Doświadczenia myślowe
O wieszaniu bombek na choince
Święta za pasem, więc przygotujmy się nieco do wieszania bombek na choince.

Bryła ograniczona hiperboloidą jednopowłokową ma talię, ale nie jest wypukła.
Nasze bombki są kuliste – nie mają zaczepów, haczyków itp. Będziemy je wieszać za pomocą sztywnych obręczy z drutu w kształcie okręgu. Gdy bombkę uda się opasać obręczą w taki sposób, że nie można jej zsunąć, to cel będzie osiągnięty.
Niestety, bombce brakuje talii (jaką ma np. hiperboloida jednopowłokowa), wokół której da się ją skutecznie opasać. Możemy, oczywiście, wyciąć w bombce hiperboloidalną talię, nawet tak małą, że nikt ze świątecznych gości tego nie zauważy. Byłoby to jednak oszustwo, bo hiperboloidalna talia nie jest wypukła. Bombka z taką talią też by nie była, a na to nie chcemy się zgodzić!
Czy da się tak zdeformować bombkę, żeby pozostała wypukła i dała się skutecznie opasać? Czy istnieją wypukłe talie? Nie ufaj, Czytelniku, intuicji, jeśli podpowiada Ci, że nie, bo...
Talia może być wypukła
Do wykonania wypukłej talii potrzebne nam będzie potężne, ale proste
w użyciu narzędzie teorii zbiorów wypukłych – operacja uwypuklenia,
która każdemu zbiorowi
w przestrzeni przyporządkowuje
zbiór
czyli najmniejszy zbiór wypukły zawierający
Uwypukleniem skończonego zbioru punktów jest wielościan
(wypukły, oczywiście).

Antygraniastosłup ma talię i jest wypukły.
Zbudujmy graniastosłup prawidłowy
-kątny o podstawach
i
Obróćmy podstawę
o kąt
wokół
osi graniastosłupa, otrzymując wielokąt
i przyjrzyjmy się
zbiorowi
Otrzymaliśmy wielościan
wypukły, którego ścianami bocznymi są trójkąty równoramienne. Jeśli
ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to wielościan jest
antygraniastosłupem. Środki jego krawędzi bocznych są wierzchołkami
-kąta foremnego i leżą wewnątrz walca wyznaczonego przez
podstawy
i
(dlaczego?), a zatem okrąg na nich
opisany ma krótszy promień niż promienie okręgów opisanych na
podstawach wielościanu. To zaś oznacza, że skonstruowaliśmy
wypukłą talię!
Wykonanie wypukłej bombki z talią jest teraz proste. Wystarczy wyciąć jej cienki plasterek z okolic równika, umiejętnie wkleić w to miejsce odpowiednią talię i uwypuklić to, co powstało! Jeśli dobrze dobierzemy parametry talii (wysokość i głębokość wcięcia), to otrzymamy bryłę bardzo podobną do kuli. Będzie, co prawda, kanciasta, ale przecież nie można mieć (albo nie mieć) wszystkiego naraz...
A teraz... zagadka z niespodzianką
Przy konstrukcjach geometrycznych, w których występują sparametryzowane
obiekty, warto się czasem zastanowić, co się stanie, gdy parametry przyjmą
wartości graniczne. Np. co będzie, gdy okrąg skurczy się do punktu
lub się wyprostuje
W przypadku konstrukcji talii
parametrem jest liczba
(
) wierzchołków jej podstawy.
Gdy
to talia
coraz bardziej przypomina walec i traci
swoją taliowatość, by ją w granicy stracić całkowicie. Z tej strony zakresu
parametrów nie znajdziemy nic ciekawego.
W talii
też nie ma nic szczególnego. Może się jednak zdarzyć,
że stosunek długości krawędzi podstawy do krawędzi bocznej jest równy
Dolepmy wtedy do podstaw ostrosłupy, których krawędzie
boczne mają długość krawędzi bocznej talii. Otrzymany w ten sposób
wielościan wypukły z talią widujesz, Czytelniku, codziennie. Co to za
bryła?.
To była zagadka, a gdzie jest niespodzianka? Żeby ją znaleźć, trzeba
przekroczyć granicę. Wyobraźmy sobie, że
tzn. konstrukcję talii
zaczynamy od „dwukątów” (czyli odcinków). Jeśli odległość odcinków
dobraliśmy w taki sposób, że
jest antygraniastosłupem, to jest to
wielościan wypukły z talią o sześciu krawędziach równej długości... Oto
obiecana niespodzianka na Święta.