Delta mi!

Energia fotonu o pędzie  wynosi  W związku z tym pochłanianie przez Ziemię promieniowania słonecznego związane jest z pochłanianiem strumienia pędu równego  Związane z pochłanianiem pędu promieniowania siła  odpychająca od Słońca Ziemię o promieniu   wynosi więc  N. Siła  przyciągania Ziemi i Słońca wynosi:

gdzie  oznacza masę Słońca, a   masę Ziemi. Przyspieszenie Ziemi w ruchu dookoła Słońca wynosi  a masę Ziemi możemy zastąpić wyrażeniem  Po podstawieniu tych wielkości otrzymujemy, że stosunek siły z jaką promieniowanie Słońca odpycha Ziemię do siły przyciągania Ziemia-Słońce wynosi:

Niech  oznacza kierunek prostopadły do ścianki,  gęstość fotonów, a   średnią energię fotonu. Zderzając się sprężyście ze ścianką foton o pędzie  padający pod kątem  przekazuje jej pęd  W jednostce czasu   z każdego kierunku tworzącego kąt  z normalną do każdego elementu ścianki o powierzchni  dolatuje więc

fotonów – uwzględniony został izotropowy rozkład kierunków ruchu fotonów (czynnik  w mianowniku). Biorąc pod uwagę, że dla fotonu  gdzie  jest prędkością światła, siła nacisku na ściankę równa jest przekazowi pędu w jednostce czasu, a ciśnienie jest stosunkiem siły nacisku do pola powierzchni, i sumując po wszystkich kątach padania, otrzymujemy:

Ostatecznie

Wynik ten możemy uzyskać bez całkowania: w sześciennym naczyniu dla ustalonej ściany średnio 1/6 fotonów porusza się w jej kierunku, przekazując jej przy zderzeniu pęd

Dopóki wyłącznik jest zamknięty przez opór   i cewkę, płynie prąd

(przez opory  i   prąd nie płynie, bo spadek napięcia na cewce jest równy zeru). Po otwarciu wyłącznika energia elektryczna zgromadzona w cewce wydziela się w postaci ciepła

na oporach  i  (przez opór   prąd nie płynie).

Opory  i   są połączone równolegle, więc spadki napięcia na nich są równe  Ilość ciepła, jaka wydzieli się w każdym z nich w ciągu krótkiego czasu   będzie równa odpowiednio

stąd  Równocześnie  Ostatecznie więc

Podstawiając z warunków zadania  otrzymujemy ostatecznie:  

W następstwie zjawiska fotoelektrycznego na kulce zbiera się ładunek dodatni, który wytwarza pole hamujące fotoefekt. Wielkość potencjału kulki   można wyrazić poprzez jej ładunek   zależnością  gdzie  jest pojemnością kulki. Maksymalny potencjał kulki   zależy od początkowej energii kinetycznej elektronów. Ponieważ zmiana energii kinetycznej elektronów jest równa pracy sił pola wytwarzanego przez kulkę, to przyjmując, że w nieskończoności potencjał pola kulki i prędkość elektronu wynoszą zero i uwzględniając fakt, że ładunek elektronu jest ujemny, można napisać:

czyli

(1)

Ze wzoru Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego mamy

(2)

gdzie  to stała Plancka,  – częstość światła. Podstawiając (2) do (1), dostajemy

W naszym przypadku

Układ możemy traktować jako połączenie równoległe opornika o oporze przez który płynie prąd o natężeniu i kondensatora o pojemności przez który płynie prąd o natężeniu przy czym Napięcia na oporniku i kondensatorze są jednakowe:

gdzie jest przesunięciem fazowym między napięciem i natężeniem prądu całkowitego a szukaną amplitudą napięcia. Ładunek na kondensatorze wynosi stąd

Natężenie prądu płynącego przez opornik

Wprowadźmy wektory o długościach oraz które tworzą ze sobą kąt i obracają się wokół wspólnego punktu zaczepienia z prędkością kątową tak, że ich rzuty na wyróżnioną oś wynoszą oraz Wtedy wektor będący ich sumą wektorową ma długość

Szukane napięcie na kondensatorze wynosi

Oznaczmy przez  czas, w którym następuje wyłączenie zewnętrznego pola magnetycznego. Zmiana strumienia tego pola przez powierzchnię przekroju poprzecznego walca powoduje powstanie stycznego do powierzchni walca pola elektrycznego, które działa na ładunek na powierzchni walca i wywołuje jego obrót. Z kolei poruszający się ładunek powierzchniowy wytwarza wewnątrz walca dodatkowe pole magnetyczne, które zgodnie z regułą przekory rośnie w czasie i skierowane jest zgodnie z polem   Oznaczmy maksymalną wartość wektora tego pola przez   Zgodnie z prawem Faradaya

gdzie przez  oznaczyliśmy krążenie pola elektrycznego   wzdłuż okręgu o promieniu   otaczającego przekrój poprzeczny walca, a przez  strumień pola magnetycznego przez powierzchnię tego przekroju. Wartość indukowanego pola magnetycznego, gdy obracający się walec osiągnie końcową prędkość kątową   wynosi  gdzie  jest natężeniem prądu na jednostkę długości walca. Średni moment siły zwiększający prędkość kątową walca w czasie   dany jest wzorem  gdzie  jest całkowitym ładunkiem na powierzchni walca o długości   Równanie ruchu obrotowego walca ma postać

