-
-
Kąty trójścienne»Zadanie 5
Dany jest czworościan
w którym
oraz
Udowodnij, że
-
Kąty trójścienne»Zadanie 6
Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny
o podstawie
w którym
oraz
-
Kąty trójścienne»Zadanie 7
Na rysunku zmodyfikujmy kształty trójkątów tak, aby odpowiednie pary odcinków, które mają się skleić, nadal były równe oraz by przy każdym wierzchołku docelowego czworościanu dowolne dwa kąty płaskie były w sumie większe od trzeciego. Czy te warunki wystarczają, by otrzymać siatkę pewnego czworościanu?
-
Kąty trójścienne»Zadanie 8
- (a)
- Wykaż, że istnieje czworościan o kwadratowej siatce.
- (b)
- Wykaż, że istnieje czworościan o wszystkich ścianach prostokątnych.
-
Zadanie ZM-13.12-KP-1
-
Zadanie ZM-13.12-KP-2
-
Zadanie ZM-13.12-KP-3
Sfera wpisana w czworościan
jest styczna do ścian
odpowiednio w punktach
Odcinek
jest średnicą tej sfery, a punkty
są punktami przecięcia prostych
z płaszczyzną
Dowieść, że punkt
jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie
-
Zadanie ZM-13.10-KP-1
-
Zadanie ZM-13.10-KP-2
Przez środek każdej krawędzi czworościanu prowadzimy płaszczyznę prostopadłą do przeciwległej krawędzi. Wykazać, że istnieje punkt wspólny otrzymanych sześciu płaszczyzn (punkt ten nazywa się punktem Monge’a).
-
Zadanie ZM-13.10-KP-3
Spodki wysokości pewnego czworościanu są różne od ortocentrów ścian, do których zostały poprowadzone. Wykazać, że płaszczyzny zawierające te wysokości i ortocentra ścian, do których zostały poprowadzone, przecinają się w jednym punkcie.
-
Zadanie ZM-13.10-KP-4
Dany jest czworościan
Odcinki
i
są dwusiecznymi w trójkącie
odcinek
jest dwusieczną w trójkącie
zaś odcinek
jest dwusieczną w trójkącie
Wykazać, że istnieje punkt wspólny płaszczyzn
-
Zadanie ZM-13.10-KP-5
Dany jest czworościan
i punkty
leżące na krawędziach
dla
przyjmujemy, że
). Każda z płaszczyzn
tworzy z płaszczyzną
kąt dwuścienny o mierze
zaś z płaszczyzną
kąt dwuścienny o mierze
Wykazać, że płaszczyzny
dla
mają wspólny punkt wtedy i tylko wtedy, gdy
-
Zadanie ZM-13.10-KP-6
Punkt
leży wewnątrz czworościanu
Wykazać, że płaszczyzny symetryczne do płaszczyzn
względem płaszczyzn dwusiecznych kątów dwuściennych przy krawędziach
dla
przecinają się w jednym punkcie.
-
Łańcuch sfer»Zadanie 1
Szare sfery są parami styczne i każda z nich styczna jest do każdej z kolorowych sfer, tworzących łańcuch.
Styczne zewnętrznie sfery
i
są styczne wewnętrznie do sfery
Do każdej z tych trzech sfer styczna jest każda z
sfer
ponadto dla każdego
sfera
styczna jest do sfery
(przy czym
). Dla jakich
istnieje taki łańcuch sfer
W jaki sposób zależy to od rozmiarów i wzajemnego położenia sfer
Czy i jak zależy to od wyboru początkowej sfery
-
Zadanie ZM-13.06-KP-1
Dany jest czworościan
w którym
Ponadto suma pól ścian
i
jest równa sumie pól ścian
i
Dowieść, że
lub
-
Mnóstwo rachunków?»Zadanie 5
W czworościanie rozważamy dwusieczne trzech kątów płaskich mających wspólny wierzchołek. Wykaż, że jeżeli pewne dwie z tych dwusiecznych są prostopadłe, to wszystkie one są parami prostopadłe.
-
Klub 44M - zadania III 2013»Zadanie 658
W przestrzeni dany jest czworościan foremny o krawędzi długości
oraz dowolny punkt
Niech
będą odległościami punktu
od wierzchołków czworościanu. Wykazać, że
-
Zadanie ZM-1375
Dany jest wielościan wypukły o następujących własnościach: w każdym wierzchołku spotykają się 3 krawędzie, każda ściana jest wielokątem wpisanym w okrąg.
Udowodnić, że każde dwie sąsiednie ściany są wpisane we wspólną, jednoznacznie wyznaczoną sferę.
-
Zadanie ZM-1376
Dany jest wielościan wypukły o następujących własnościach: w każdym wierzchołku spotykają się 3 krawędzie, każda ściana jest wielokątem wpisanym w okrąg.
Udowodnić, że trzy sąsiednie ściany są wpisane we wspólną sferę.
-
Zadanie ZM-1377
Dany jest wielościan wypukły o następujących własnościach: w każdym wierzchołku spotykają się 3 krawędzie, każda ściana jest wielokątem wpisanym w okrąg.
Udowodnić, że wielościan jest wpisany w sferę.
-
Okrąg Apoloniusza»Zadanie 3
W przestrzeni dane są różne punkty
przy czym
dla
oraz
Udowodnij, że kąt
jest prosty i że punkty
leżą na jednej płaszczyźnie.
-
Okrąg Apoloniusza»Zadanie 4
Punkty
i
nie należą do płaszczyzny
Wyznacz zbiór wszystkich punktów
o tej własności, że proste
i
tworzą z płaszczyzną
równe kąty.
-
Zadanie ZM-1369
-
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny»Zadanie 1
Sfera
o środku w środku okręgu opisanego na trójkącie
przecina krawędzie
czworościanu
odpowiednio w punktach
Płaszczyzny styczne do tej sfery odpowiednio w punktach
przecinają się w punkcie
Wykazać, że punkt
jest środkiem sfery opisanej na czworościanie
-
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny»Zadanie 2
Dany jest ostrosłup
którego podstawą jest czworokąt wypukły
o prostopadłych przekątnych
i
a rzutem prostokątnym wierzchołka
na podstawę jest punkt
przecięcia przekątnych podstawy. Udowodnić, że rzuty prostokątne punktu
na ściany boczne ostrosłupa leżą na jednym okręgu.
-
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny»Zadanie 3
Przez wierzchołek
czworościanu
poprowadzono płaszczyznę styczną do sfery opisanej na tym czworościanie. Udowodnić, że proste, wzdłuż których płaszczyzna ta przecina płaszczyzny ścian
tworzą sześć równych kątów wtedy i tylko wtedy, gdy
-
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny»Zadanie 4
Wykazać, że dla dowolnego czworościanu istnieje trójkąt, którego boki są równe co do wartości iloczynom przeciwległych krawędzi tego czworościanu. Wykazać dodatkowo, że pole tego trójkąta jest równe
gdzie
i
oznaczają odpowiednio objętość i promień sfery opisanej na czworościanie (wzór Crellego).
-
Ekstrema»Zadanie 6
W przestrzeni dany jest skończony zbiór punktów, z których każde cztery są wierzchołkami czworościanu o objętości mniejszej lub równej 1. Wykaż, że istnieje czworościan o objętości nie większej niż 27, zawierający wszystkie te punkty.
-
Okręgi wielkie»Zadanie 1