Kwadrat, którego nie ma
Przemieszczając się na płaszczyźnie za pomocą ruchów „do przodu”, „do tyłu”, „w lewo” i „w prawo”, możemy w szczególności narysować kwadrat. Czy analogiczna sytuacja rozważana na zakrzywionej powierzchni zawsze pozwala na wygenerowanie kwadratu przez zakreślaną trajektorię? Rozważmy sferę, którą często wykorzystuje się w globalnym modelowaniu powierzchni Ziemi.
Na początek zwróćmy uwagę na to, iż w płaskiej geometrii euklidesowej – czyli takiej, jakiej uczymy się w szkole – kwadrat możemy określić w szczególności również jako
- czworokąt foremny;
- prostokąt, którego wszystkie boki mają równe długości;
- romb, którego wszystkie kąty są przystające.

Rys. 1 Figura sferyczna
o czterech równych bokach i czterech kątach prostych.
Dla każdego niemal ucznia jest oczywiste, iż każdy kwadrat ma cztery boki
równej długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne proste. Czy na sferze
znajdziemy figurę (sferyczną) mającą takie same cechy? Spróbujmy poruszać
się po czterech tzw. kierunkach kardynalnych, tzn. „na północ”, „na południe”,
czyli wzdłuż południków, oraz „na wschód”, „na zachód”, czyli wzdłuż
równoleżników sfery. Zauważmy, że na sferze o ustalonym promieniu
wszystkie południki mają taką samą długość równą połowie długości
równika. Z kolei długości równoleżników nie są stałe. Najdłuższy
z nich to równik, a gdy zbliżamy się do biegunów sfery, ich długości
zmniejszają się. Czy, wiedząc powyższe, możemy już narysować na sferze
figurę spełniającą nasze wymagania? Za pomocą samych południków
i równoleżników możemy przedstawić (Rys. 1) figurę sferyczną
o czterech bokach równej długości i czterech kątach prostych.
Wszak każdy południk przecina każdy napotkany równoleżnik pod kątem
prostym i odwrotnie. A sama konstrukcja polegać może na tym, że boki
południkowe o ustalonej długości rozsuwamy o tyle, aby długość każdego
z nich była równa długości boków leżących na równoleżnikach
symetrycznych względem równika.

Rys. 2 Siatka południków i równoleżników, generująca czworoboczne figury sferyczne, widoczna w logo IM UJ.
Punkty przecięcia ortogonalnych, czyli wzajemnie prostopadłych linii siatki stanowią wierzchołki figur sferycznych o czterech bokach, co możemy zaobserwować np. w logo Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego (Rys. 2).
Czy otrzymaną sferyczną figurę
o czterech bokach równej długości
i czterech kątach prostych możemy bezspornie nazwać kwadratem
(sferycznym)? Otóż nie. Zauważmy, iż boki kwadratu na płaszczyźnie są
odcinkami linii prostych, a mówiąc ogólniej – odcinkami linii geodezyjnych.
Stanowią one zatem najkrótsze połączenie wierzchołków kwadratu na
powierzchni, na której leżą – płaszczyźnie. Tymczasem w rozważanej przez
nas figurze na sferze boki, będące łukami równoleżników, nie są
najkrótszym połączeniem punktów wierzchołkowych
ponieważ
równoleżniki, będące okręgami małymi sfery, nie są sferycznymi prostymi
(geodezyjnymi sfery).
Tym razem trudno byłoby znaleźć wierny odpowiednik
na
płaszczyźnie, jako że oba obiekty pochodzą z różnych geometrycznych
światów, w których rządzą różne prawa. Jako płaski „wzorzec” bądź
odpowiednik otrzymanej sferycznej figury
można poniekąd
rozważyć figurę płaską o jednej parze przeciwległych boków prostych
i drugiej parze boków krzywoliniowych tej samej długości.

Rys. 3
A zatem w dalszych naszych poszukiwaniach uwzględniać będziemy tylko takie
figury sferyczne, których boki są odcinkami linii prostych. Odcinkami
prostych na sferze są łuki okręgów wielkich, a więc w szczególności są
nimi wszystkie południki, jak i równik będący całą prostą (zamkniętą,
o skończonej długości). Para boków południkowych figury
spełnia
nasze wcześniejsze wymagania. Spróbujmy więc wyprostować jej boki
równoleżnikowe. W efekcie kolejne boki naszego czworokąta stanowić będą
odcinki linii geodezyjnych. Warto zauważyć, że na sferze krótszy łuk okręgu
wielkiego, łączącego dwa dowolne punkty o różnej długości geograficznej
i leżące w tej samej półsferze, „wygina się” w kierunku bliższego bieguna.
