Temat: Stereometria

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Zadanie ZM-K44-574

o zadaniu...

Publikacja w Delcie: maj 2009
Publikacja elektroniczna: 18 czerwca 2010

W pewnym czworościanie wszystkie sfery dopisane są styczne do ścian czworościanu w środkach okręgów wpisanych w te ściany. Udowodnić, że czworościan jest foremny.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę sferę dopisaną do czworościanu $\text{[math]}$ styczną do ściany $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ , który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt $\text{[math]}$ oraz styczną do płaszczyzn $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ . Zauważmy, że $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

To oznacza, że trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są przystające, a stąd

display-math

(rys.1 przedstawia półpłaszczyzny ścian $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ ,,rozłożone płasko”).

Podobnie uzasadniamy, że $\text{[math]}$ (rys.2) przedstawia półpłaszczyzny $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ ,,rozłożone płasko”) – oraz że $\text{[math]}$

Oczywiście $\text{[math]}$ ; stąd $\text{[math]}$ i w konsekwencji

$pict$

Rozważając sferę dopisaną, styczną do ściany $\text{[math]}$ , stwierdzamy analogicznie, że $\text{[math]}$ . Zatem wszystkie kąty płaskie ścian przy wierzchołku $\text{[math]}$ są równe:

display-math

W ten sam sposób dowodzimy, że trzy kąty płaskie przy wierzchołku $\text{[math]}$ są równe (oznaczmy ich miarę przez $\text{[math]}$ ), kąty przy wierzchołku $\text{[math]}$ są równe $\text{[math]}$ oraz kąty przy wierzchołku $\text{[math]}$ są równe $\text{[math]}$ .

Patrząc na sumy kątów w trójkątach ABD i BCD widzimy, że $\text{[math]}$ Analogicznie uzasadniamy, że $\text{[math]}$ To znaczy, że wszystkie kąty wszystkich ścian czworościanu są równe. Zatem ściany są trójkątami równobocznymi i czworościan jest foremny.