Delta mi!

Bryła to stworzenie, z którym większość z nas poznała się w szkole podstawowej i które było przez nas oswajane przez kolejne lata edukacji. Znamy bliżej różne rodziny brył, takie jak wielościany, graniastosłupy, bryły obrotowe, foremne, platońskie. Oczywiście, można produkować nowe stworzenia, łącząc czy tnąc "podstawowe" gatunki, a jedynym ograniczeniem jest nasza wyobraźnia.

Kryształy to jedne z najbardziej osobliwych elementów świata przyrody. Materiały krystaliczne wykazują niemal niespotykaną naturalną tendencję do tworzenia wielościanów. Piętnastometrowe kryształy w Meksyku czy dwumilimetrowe kryształki soli w naszej kuchni - wszystkie swą szczególną postać zawdzięczają uporządkowanemu rozmieszczeniu atomów, jonów lub cząsteczek.

Niektóre wielościany są dość dziwne. Intuicja podpowiada, że nie powinny istnieć, a jednak istnieją. Czasem błędne przeczucia wynikają z nazbyt pochopnych uogólnień geometrii płaskiej na przestrzenną, czasem zaś z faktu, że świat wielościanów jest bogatszy, niż się na pierwszy rzut oka wydaje.

Kto by się spodziewał, że prawdziwe jest stwierdzenie: jeśli w sześcianie mieszczą się trzy jednakowe kulki, to zmieści się też czwarta tej samej wielkości!

Piłki tenisowe na ogół pakowane są w rurkę po kilka sztuk. Wyobraźmy sobie piłki tak cenne, że pakowane są każda oddzielnie. Takie opakowanie to z matematycznego punktu widzenia walec...

Wzór Herona  pozwala wyznaczyć pole trójkąta w zależności od długości jego boków (  to połowa obwodu). Czy da się go uogólnić, na przykład dla objętości czworościanu lub pola czworokąta?

Postawmy czworościan na krawędzi i przez każdą jego krawędź poprowadźmy płaszczyznę równoległą do przeciwległej krawędzi. Takich sześć płaszczyzn wyznacza równoległościan opisany na czworościanie.

Wielu projektantów często w swych koncepcjach odwołuje się do geometrycznych form, inspirując się harmonią, regularnościami i symetrią brył przestrzennych. Do takich twórców należy Tom Dixon, autor wielu innowacyjnych pomysłów. Podczas międzynarodowych targów sztuki użytkowej we Frankfurcie przedstawił projekt oświetlenia oparty na formach geometrycznych rzadko spotykanych w wystroju wnętrz. Zaprezentował lampy, których obudowy są powierzchniami brył Catalana...

Jakie warunki spełniać muszą trzy kąty płaskie, aby można było z nich zbudować wypukły kąt trójścienny, czyli przestrzenne naroże o trzech krawędziach?

Przecięcie stożka płaszczyzną  nieprzechodzącą przez wierzchołek to stożkowa...

Sfery, o których jest mowa na sąsiedniej stronie, nazywane są sferami Dandelina na cześć francuskiego matematyka Germinala Pierra Dandelina (1794–1847), który badając stożkowe, rozwinął pomysły Apoloniusza z Pergi (III w. p.n.e.).

W tym kąciku przyjrzymy się metodom rozwiązywania zadań o przecinaniu się płaszczyzn. Jedną z nich jest wskazanie punktu przecięcia i udowodnienie, że należy do każdej z rozważanych płaszczyzn.

Czworościan to ostrosłup. Wybieramy jedną ścianę – „podstawę”; trzy ściany „boczne” odchylamy na zewnątrz, jakby były na zawiasach. Gdy się ułożą w płaszczyźnie podstawy, uzyskamy układ czterech trójkątów – płaską siatkę czworościanu; może ona ułatwić (lub utrudnić) jego wizualizację...

Dwunastościan wielki jest jednym z czterech niewypukłych wielościanów foremnych. Jego ścianami są przenikające się pięciokąty foremne (pentagony). Oczywiście, jest ich dwanaście. I w tym przypadku jest w miarę prosty sposób rysowania.

W Delcie była już mowa o ruchomych wielościanach, nazywanych też fleksorami; artykuły o nich ukazały się w 1987 i 1997 roku. Ruchomość wielościanu polega na tym, że gdybyśmy zbudowali model o sztywnych ścianach, a krawędziach poruszających się jak zawiasy, to moglibyśmy nim poruszać bez odkształcania ścian. Choć wydaje się to zaskakujące, ruchome wielościany rzeczywiście istnieją i zbudowanie takich brył, choćby z papieru, nie jest bardzo trudne.

wunastościan gwiaździsty mały wygląda bardzo ładnie, jakby ktoś dokleił odpowiednie piramidy do dwunastościanu foremnego. Jego ścianami są pięciokąty gwiaździste przenikające się i, jak sugeruje nazwa, powinno ich być 12. Czy da się to narysować? Naturalnie, przecież rysunek to skończony ciąg kresek...

Tematem poprzedniego deltoidu była inwersja na płaszczyźnie. Analogicznie przekształcenie zdefiniować można w przestrzeni...

W tym kąciku chcielibyśmy powrócić do pewnych własności sfery wpisanej w czworościan, o których pisaliśmy w kąciku 2 o najmocniejszym twierdzeniu stereometrii (Delta 3/2010). Okazuje się, że można je wykorzystać do udowodnienia faktów pozornie niezwiązanych ze sferą wpisaną.

Dwunastościan rombowy jest figurą o zadziwiających własnościach. Narysowanie go nie powinno sprawiać większych trudności. Jak nazwa wskazuje, ścianami tego dwunastościanu są romby, zatem rysunek zaczynamy od narysowania właśnie rombu.

Tym razem opowiemy o punkcie Fermata–Torricellego w czworościanie...

Ostatnio rysowaliśmy dwunastościan foremny i dwudziestościan foremny. Przedstawimy jeszcze jeden sposób rysowania dwunastościanu foremnego.

Dla trójkąta definiujemy okrąg opisany i okrąg wpisany. Podobnie z czworościanem można związać dwie naturalne sfery: sferę przechodzącą przez wierzchołki (opisaną) oraz sferę styczną do ścian (wpisaną). Można jednak rozważać jeszcze trzecią ciekawą sferę – styczną do krawędzi.

Nie od dziś wiadomo, jak zbudować najprostszy zegar słoneczny. Słońce, w swym pozornym ruchu po niebie, porusza się ze stałą prędkością kątową w płaszczyźnie prostopadłej do osi wskazującej północny biegun niebieski...

Narysujemy teraz figurę bardziej skomplikowaną: dwudziestościan...