liczby naturalne, Równania
ZM-1645
Liczby naturalne
ZM-K44-810
ZM-20.08-PK-1
ZM-20.06-FB-2
ZM-20.06-FB-3
ZM-20.06-FB-4
Liczby pierwsze, Podzielność
ZM-20.12-KPO-1
ZM-20.12-KPO-2
ZM-20.12-KPO-3
ZM-20.12-KPO-4
ZM-20.12-KPO-5
ZM-20.12-KPO-6
ZM-20.12-KPO-7
ZM-20.12-KPO-8
ZM-20.12-KPO-9
ZM-20.11-KPO-1
ZM-20.11-KPO-2
ZM-20.11-KPO-3
ZM-20.11-KPO-4
ZM-20.11-KPO-5
ZM-20.11-KPO-6
ZM-1641
Liczby pierwsze
ZM-20.05-DD-2
Liczby wymierne
ZM-20.06-FB-1
Inne
ZM-20.08-KPO-8
Teoria Mnogości
Funkcje, Zbiory
ZM-20.09-GR-1

projekt graficzny: emilka bojańczyk

Delta:
archiwum
redakcja
autorzy
rubryki
prenumerata
zgłoś błąd/uwagę/opinię
DeltaMi RSS