Niech 
będzie liczbą uczestników pewnego kółka, spełniającego opisane w zadaniu warunki. Udowodnimy, że 
Przydatny okaże się następujący lemat, którego dowód można znaleźć na przykład w Wikipedii pod hasłem twierdzenie Ramseya:
Twierdzenie (Ramsey). Wśród dowolnych 6 uczestników kółka można znaleźć trzech, którzy się wzajemnie lubią lub trzech, którzy się wzajemnie nie lubią.
Wybierzmy pewnego uczestnika 
Przypuśćmy, że lubi on pewnych 6 uczestników. Zgodnie z założeniem zadania oraz powyższym lematem wśród nich znajduje się 3, którzy wzajemnie się lubią, i razem z 
tworzą oni czwórkę, która przeczy założeniom zadania. Przypuśćmy teraz, że 
nie lubi pewnych 4 uczestników. Wśród nich znajduje się dwóch, którzy się nie lubią, i razem z 
tworzą oni trójkę sprzeczną z założeniami. Wynika stąd, że 
Gdyby jednak 
to każdy uczestnik musiałby lubić dokładnie 5 uczestników. Jest to sprzeczność, gdyż suma liczb sympatii poszczególnych uczestników wyniosłaby 45, a musi to być liczba parzysta ze względu na wzajemność uczuć. W tej sytuacji 
Jeśli ponumerujemy 8 uczniów liczbami od 1 do 8 i okaże się, że uczniowie o numerach 
i 
lubią się tylko wtedy, gdy 
to ta grupka będzie spełniać warunki zadania, co kończy rozwiązanie.