Moment bezwładności pełnego walca to

zaś  Wstawiając natężenie pola   z prawa Faradaya do równania ruchu obrotowego, otrzymujemy szukaną prędkość kątową:

Rozważmy sytuację, gdy poziom cieczy w kondensatorze znajduje się na wysokości  nad poziomem cieczy w naczyniu. Siła elektryczna  spowodowana niejednorodnością pola elektrycznego na brzegu kondensatora, pracując na małym odcinku (dla którego można przyjąć, że wartość siły nie zmienia się), powoduje zmniejszenie energii elektrycznej kondensatora:  gdzie  zaś  jest pojemnością zastępczą dwóch kondensatorów połączonych równolegle – powietrznego o wysokości  oraz wypełnionego dielektrykiem o wysokości  Wyrażenie na siłę elektryczną możemy obliczyć bezpośrednio z wzoru  przy  lub obliczyć pochodną

gdzie  jest szerokością okładek kondensatora, zaś  odległością między okładkami. Wartość siły grawitacji działającej na ciecz wciągniętą do kondensatora wynosi  Z warunku równowagi sił elektrycznej i grawitacyjnej dla  otrzymujemy szukaną wartość ładunku

Zadanie można też rozwiązać, poszukując minimum energii układu.

Postać transformacji pól nie zależy od tego, z jakich źródeł pochodzą. Możemy więc dla uproszczenia wyobrazić sobie, że pole, które bada pierwszy obserwator, zostało wytworzone przez spoczywającą względem niego jednorodnie naładowaną płaszczyznę. Ze względu na tzw. skrócenie Lorentza obserwator poruszający się z prędkością  równoległą do naładowanej płaszczyzny stwierdzi, że powierzchniowa gęstość zgromadzonego na niej ładunku wynosi

(gdzie oznacza prędkość światła), a więc mierzona przez niego wartość składowej natężenia pola elektrycznego prostopadłej do płaszczyzny to

gdzie oznacza wartość mierzoną w układzie spoczynkowym płaszczyzny.

Dla obserwatora poruszającego się z prędkością prostopadłą do płaszczyzny gęstość ładunku będzie taka sama, jak w układzie spoczynkowym płaszczyzny, a więc zmierzy on także takie samo natężenie pola, jak mierzone w układzie spoczynkowym.

Łącząc oba wnioski, stwierdzamy, że drugi obserwator (poruszający się z prędkością ) zmierzy taką samą wartość składowej pola równoległej do jego kierunku ruchu, jak obserwator spoczywający i razy większą wartość składowej prostopadłej.

Wykonana praca  powoduje wzrost energii potencjalnej ciężkości zawieszonej kulki oraz energii potencjalnej oddziaływania elektrostatycznego między kulkami  gdzie  są ładunkami kulek, a   końcową odległością między kulkami. Z podobieństwa trójkątów przedstawionych na rysunku otrzymujemy  gdzie  jest siłą elektrostatycznego oddziaływania między kulkami w stanie równowagi. Zachodzi też związek  stąd  Energia oddziaływania elektrostatycznego między kulkami wynosi  a szukana praca

Zgodnie z prawem Faradaya siła elektromotoryczna jest równa

gdzie to strumień wektora indukcji magnetycznej. Z warunków zadania mamy a więc gdzie jest polem powierzchni ograniczonej obręczą. Ze względu na symetrię zagadnienia wartość pola elektrycznego w każdym punkcie obręczy jest taka sama. Ponieważ wartość liczbowa siły elektromotorycznej indukcji jest z definicji równa wykonanej przez zewnętrzne źródło energii pracy potrzebnej na jednokrotny obieg obwodu przez jednostkowy ładunek elektryczny, więc zachodzi związek Stąd

i ostatecznie

W poruszającym się pręcie indukuje się siła elektromotoryczna indukcji. Jej wartość, zgodnie z prawem Faradaya, wynosi  gdzie  jest chwilową prędkością pręta. Na pręt, w którym płynie prąd indukcyjny, działa hamująca siła elektrodynamiczna o wartości  Zgodnie z drugą zasadą dynamiki  i możemy napisać:

Wyrażenie  jest drogą przebytą w przedziale czasu  Po zsumowaniu otrzymujemy  Szukana droga przebyta przez pręt wynosi  Chwilowe natężenie prądu indukcyjnego w obwodzie dane jest wzorem  a z definicji natężenia prądu  gdzie  jest ładunkiem przepływającym w czasie  przez opór. Stąd dla krótkich przedziałów czasowych mamy  Po zsumowaniu i uwzględnieniu poprzednich wyników otrzymujemy szukany ładunek równy

