Rys. 1 Ograniczamy się tylko do przypadku, gdy oporniki połączone są w sposób szeregowo-równoległy, tzn. nie ma żadnych gwiazdek, trójkątów itp.

Rys. 2

Rys. 3

Rys. 4a – góra i Rys. 4b – dół.
 i  oznaczają opory zastępcze podukładów, a  i  oznaczają opory zastępcze podukładów, w których połączenia równoległe zastąpiono szeregowymi i odwrotnie.

Rozważmy układ oporników o jednakowym oporze  połączonych – na przykład – tak, jak na rysunku 1. .

Zmieniamy wszystkie połączenia równoległe na szeregowe, a szeregowe – na równoległe (Rys. 2).

Jak łatwo obliczyć, opór zastępczy wyjściowego układu jest równy  a zmienionego  Zauważmy, że iloczyn współczynników bezwymiarowych jest równy 1, czyli jeden z nich jest odwrotnością drugiego. Nie jest to przypadek. Wykażemy, że jeśli mamy układ  oporników o jednakowym oporze  i jego opór zastępczy jest równy  to – po zamianie wszystkich połączeń szeregowych na równoległe i odwrotnie – opór zastępczy nowego układu oporników jest równy

Zastosujemy zasadę indukcji matematycznej względem  Dla  twierdzenie jest trywialne. Dla  mamy dwie możliwości (Rys. 3).

Nasze twierdzenie jest wówczas prawdziwe, gdyż opór zastępczy połączenia szeregowego jest równy  równoległego zaś

Niech  będzie ustaloną liczbą naturalną. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od  Wykażemy, że jest ono prawdziwe dla układu  oporników. W tym celu rozbijemy go na dwa podukłady. Połączenia „końcowe” tych podukładów można przedstawić tak, jak na rysunkach 4a i 4b .

Z założenia indukcyjnego otrzymujemy

---

Opór zastępczy układu w przypadku a) jest równy

(1)

Obliczamy opór zastępczy  po zmianie. Mamy

skąd

(2)

Wobec tego, na podstawie równości (1) i (2) mamy tezę indukcyjną.

Rozważania w przypadku b) są podobne.