Delta mi!

Rysunek przedstawia krótszą drogę, co łatwo sprawdzić, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

W przypadku przedstawionym na rysunku każda z możliwych dróg ma długość co najmniej

Można skserować, wyciąć, spróbować złożyć "siatkę" i zobaczyć, że z sklejają się w innym punkcie, niż z Wynika to z faktu, że na rysunku wysokości trójkątów, poprowadzone z wierzchołków nie przecinają się w jednym punkcie - spodku wysokości ostrosłupa - a powinny.

Rys. 1

Rys. 2

Opiszemy, jak go skonstruować. Rozpatrzmy sześciokąt o wszystkich bokach równej długości i kątach przy wierzchołkach równych odpowiednio: Niech będzie punktem przecięcia przekątnych oraz a punktem przecięcia przekątnych oraz (Rys. 1). Łatwo wykazać, że Wybierzmy teraz w przestrzeni punkty oraz po tej samej stronie płaszczyzny sześciokąta, tak aby proste i były prostopadłe do tej płaszczyzny oraz aby Wielościan (Rys. 2) spełnia warunki zadania - ma jedną ścianę, podstawę, która nie jest wielokątem foremnym, cztery ściany będące trójkątami równobocznymi i dwie ściany kwadratowe. Sprawdzenie tego faktu pozostawiamy Czytelnikom.

Tak, taki ostrosłup istnieje. Jeśli dokładnie przyjrzymy się prostopadłościanowi, to dostrzeżemy "w nim" nasz ostrosłup. Rzeczywiście, niech będzie prostopadłościanem. Wówczas ostrosłup spełnia warunki zadania.

Trójkąty oraz są, oczywiście, prostokątne. Ponadto, ponieważ prosta jest prostopadła do płaszczyzny to jest ona prostopadła do każdej prostej z tej płaszczyzny, w szczególności do prostej Zatem trójkąt jest prostokątny. Podobnie dowodzimy, że trójkąt jest prostokątny.

Tak, taki wielościan istnieje. Rozpatrzmy graniastosłup sześciokątny o podstawach oraz Graniastosłup ten ma 18 krawędzi i wszystkie jego ściany mają parzystą liczbę boków. Gdyby udało się dodać jedną krawędź, nie zmieniając własności ścian, to otrzymany wielościan spełniałby warunki zadania. Zauważmy, że sześciokąt można bez trudu podzielić jedną z przekątnych na dwa czworokąty. Teraz tylko trzeba zrobić z tych czworokątów ściany wielościanu przez pochylenie jednego z nich. Poprowadźmy więc przez punkty oraz płaszczyznę przecinającą krawędzie i odpowiednio w punktach oraz Płaszczyzna ta dzieli graniastosłup na dwa wielościany, z których jeden spełnia warunki zadania: ma osiem ścian będących czworokątami i jedną ścianę sześciokątną. Ponadto wielościan ten ma krawędzi.

Czytelnik Uważny skonstruuje podobną metodą inne przykłady wielościanów o zadanych własnościach, rozpatrując graniastosłup o podstawie będącej -kątem, dla

W każdym wierzchołku graniastosłupa o podstawie będącej 99-kątem zbiegają się dokładnie trzy krawędzie. Niestety, taki graniastosłup na 101 ścian. Spróbujemy pozbyć się jednej ściany tak, aby pozostałe własności nie zmieniły się. Przetnijmy nasz graniastosłup płaszczyzną przechodzącą przez jedną krawędź dolnej podstawy i przecinającą wszystkie boczne krawędzie. Płaszczyzna ta dzieli graniastosłup na dwa wielościany, z których dolny spełnia warunki zadania.

Rozpatrzmy graniastosłup trójkątny i płaszczyzną przechodzacą przez środki krawędzi wychodzących z jednego, wybranego wierzchołka odetnijmy z niego czworościan zawierający ten wierzchołek. Następnie w ten sam sposób odetnijmy czworościany z pozostałych "rogów" graniastosłupa. Otrzymany wielościan spełnia warunki zadania.

Tak. Pan Fletowski może umieścić flet wzdłuż głównej przekątnej sześciennego pudła o krawędzi długości 1 m - jej długość to

-otoczka prostokąta, jej pole równe jest

Nie. Rozważmy -otoczkę pudełka o wymiarach czyli zbiór złożony z wszystkich punktów z jego wnętrza oraz punktów odległych od niego o mniej niż Ma ona kształt większego prostopadłościanu o zaokrąglonych krawędziach i rogach. Jej objętość równa jest

gdzie
(objętość wyjściowego prostopadłościanu),
(objętości prostopadłościanów zbudowanych na ścianach),
(fragmenty na równoległych krawędziach sumują się do walców o promieniu podstawy ),
(fragmenty na rogach prostopadłościanu sumują się do kuli o promieniu ).

Zauważmy, że jeśli pudełko o wymiarach da się włożyć do pudełka o wymiarach to również -otoczka pierwszego mieści się w -otoczce drugiego. To z kolei oznacza, że różnica objętości jest nieujemna:

Załóżmy, że

Powyższa różnica objętości jest wówczas wielomianem stopnia 2 zmiennej Skoro ma on wartość nieujemną dla każdego to musi mieć dodatni współczynnik przy najwyższej potędze Stąd co kończy dowód.

Ściany są przystającymi trójkątami równoramiennymi, z jednakowym kątem przy wierzchołku Niech Oznaczając mamy

(1)

Pole trójkąta wynosi ; podobnie wyrażają się pola trójkątów Suma kwadratów ich pól jest równa ; tu i dalej symbol oznacza sumę cykliczną względem trójki (lub ).

