Oznaczmy przez  i   rozpatrywane sfery. Niech  będzie stożkiem o wierzchołku  w który wpisane są sfery  i  (każda tworząca stożka  jest wspólną styczną sfer  i  ). Posługując się sferami Dandelina, wnioskujemy, że część wspólna płaszczyzny  i stożka  jest elipsą wpisaną w trójkąt  a punkty  i   to jej ogniska. W takim razie spełnione są równości

Wiadomo, że jeśli punkt  jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie  a   punktem przecięcia jego wysokości, to powyższe równości są spełnione. Z drugiej strony dla danego punktu  punkt  jest jednoznacznie wyznaczony przez powyższe zależności. Skoro więc  jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie  to  musi być punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.