Delta mi!

Przyjmijmy i ustalmy prostokątny układ współrzędnych, w którym wierzchołkami sześcianu są punkty a rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę jest punkt o współrzędnych Zatem ; zaś płaszczyzna jest dana równaniem

Załóżmy, że ma ona punkty wspólne ze wszystkimi ścianami sześcianu; więc np. ze ścianą o wierzchołkach Każda z półprzestrzeni ( ) musi zawierać jeden z tych czterech wierzchołków. Zatem przy pewnym doborze znaków mamy nierówność Skoro znaczy to, że

Analogicznie oraz Dodajemy te trzy nierówności i otrzymujemy

czyli, równoważnie,

Lewa strona to kwadrat odległości punktu od punktu Tak więc A ponieważ ostatecznie

Gdy wszystkie nierówności stają się równościami; płaszczyzna o równaniu leży w odległości od i spotyka wszystkie ściany. Dla szukane maksimum wynosi więc ; zaś w przypadku ogólnym - po przeskalowaniu - wynosi

Niech będzie wierzchołkiem kostki, odległym od stołu o Oznaczmy długość krawędzi kostki przez Łatwo zauważyć, że odcinki oraz muszą być krawędziami sześcianu (wynika to z faktu, że jeśli krawędziami są i to jest ścianą). Niech będzie długością krawędzi sześcianu. Dobierzmy układ współrzędnych tak, by i Oznaczmy przez rzut prostokątny punktu na prostą prostopadłą do stołu, przechodzącą przez ; wówczas Przyjmijmy wtedy i Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych dla dostajemy

Wykorzystując powyższe równości oraz dostajemy i Po podniesieniu ostatnich trzech równości do kwadratu i zsumowaniu, otrzymamy zatem

Sześcian wypełniają trzy kopie czworościanu przedstawionego na poniższym rysunku obok i trzy kopie jego lustrzanego odbicia, co Czytelnik Uważny zobaczy na kolejnym rysunku.

Rozważmy dowolny czworościan w którym są punktami styczności sfery wpisanej i ścian leżących odpowiednio naprzeciw wierzchołków

Wyznaczymy miary kątów oraz w zależności od miar kątów wewnętrznych ścian czworościanu (które są dane, gdy dana jest siatka).

Zauważmy, że na mocy cechy bok-bok-bok, pary: i i i to pary trójkątów przystających; oznaczmy kąty wewnętrzne przy wierzchołku w poszczególnych z nich odpowiednio przez Wówczas

skąd wniosek, że

Podobnie uzyskujemy równość

Ponieważ dodawanie i odejmowanie kątów, a także prowadzenie dwusiecznej są wykonalne konstrukcyjnie, więc powyższe równości bezpośrednio przenoszą się na żądaną konstrukcję punktu styczności ze ścianą Dla pozostałych ścian konstrukcja jest w pełni analogiczna.

Odpowiedź: Taki wielościan istnieje.

Rozważmy prostopadłościan o wymiarach

Przecinając ten prostopadłościan płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi o długości rozetniemy go na dwa przystające prostopadłościany o wymiarach Każdy z nich jest podobny do w skali

Zamiast ziemniaków rozważmy ich duchy o dokładnie tym samym kształcie i rozmiarze. Wystarczy teraz, by jeden duch częściowo przeniknął przez drugiego. Przecięcie ich powierzchni wyznacza szukaną krzywą.

Startując ze środka lewego boku rysujemy w górę odcinek o długości 2 (wystaje on więc poza kwadrat); następnie w prawo w dół odcinek przechodzący przez środki górnego i prawego boku i kończący się na poziomie dołu kwadratu; potem w lewo poziomy odcinek o długości 3, kończący się w lewym dolnym rogu kwadratu; i wreszcie czwarty odcinek łamanej - przekątną kwadratu (w prawo w górę).

Tak, przykład takiej łamanej zaprezentowano na rysunku obok. Znajduje się ona na powierzchni pewnego sześcianu, a przedstawione jej rzuty są w kierunkach zgodnych z krawędziami tego sześcianu.

Turysta mógł zmieniać tempo marszu, robić postoje, a nawet się cofać.

Narysujmy wykresy obu wędrówek turysty. Jedna z nich to krzywa łącząca dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta, druga zaś łączy pozostałe dwa wierzchołki. Takie dwie krzywe muszą się gdzieś przeciąć, co kończy dowód.

Nie musi. Rozważmy ośmiościan foremny o parach przeciwległych wierzchołków i i i Łamana spełnia warunki zadania. Odpowiednie odcinki są równe, bo ośmiościan jest foremny i równoległe, bo są kwadratami. Ściany tego ośmiościanu są trójkątami równobocznymi, więc wszystkie pary kolejnych prostych tworzą kąty

Rozważmy elipsoidę obrotową o ogniskach w punktach wejścia i wyjścia robaczka oraz o stałej równej 0,9. Każdy punkt tuneliku odległy jest od jego końców w sumie o najwyżej 0,9, więc cały tunelik mieści się w elipsoidzie. Z kolei środek jabłka jest poza nią, gdyż suma jego odległości od ognisk równa jest Istnieje więc taka płaszczyzna przechodząca przez środek, że cała elipsoida jest po jednej jej stronie. Wtedy po drugiej stronie otrzymujemy nietkniętą przez robaczka połówkę jabłka.

Dla oznaczmy przez środek sfery a przez - punkt styczności sfery ze sferą Ponieważ oraz punkty są współliniowe, więc również

Rozważmy inwersję względem sfery o środku i promieniu Dla sfera jest prostopadła do sfery więc jest zachowywana przy rozważanej inwersji. Tę samą własność ma sfera Wobec tego obrazem sfery (przechodzącej przez środek inwersji) jest pewna płaszczyzna, która jest styczna do

Jeśli postulowana w zadaniu prostopadłość ma miejsce, to punkty i a więc też trójkąty i są symetryczne względem opisanej płaszczyzny, zatem przystające. Wykażemy, że tak być nie musi.

Niech punkty leżą na jednym okręgu w tej właśnie kolejności, przy czym a to punkt przecięcia tych prostych. Wówczas trójkąty nie są przystające (mają różne wysokości na więc też różne pola). Jednocześnie

Jeśli teraz obrócimy trójkąt wokół prostej o pewien dodatni kąt mniejszy od otrzymamy czworościan w którym Wobec tego prosta jest prostopadła do płaszczyzny a więc także do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie. Stąd także po opisanym obrocie. Uzyskaliśmy więc czworościan spełniający warunki zadania, w którym trójkąty i nie są przystające.

Z warunków zadania wynika, że oraz gdyż są to pary przekątnych przystających prostokątów.

Oznaczmy przez promień sfery Jeżeli sfery są parami styczne, to pewne dwie z nich - bez straty ogólności i - są styczne zewnętrznie, czyli Jeśli jest styczna zewnętrznie do i to i wystarczy przyjąć

Wówczas sfera będzie styczna wewnętrznie do pozostałych trzech sfer, gdyż

i analogicznie

Jeżeli zaś sfera jest styczna wewnętrznie do i to

i tym razem wystarczy przyjąć

Wówczas

więc sfera będzie styczna zewnętrznie do i oraz styczna wewnętrznie do