Delta mi!

Niech jednej fali odpowiadają drgania wektora pola elektrycznego a drugiej gdzie jest różnicą faz między drganiami. Drganie wypadkowe będzie dane wzorem

a stąd

Natężenie drgań będzie równe średniej względem czasu wartości czyli

gdzie oznacza średnią względem czasu. Wyrażenie to będzie równe zero niezależnie od wartości przesunięcia fazowego jeżeli iloczyn skalarny będzie równy zero, a to oznacza, że kierunki drgań muszą być względem siebie prostopadłe.

Korzystając z praw Kirchhoffa dla obwodów elektrycznych, znajdujemy, że wartość oporu powinniśmy obliczać według wzorów:
dla metody 1

a dla metody 2

Odwracając obie zależności, otrzymujemy:

oraz

a więc wzory uproszczone prowadzą do wyniku zaniżonego w przypadku metody 1 i zawyżonego w przypadku metody 2. Porównajmy wartości bezwzględne błędów obu metod i zbadajmy, kiedy metoda 1 jest dokładniejsza:

- ta nierówność jest spełniona, gdy

Wypisując równość przybliżoną, skorzystaliśmy z faktu, że

Kondensator ładuje się podczas kontaktu z kulką, bo między końcami przewodzącej nici poruszającej się w polu magnetycznym powstaje różnica potencjałów. Zgodnie z prawem Faradaya, gdy wahadło przechodzi przez położenie równowagi, napięcie między końcami nici wynosi

(1)

gdzie jest prędkością kątową wahadła w najniższym położeniu. Otrzymujemy ją z zasady zachowania energii, stosując przybliżenie małych kątów

(2)

Podczas ładowania kondensatora część energii kinetycznej wahadła zamienia się na energię pola elektrycznego w kondensatorze oraz wydziela się w postaci ciepła :

(3)

Prędkość kątowa wahadła maleje do wartości Czas kontaktu kulki z kondensatorem jest bardzo krótki, możemy więc przyjąć, że napięcie nie zmienia się podczas ładowania kondensatora. Źródło tego napięcia wykonuje zatem pracę gdzie jest ładunkiem, do jakiego naładował się kondensator. Stąd

(4)

Nową amplitudę kątową wahadła znajdujemy z równania Uwzględniając (2), (3) i (4), dostajemy

Rys. 2

Rozważmy najpierw obwód przedstawiony na rysunku 2. Po zamknięciu klucza w chwili natężenie prądu płynącego przez cewkę i ładunek na kondensatorze są równe zeru. Spełnione są równania

gdzie W obwodzie zachodzą drgania harmoniczne. Natężenie prądu płynącego przez cewkę osiąga maksymalną wartość, gdy znika jego pochodna po czasie, napięcie na kondensatorze równe jest wtedy sile elektromotorycznej źródła Kondensator ładuje się dalej kosztem energii pola magnetycznego w cewce. Gdy natężenie prądu spada do zera, ładunek na kondensatorze osiąga maksymalną wartość Zgodnie z zasadą zachowania energii mamy czyli maksymalne napięcie na kondensatorze wynosi

W obwodzie przedstawionym na rysunku 1 dioda zaczyna przewodzić prąd, gdy napięcie na kondensatorze jest większe niż Gdy przez źródło o sile elektromotorycznej nie przepłynie żaden ładunek.

Niech Gdy napięcie na kondensatorze osiąga wartość prąd płynie przez diodę kosztem energii pola magnetycznego w cewce zgodnie z równaniem czyli natężenie prądu maleje liniowo w czasie. Do chwili, gdy jego wartość spadnie do zera, napięcie na kondensatorze nie zmienia się. Oznaczmy przez szukany ładunek przepływający przez źródło o sile elektromotorycznej Od chwili zamknięcia klucza do chwili, kiedy przez diodę przestaje płynąć prąd, przez źródło przepływa ładunek Bilans energetyczny dla całego procesu ma postać Stąd

Pole elektrostatyczne układu jest złożeniem pola od kuli dielektrycznej i pola od uziemionej sfery.