Kwadrat pola trójkąta wyrażamy zgodnie ze wzorem Herona jako

Uzyskana wartość ma być równa ; mnożąc przez 4 dostajemy równanie

(2)

Po wprowadzeniu w miejsce wyrażeń (1) i pogrupowaniu wszystkiego według potęg (to mechaniczny rachunek) okazuje się, że wyrazy niezawierające znoszą się, a całe równanie (2) redukuje się do postaci

Kąt jest niezerowy, więc ; stąd czyli Zatem każdy z trójkątów jest prostokątny i równoramienny, o przeciwprostokątnej długości 1; przyprostokątne mają długość Ostrosłup jest szóstą częścią sześcianu o krawędzi Jego objętość wynosi

Ściany i ostrosłupa z rysunku są prostopadłe do podstawy.

Nie, ostrosłup z rysunku ma wszystkie kolorowe krawędzie równej długości, więc spełnia warunki zadania, a nie jest prawidłowy.

Na rysunku przedstawiony jest widok z góry takiego czworościanu. Wysokość opuszczona z kolorowego wierzchołka jest bardzo niewielka.

Jak widać, istnieje czworościan, którego każda ściana jest prostokątna.

W czworościanie z rysunku wysokość (na ścianę ) nie ma wspólnych punktów z wysokością (na ścianę ), tym bardziej nie można więc oczekiwać wspólnego punktu dla wszystkich czterech wysokości.

Taki jedenastościan można uzyskać, obcinając wszystkie wierzchołki graniastosłupa trójkątnego tak, by otrzymać zamiast nich 6 trójkątnych, parami rozłącznych ścian (pozostałych 5 ścian powstaje ze ścian wyjściowego graniastosłupa).

Wielościan Schönhardta. Zewnętrzne kąty dwuścienne przy kolorowych krawędziach są mniejsze od (M. Aigner, G.M. Ziegler, Dowody z księgi, Wyd. Nauk. PWN, 2002).

Dowolny czworościan, który miałby zawierać dolną podstawę wielościanu z rysunku, musiałby także zawierać któryś z jego górnych wierzchołków. Jednak taki czworościan nie byłby w całości zawarty w tym wielościanie.

W czworościanie z rysunku spodek wysokości z wierzchołka to punkt Wysokość z wierzchołka zawarta jest w prostej prostopadłej do płaszczyzny więc spodek tej wysokości to środek przedniej ściany sześcianu. Analogicznie spodkiem wysokości z wierzchołka jest środek kwadratu Przekątna sześcianu jest prostopadła do ściany czworościanu, zatem wysokość z wierzchołka jest równoległa do a co za tym idzie jej spodek również trafia poza odpowiednią podstawę.

Załóżmy, że  kul o promieniach  spełnia podaną własność (pokrywa wszystkie ściany  ). Wówczas  gdzie  to pole powierzchni bocznej   Ponadto

Stosując nierówność Höldera do ciągów  i wag    otrzymujemy

skąd

więc wystarczy przyjąć

Równoległościanem opisanym na czworościanie foremnym o krawędzi 1 jest sześcian o krawędzi

Suma odległości punktu  od dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu jest nie mniejsza od sumy odległości  od zawierających je przeciwległych ścian sześcianu, która z kolei jest większa lub równa odległości pomiędzy takimi ścianami, czyli długości krawędzi sześcianu. Czworościan ma trzy pary przeciwległych krawędzi, stąd

Tak, dla każdego czworościanu  zbudujemy czworościan  o żądanych własnościach. Niech  będzie taką liczbą, aby liczba  była większa od pola każdej ściany czworościanu  Niech  będzie taką liczbą, aby liczba  była mniejsza od objętości czworościanu

Niech  będzie czworościanem wpisanym w prostopadłościan o podstawie  i wysokości  Objętość  równa jest  Każdą ścianę czworościanu  można zrzutować na połowę podstawy prostopadłościanu, więc jej pole przekracza  Z definicji liczb  i   czworościany  i   spełniają żądane warunki.

Wykażemy, że nie można. Rozważmy czworościany  i   wpisane odpowiednio w prostopadłościany o wymiarach  oraz

Promienie opisanych na nich kul to połowy głównych przekątnych prostopadłościanów, więc są one równe:  oraz

Z twierdzenia Pitagorasa, każda ściana czworościanu  jest trójkątem o bokach  oraz  Wysokość takiego trójkąta, opuszczona na bok o długości  równa jest

Stąd pole każdej ze ścian czworościanu  równe jest

Analogicznie pole każdej ściany czworościanu  też równe jest

Czworościany  i   mają więc równe pola ścian i promienie kul opisanych. Tymczasem ich objętości są różne:  oraz

Nie. Wystarczy spojrzeć na dowolny wierzchołek: suma dwóch mniejszych kątów przy nim równa jest  czyli trzeciemu kątowi.

Nie. Kąty płaskie przy wierzchołku  spełniają warunek  Z kolei rozważając kąt trójścienny przy  oraz trójkąty prostokątne  i   wnioskujemy, że

czyli – sprzeczność.

Suma wszystkich kątów płaskich czworościanu równa jest  jako suma kątów czterech trójkątów. Wobec tego istnieje taki wierzchołek czworościanu, przy którym suma trzech kątów płaskich nie przekracza  w przeciwnym razie suma wszystkich kątów płaskich czworościanu przekraczałaby

Oznaczmy kąty płaskie przy tym wierzchołku przez  Wówczas  więc

czyli  Analogicznie  oraz