Na rysunku 3 przedstawiono przykładowy przebieg linii geodezyjnych sfery na
płaskiej mapie w konforemnym (czyli zachowującym wierność kątów)
odwzorowaniu Merkatora.
Tak przedstawianą mapę bardzo często możemy znaleźć, na przykład,
w urządzeniach nawigacyjnych oraz współczesnym systemie map elektronicznych,
tj. ECDIS (Electronic Chart Display and Information System) stanowiącym
morską aplikację systemu GIS (Geographic Information System). System ten jest
używany na statkach morskich do planowania i realizacji podróży
w żegludze międzynarodowej oraz jest obecnie prawnie dopuszczonym
ekwiwalentem nawigacyjnych map papierowych stosowanych od stuleci do dnia
dzisiejszego. W obrazie tym linia łuku okręgu wielkiego po przejściu przez
równik zaczyna wyginać się w kierunku bliższego bieguna. Można
powiedzieć, że punkt przecięcia obrazu linii prostej z równikiem sfery na
płaskiej mapie, wykonanej w odwzorowaniu Merkatora, jest punktem przegięcia
płaskiej krzywej będącej obrazem prostej sferycznej. Jako przykład rozważmy
dwa punkty
(wyjściowy) i
(docelowy) na powierzchni Ziemi
odległe o około 19800 km, czyli nieco mniej niż wynosi długość
ziemskiego południka. Następnie przesuńmy punkt
po południku o
szerokości geograficznej na południe, czyli o około 440 km,
otrzymując punkt
Połączmy punkt
z
(kolorowa
linia) oraz
z
(czarna linia) najkrótszymi drogami, czyli za
pomocą odcinków prostych modelowanej powierzchni, jak to widać na
rysunku 3. Odległość
stanowi zaledwie około
%
odległości
Mimo względnie małej różnicy odległości
w położeniu punktów docelowych
i
przebieg obydwu
odcinków linii prostych
i
istotnie się różni.
Po małej modyfikacji otrzymujemy czworokąt sferyczny o czterech równych
bokach, które są tym razem odcinkami prostych. Oznaczmy go jako
Zauważmy jednak, że kąty wewnętrzne
nie są teraz proste
– pary przeciwległych jego boków nie przecinają się prostopadle jak południk
z równoleżnikiem. Kąty wewnętrzne
zmieniają się w zależności
od wielkości czworokąta, czyli – inaczej mówiąc – zależą od długości jego
boku. Na sferze istnieje zatem czworokąt foremny o kątach wewnętrznych
dowolnie wziętych z przedziału
Możemy go podzielić na
cztery przystające czworokąty, ale wówczas nie są one już foremne – nie mają
wszystkich boków i kątów równych. W konsekwencji nie nadają się one do
pomiaru pola na sferze w ten sposób, jak kwadraty na płaszczyźnie. Widzimy,
iż suma miar kątów wewnętrznych czworokąta na sferze nie jest stała
(na dodatek większa niż
).
Przy okazji Czytelnik może zastanowić się nad powstającymi tu pytaniami. Czy można pokryć całą sferę przystającymi wielokątami foremnymi, a w szczególności czworokątami? Jeśli tak, to ile wynosi długość boku i miara kąta wewnętrznego takich wielokątów foremnych, a w szczególności czworokątów? Szukając odpowiedzi, na początek można zacząć od trójkątów.
I tak, na przykład, osiem równobocznych i równokątnych zarazem
trójkątów prostokątnych, z których każdy ma trzy kąty proste, a każdy bok
ma w mierze kątowej długość
pokrywa całą sferę. Obrazowo,
sytuacja taka ma miejsce, gdy weźmiemy pod uwagę trzy okręgi wielkie leżące
we wzajemnie prostopadłych płaszczyznach. Punkty ich przecięcia wyznaczają
wierzchołki owych ośmiu trójkątów sferycznych. Czytelnik Wnikliwy
zauważy, że foremny trójkąt na sferze może mieć różną miarę kąta
wewnętrznego, a same trójkąty nie są wielokątami o minimalnej liczbie
boków, jakie występują na sferze, co także istotnie różni się od sytuacji,
z jaką mamy do czynienia na płaszczyźnie.