Oznaczmy natężenie pola od kuli przez gdzie jest odległością od środka kuli. Dla mamy zgodnie z prawem Gaussa czyli pole

jest takie, jak od ładunku punktowego równego ładunkowi kuli i umieszczonego w środku kuli. Potencjał od kuli w rozważanym obszarze jest również taki, jak od ładunku punktowego i wynosi

Dla mamy Aby otrzymać potencjał w tym obszarze, do potencjału

musimy dodać pracę pola elektrycznego przy przenoszeniu jednostkowego ładunku z punktu oddalonego o od środka kuli do punktu na powierzchni kuli:

Pole od uziemionej sfery dla dane jest wzorem

gdzie jest ładunkiem indukowanym na sferze. Potencjał w tym obszarze jest równy Wypadkowy potencjał uziemionej sfery to

stąd szukany ładunek indukowany wynosi

Z zasady zachowania energii mamy związek

gdzie jest napięciem na kondensatorze po upływie czasu Gdy kondensator rozładowuje się przez opornik, natężenie prądu maleje wykładniczo w czasie

Moc chwilowa jest iloczynem kwadratu napięcia początkowego i funkcji czasu, zatem stosunek energii wydzielonych na oporniku w jednakowych przedziałach czasowych jest proporcjonalny do kwadratów napięć początkowych Szukana pojemność kondensatora wynosi

Kulka, dzięki zapasowi energii kinetycznej, będzie wykonywała pracę przeciw siłom pola elektrycznego ( - ładunek kulki, - przebyta przez nią różnica potencjałów). Energia kulki będzie malała zgodnie ze wzorem

Kulka dosięgnie sfery, jeżeli na jej powierzchni prędkość jest nieujemna. Dla granicznego przypadku mamy więc gdzie - potencjał sfery (przyjęliśmy, że potencjał odległego punktu wystrzelenia kulki wynosi zero). Korzystając z tego, że potencjał sfery wyraża się jako gdzie to promień sfery, otrzymamy

Jeżeli sfera będzie miała mniejszy promień, kulka do niej nie doleci. Zatrzyma się w odległości 54 cm od środka sfery i poleci z powrotem.

Gdy pręt obraca się z prędkością kątową w wyniku zmiany strumienia pola magnetycznego przez powierzchnię obwodu powstaje siła elektromotoryczna indukcji, której wartość wynosi

Natężenie prądu w obwodzie dane jest wzorem Warunek równowagi momentów sił działających na obracający się ze stałą prędkością kątową pręt ma postać stąd Z porównania wzorów na natężenie prądu otrzymujemy ustaloną prędkość kątową pręta:

Podłączamy szeregowo do źródła prądu opór i amperomierz; następnie podłączamy woltomierz równolegle do amperomierza i notujemy wskazania obu przyrządów, tj. napięcie i prąd a następnie podłączamy woltomierz równolegle do oporu i rejestrujemy napięcie i prąd Pierwszy pomiar pozwala wyznaczyć opór wewnętrzny amperomierza, a drugi sumę oporu i :

Zgodnie z prawem Faradaya spadek napięcia na cewce

gdzie - szybkość zmian strumienia pola magnetycznego przez cewkę, - szybkość zmian natężenia prądu w cewce ( małe). Ponieważ prąd w cewce ma rosnąć proporcjonalnie do czasu, napięcie nie zmienia się w czasie i w dowolnym momencie wynosi Napięcie na kondensatorze, które jest równe napięciu na cewce, także pozostaje stałe i wynosi

gdzie - początkowy ładunek na kondensatorze, - ładunek, który wypłynął z kondensatora w czasie -pojemność kondensatora w momencie Z równości dostajemy Ładunek, który wypłynął z kondensatora w czasie wynosi

gdzie - średnia wartość natężenia prądu w czasie Z warunku stałości napięcia na kondensatorze znajdujemy szukaną zależność pojemności od czas

Zauważmy, że wynik jest prawdziwy dla

to mniej niż 1/15 masy spoczynkowej protonu, a więc do oszacowań możemy zastosować przybliżenie nierelatywistyczne. Oddziaływanie z polem prostopadłym do toru jest źródłem siły dośrodkowej. Mamy więc: w przypadku pola elektrycznego i w przypadku pola magnetycznego, gdzie oznacza ładunek elementarny, a - prędkość protonów. Po skorzystaniu z faktu, że otrzymujemy:

Po podstawieniu danych liczbowych mamy i Pole elektryczne o otrzymanym natężeniu jest technicznie nieosiągalne, natomiast wartość odpowiada w przybliżeniu indukcji tuż przy biegunie magnesu neodymowego używanego, na przykład, do pokazów.

Rozumowanie przeprowadzimy dla nieskończenie długiej wiązki. Protony poruszają się ze stałą prędkością równolegle do osi wiązki, a więc składowe pól i wzdłuż wiązki są równe zeru. Z symetrii układu wynika, że dla każdej wartości różne od zera mogą być tylko składowa pola prostopadła do osi wiązki, skierowana od osi wiązki na zewnątrz i składowa pola prostopadła do pola i do prędkości Wartości i są przy tym jedynie funkcjami odległości od osi wiązki. Na podstawie prawa Gaussa (obliczamy strumień przez powierzchnię walca) mamy

gdzie oznacza ładunek protonu, to przenikalność dielektryczna próżni, a - "grubość plasterka" wiązki. Prawo Ampère'a (obliczamy krążenie wzdłuż okręgu o środku w centrum wiązki) prowadzi natomiast do równania

w którym jest przenikalnością magnetyczną próżni. Podstawiając otrzymane w ten sposób wartości i do wzoru na siłę Lorentza, otrzymujemy, że na proton wiązki działa siła prostopadła do osi wiązki i skierowana na zewnątrz wiązki:

Jak widać, wiązka jest niestabilna, tzn. bez zewnętrznych pól przeciwdziałających obliczonej powyżej sile protony wiązki będą się rozbiegać.

Gdy płytka wysunięta jest z kondensatora na odległość pojemność kondensatora wynosi energia ładunek na okładkach Oznaczając przez zmianę energii kinetycznej kondensatora, gdy położenie płytki zmienia się o możemy napisać bilans energii:

gdzie jest pracą źródła. Stąd

Rys. 1

Rys. 2

Gdy jest małe, możemy przyjąć, że siła działająca na dielektryk wzdłuż osi nie zmienia się, zatem Dla dodatnich energia kinetyczna maleje, dielektryk jest więc wciągany do kondensatora siłą o stałej wartości

jego położenie opisane jest wzorem prędkość gdzie Dielektryk wykonuje więc drgania wokół położenia równowagi dla gdzie prędkość osiąga maksymalną wartość Okres drgań wynosi Zależność położenia i prędkości dielektryka od czasu przedstawiona jest na wykresach (rysunki 1 i 2), wykres położenia składa się z fragmentów parabol.

Szukane pole magnetyczne ma linie równoległe do ponieważ wewnątrz powierzchni walcowej nie płynie żaden prąd. Jeżeli elektron porusza się po okręgu o promieniu i ma w danej chwili prędkość to działająca na niego siła dośrodkowa jest siłą Lorentza: zatem jego prędkość rośnie liniowo w czasie. Prędkość tę uzyskuje elektron dzięki sile elektrycznej Wektor natężenia pola elektrycznego o długości jest styczny do okręgu. Z prawa Maxwella wiemy, że krążenie pola elektrycznego wzdłuż okręgu o promieniu ma wartość bezwzględną

gdzie jest zmianą w czasie strumienia pola przez powierzchnię objętą okręgiem, jest zmianą strumienia szukanego pola Ponieważ nie zależy od czasu, musi być liniową funkcją czasu:

Wartość szukanego pola magnetycznego dana jest wzorem:

zwrot linii pola magnetycznego jest zgodny z

Przed zamknięciem klucza energia naładowanego kondensatora wynosi , a jego ładunek jest równy Po zamknięciu klucza napięcie na równolegle połączonych kondensatorach ma wartość Energia układu kondensatorów wynosi i jest mniejsza od początkowej o wielkość , równą całkowitemu wydzielonemu ciepłu Natężenie prądu płynącego przez oba oporniki podczas przeładowywania kondensatorów jest w każdej chwili jednakowe, zatem ciepło wydzielone na oporze dane jest wzorem Ostatecznie

gdzie

Oznaczmy współczynnik samoindukcji uzwojenia pierwotnego w pierwszym przypadku przez w drugim przez Współczynnik samoindukcji cewki jest proporcjonalny do przenikalności magnetycznej rdzenia, stąd Uzwojenie możemy traktować jako połączenie szeregowe oporu czynnego oraz indukcyjnego gdzie jest częstością napięcia zasilającego. Amplituda napięcia na oporze indukcyjnym wynosi

Ponieważ zakładamy, że strumienie pola magnetycznego przez uzwojenia pierwotne i wtórne są jednakowe, zachodzi związek stąd

Po zamianie rdzenia amplituda napięcia na otwartym uzwojeniu wtórnym dana jest wzorem

Widać stąd, że dla normalnej pracy transformatora konieczne jest, aby opór czynny uzwojenia pierwotnego był niewielki w porównaniu z oporem indukcyjnym.