Rys. 4 Sześcian sferyczny
Rozważmy teraz sferyczny czworokąt foremny
o kącie
który przedstawia rysunek 4. Czy tym razem możemy nazywać
go sferycznym kwadratem? Gdyby podzielić sferę na sześć takich właśnie
przystających obszarów, to można by ją wówczas określić mianem
sferycznego sześcianu bądź sferycznej kostki. Każda ze ścian zwykłego
(euklidesowego) sześcianu jest przecież kwadratem. Załóżmy, że
każda z jego „ścian” ma inny kolor albo przypisaną różną liczbę
oczek, jak tradycyjna kostka do gry. Taką kostkę moglibyśmy także
wykorzystać do gry, biorąc za wyrzuconą liczbę oczek wartość z tej jej
ściany, do której należy punkt styczności sfery z powierzchnią, na
której się zatrzyma lub jego punkt antypodyczny (przeciwległy), który
łatwiej nam zobaczyć z góry. Jako zadanie dla Czytelnika pozostawiam
znalezienie kątowej długości „krawędzi” takiej kostki, czyli długości boku
rozważanego czworokąta.
Nasuwa się wniosek, iż nie istnieje na sferze czworokąt foremny o kątach
prostych jak kwadrat na płaszczyźnie. Przypomnijmy – w płaskiej geometrii
euklidesowej „bycie czworokątem foremnym” oznacza „bycie kwadratem”.
Wychodząc poza tę geometrię, widzimy, że takiej równoważności pojęć
wcale być już nie musi. Nie możemy więc znaleźć sferycznego
odpowiednika płaskiego kwadratu, który miałby dokładnie takie same
własności, ponieważ nie istnieje on na sferze. Ale czy jest w tym coś złego?
Po prostu jest inaczej. W zasadzie jest kwestią umowy to, czy można używać
określenia „kwadrat sferyczny” dla
o kącie wewnętrznym
mając świadomość tego, że jego cechy są po prostu nieco inne
niż kwadratu na płaszczyźnie.
Zauważmy także, że tradycyjnie jako punkt wyjścia w poszukiwaniu geometrycznych odpowiedników przyjmuje się płaską geometrię euklidesową. Porównuje się z nią i tradycyjnymi pojęciami, prawami w niej uformowanymi, obiekty i prawa innych geometrii, których odpowiedniki nie zawsze istnieją albo się istotnie różnią.
Z kolei wychodząc, na przykład, z geometrii sferycznej i ją traktując jako
punkt odniesienia, można by się zastanowić, jak nazwać figurę dobrze
nam znaną jako płaski kwadrat. O płaskim euklidesowym kwadracie
jedna z definicji, jaką możemy spotkać w literaturze, mówi, iż jest to
czworokąt foremny. Czy foremność czworokąta implikuje miarę jego
kątów wewnętrznych (prostych na płaszczyźnie) jako jego szczególną
własność, czy też miara
jego kątów jest fundamentalną częścią
definicji kwadratu?
I na koniec mała refleksja. W związku ze zbliżającymi się mistrzostwami
Europy w piłce nożnej „Euro 2012” zapewne wielu Czytelników zaglądać
będzie na boiska. Przyjmując, iż przynajmniej w części są one położone na
zakrzywionej powierzchni, np. dla uproszczenia weźmy rozważaną przez nas
sferę, to tak naprawdę nie są one wówczas prostokątami. A to już niemal
skandal! Jeśli linie ograniczające pole boiska nie są odcinkami prostych, ale
przecinają się pod kątem
(sytuacja analogiczna jak w
), to
w szczególności wymiary boiska (liczone liniowo) nie są stałe. Z kolei jeśli
linie te są odcinkami prostych (sytuacja analogiczna jak w
), to
w szczególności kąty narożników boiska, z których wykonuje się rzuty
rożne, nie są proste. Ciekawe, co na to przepisy, trenerzy reprezentacji
i sami zawodnicy?