W obu przypadkach (kondensatora i przewodnika) przebieg linii sił pola elektrycznego jest taki sam: wektor natężenia pola elektrycznego w każdym punkcie powierzchni każdej z elektrod jest do tej powierzchni prostopadły, a jego wartość jest proporcjonalna do napięcia między elektrodami. Powierzchniowa gęstość ładunku w każdym punkcie elektrody kondensatora jest równa gdyż przenikalność elektryczna powietrza jest praktycznie równa przenikalności próżni. Normalna składowa gęstości prądu jest także proporcjonalna do wartości pola i jest równa W związku z tym, przy tym samym napięciu całkowity ładunek zgromadzony na powierzchni elektrod jest proporcjonalny do całkowitego prądu który popłynie po wypełnieniu kondensatora roztworem soli. Otrzymujemy więc:

Po podstawieniu danych liczbowych

Rys. 1

Podczas obrotu pierścienia zmienia się strumień pola magnetycznego Ziemi przez jego powierzchnię i w chwili wynosi W pierścieniu powstaje prąd indukcyjny o natężeniu

Prąd ten wytwarza pole magnetyczne, którego wektor indukcji w środku pierścienia jest prostopadły do płaszczyzny pierścienia, obraca się razem z pierścieniem i ma wartość

Igiełka magnetyczna ustawi się wzdłuż wypadkowego, uśrednionego w czasie pola magnetycznego. Aby je wyznaczyć, rozkładamy wektor na składowe - równoległą i prostopadłą do wektora (Rys. 1). Składowe mają wartości

Rys. 2

Po uśrednieniu po czasie składowa równoległa znika, wartość średnia składowej prostopadłej wynosi

Igiełka magnetyczna odchyla się od pierwotnego kierunku o kąt (Rys. 2), gdzie

Układ jest symetryczny względem płaszczyzny zawierającej krawędzie i :

Potencjały węzłów na prostych i są jednakowe i równe

gdzie i są potencjałami punktów i Zatem krawędzie między tymi węzłami można usunąć. Równoważny obwód składa się z dwóch nieskończonych obwodów połączonych równolegle i równoległego do nich opornika Opór każdego z nieskończonych obwodów nie zmieni się, gdy dodamy do niego jeden z powtarzających się elementów. Wynika stąd równanie:

Szukany opór zastępczy całego obwodu otrzymujemy z równania:

Wynosi on

Oznaczmy ładunki na kulach o promieniach i odpowiednio przez i Zachodzi związek

(1)

Kule połączone drutem tworzą jeden przewodnik, więc ich potencjały są jednakowe:

(2)

gdzie jest ładunkiem indukowanym na uziemionej sferze. Potencjał sfery jest równy zeru:

Stąd mamy Podstawiając to do (2) i uwzględniając warunek otrzymujemy związek:

Uwzględniając (1), otrzymujemy:

Zależność

można zapisać jako

Oznacza to, że zmodulowana amplitudowo fala stanowi sumę trzech monochromatycznych fal o częstościach i Energie fotonów odpowiadające każdej z tych fal wynoszą odpowiednio:

Ponieważ energia jonizacji atomu wodoru jest większa od energii i energii to fale o częstościach i nie mogą spowodować jonizacji atomu wodoru, natomiast może ją spowodować fala o częstości Maksymalna energia "wybitych" przez odpowiadające jej fotony elektronów będzie równa

Po zamknięciu klucza kondensator nie ładuje się, bo napięcie między końcami cewki o współczynniku samoindukcji wynosi 0, a przez cewkę o współczynniku samoindukcji nie płynie prąd, gdyż zmiana natężenia prądu indukowałaby siłę elektromotoryczną na bezoporowej cewce. Po otwarciu obwodu zewnętrznego, oznaczając natężenia prądów jak na rysunku, mamy dla lewego oczka:

z warunkami początkowymi Stąd Ponieważ elementy obwodu uważamy za idealne, w obwodzie nie ma strat energii:

Gdy natężenia prądów w cewkach mają te same wartości kondensator nie ładuje się ani nie rozładowuje i napięcie na nim jest maksymalne. Stąd Natężenia prądów w cewkach są maksymalne, gdy ich pochodne, a tym samym siły elektromotoryczne samoindukcji są równe zeru. W tym momencie znika również napięcie na kondensatorze połączonym równolegle z cewkami i cała energia skupiona jest w cewkach:

Stąd

Natężenie pola elektrycznego między płytkami 2 i 3 wynosi zero, bo są one połączone przewodnikiem i ich potencjały są jednakowe. Ze względu na duże rozmiary płytek w porównaniu z odległościami między nimi możemy przyjąć, że pole elektryczne wytwarzane przez płytkę jest takie, jak od nieskończonej powierzchni. Z prawa Gaussa natężenie pola od pierwszej płytki wynosi

natężenie od drugiej i trzeciej płytki w obszarze między nimi

gdzie oznacza ładunek na trzeciej płytce równy co do wartości i o przeciwnym znaku niż ładunek na płytce drugiej. Wektory i w obszarze między płytkami mają przeciwne zwroty i jednakowe wartości. Stąd

Płytka środkowa jest przyciągana przez płytki zewnętrzne siłami

Wypadkowa siła skierowana jest do pierwszej płytki i ma wartość

Szukana siła wynosi gdzie jest ciśnieniem wywieranym od wewnątrz na powierzchnię sfery, wywołanym oddziaływaniem ładunków. Aby wyznaczyć należy obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, zmniejszając promień sfery o małą wielkość :

Praca ta powoduje zwiększenie energii elektrostatycznej sfery. Energia elektrostatyczna sfery o promieniu naładowanej ładunkiem wynosi

gdzie jest pojemnością sfery. Stąd

Ponieważ więc mamy

Szukana siła jest równa

Dla prądu płynącego wzdłuż krzywej siła elektrodynamiczna działająca na element prądu jest dana iloczynem wektorowym Ze względu na kształt rozważanego obwodu elektrycznego sumy składowych elementów prądu o zwrocie i muszą mieć taką samą wartość, a w konsekwencji składowa wypadkowej siły elektrodynamicznej wyniesie zero. Natomiast suma wszystkich składowych elementów prądu musi być skierowana od do i musi być równa całkowitemu prądowi, przepływającemu przez płytkę, a długość składowej dowolnej drogi przepływu prądu musi być równa Stąd siła działająca na płytkę to gdzie prąd Masa płytki wynosi Z II zasady dynamiki dostajemy

Przed umieszczeniem na kuli ładunku przyciąga się ona z cząstką w wyniku wyindukowania ładunku na jej powierzchni. Niech siła ta wynosi Jeżeli ładujemy kulę kolejno ładunkiem to pojawia się dodatkowa siła odpychania odpowiednio Znajdując wypadkową siłę działającą pomiędzy kulą i cząstką, w każdym z tych przypadków, dostajemy

oraz

Stąd ostatecznie Zauważmy, że siła ta może być siłą przyciągania albo odpychania.

Podczas spadania zmienia się strumień pola magnetycznego przez powierzchnię pierścienia i powstaje siła elektromotoryczna indukcji

Energia potencjalna ciężkości zamienia się na ciepło wydzielone w pierścieniu oraz energię kinetyczną pierścienia:

Dla małych przedziałów czasowych mamy:

gdzie jest przyspieszeniem pierścienia. Równanie ruchu pierścienia ma postać: gdzie

jest szukaną siłą hamującą. Jakie jest pochodzenie tej siły? Siła elektrodynamiczna, działająca na pierścień w polu magnetycznym o liniach pionowych, działa w płaszczyźnie pierścienia i nie wpływa na jego ruch. Jednak w sytuacji opisanej w zadaniu pole magnetyczne musi mieć składową leżącą w płaszczyźnie pierścienia i prostopadłą do pierścienia. W przeciwnym przypadku strumień pola magnetycznego przez powierzchnię walcową o osi pionowej byłby różny od zera. Ponieważ płaszczyzna pierścienia pozostaje pionowa, pole musi być symetryczne względem osi pierścienia. Zgodnie z prawem Gaussa

gdzie jest poziomą składową pola magnetycznego, prostopadłą do pierścienia. Siła elektrodynamiczna hamująca pierścień to

Ten sam wynik otrzymamy, traktując pierścień z prądem jako dipol o momencie magnetycznym

gdzie jest ładunkiem magnetycznym dipola. Siła hamująca wynosi

Rys. 1

Rys. 2

Z symetrii obwodu względem linii  wynika, że potencjały punktów symetrycznych względem tej linii są jednakowe. Na tej podstawie możemy rozpatrywany obwód zastąpić obwodem, który z kolei można zwinąć do postaci z rysunku 2 i znaleźć oporność pomiędzy punktami   i 

Aby znaleźć   korzystamy z faktu, że oporność nieskończonego obwodu jest taka sama z pierwszym jego ogniwem i bez niego. Stąd

więc

skąd

Podstawiając tę wartość do wzoru na   znajdujemy