W chwili początkowej na wewnętrznej powierzchni wydrążonej kuli indukuje się ładunek  a na powierzchni zewnętrznej  ponieważ w przewodniku nie ma pola elektrycznego. Energia początkowa układu jest sumą energii kinetycznej cząstki, energii  oddziaływania elektrostatycznego cząstki z ładunkami indukowanymi oraz energii  oddziaływania między ładunkami indukowanymi.  gdzie  gdzie  jest napięciem między sferami o promieniach  i   związanym tylko z ładunkami na sferach. Potencjał sfery wewnętrznej wynosi  potencjał sfery zewnętrznej  Po oddaleniu się cząstki do nieskończoności energia układu wynosi zero i z zasady zachowania energii otrzymujemy szukaną prędkość:

Układ oporów jest symetryczny względem prostej, przechodzącej przez punkty i Wynika stąd, że potencjał odpowiadających sobie punktów leżących powyżej i poniżej tej prostej jest taki sam, tzn. Łącząc punkty o jednakowym potencjale i zastępując równocześnie opory, które zostaną przy tym połączone równolegle, dostaniemy obwód zastępczy:

Korzystając z kolei z symetrii części obwodu w kształcie rombu, dostajemy obwód zastępczy:

a stąd znajdujemy poszukiwaną oporność zastępczą

W chwili początkowej na elektron działa siła elektryczna skierowana w górę i siła magnetyczna skierowana w dół. Rozważmy przypadek, gdy siły te równoważą się, czyli prędkość elektronu wynosi  W układzie  związanym z kondensatorem elektron porusza się wtedy ruchem prostoliniowym z prędkością  W układzie odniesienia  poruszającym się względem  z prędkością  elektron ten spoczywa, czyli siła magnetyczna na niego nie działa. Oznacza to, że w układzie  nie może również działać siła elektryczna, czyli w układzie tym nie ma pola elektrycznego. Elektron wylatujący z punktu  z prędkością  ma w układzie  prędkość  i porusza się po okręgu o promieniu  stycznym do prostej równoległej do prędkości (  i   oznaczają odpowiednio masę i wartość bezwzględną ładunku elektronu). Ponieważ mamy do czynienia z przypadkiem nierelatywistycznym, wektor indukcji pola magnetycznego w układzie  nadal wynosi (patrz zadanie 560). W układzie związanym z kondensatorem ruch elektronu jest złożeniem ruchu po okręgu oraz ruchu postępowego z prędkością  Elektron przeleci przez kondensator bez kontaktu z okładkami, gdy  Zatem prędkość elektronu musi spełniać warunki:

Niech układ  porusza się z prędkością  względem układu inercjalnego  Rozważmy ładunek punktowy  spoczywający w początku układu  Pole elektryczne od tego ładunku w punkcie opisanym wektorem położenia  ma postać:  W układzie  ładunek  porusza się prędkością  i w przybliżeniu nierelatywistycznym możemy go potraktować jako stały prąd elektryczny. Natężenie prądu dane jest wzorem  gdzie  jest czasem, w którym ładunek przemieszcza się o   Stąd  Zgodnie z prawem Biota–Savarta pole magnetyczne wytworzone w układzie  przez poruszający się ładunek ma postać:

Gdy w pierwotnym układzie  obok pola elektrycznego występuje również pole magnetyczne  pole magnetyczne w układzie  ma postać:

Jest to wzór przybliżony, słuszny jedynie dla  kiedy możemy zaniedbać opóźnienie związane ze skończonym rozchodzeniem się sygnału elektromagnetycznego. Otrzymany wzór pokazuje, że w przybliżeniu nierelatywistycznym pole magnetyczne nie zmienia się przy przejściu z jednego układu inercjalnego do innego.

Ponieważ odległość satelity od detektora jest dużo większa niż  możemy przyjąć, że wiązka promieniowania wysyłanego przez satelitę jest równoległa. Do odbiornika w punkcie  docierają promienie biegnące bezpośrednio od satelity i odbite od powierzchni jeziora, jak na rysunku. Punkty  i   leżą na tej samej powierzchni falowej i mają zgodną fazę. Ich różnica dróg jest równa  Jeden z promieni odbija się od ośrodka, w którym prędkość rozchodzenia się fali jest mniejsza niż w powietrzu. Powoduje to zmianę fazy o   odpowiadającą przebytej drodze  Uwzględniając to, otrzymujemy wzór na maksima interferencyjne:

Siła oddziaływania między dwoma ładunkami nie może zależeć od wyboru jednostek. Pisząc zatem ogólnie, mamy

Oznaczając primami wielkości pisane w konwencji anglosaskiej (np. układ jednostek CGSE lub Gaussa), mamy

Stąd:

gdzie  jest przenikalnością magnetyczną próżni. Podstawiając wartości liczbowe dla ładunku elementarnego, otrzymujemy

Załóżmy, że na krowie zgromadzony jest ładunek  Wytwarza on pole elektryczne o natężeniu

gdzie  jest odległością od środka krowy. Gęstość energii pola elektrycznego wyraża się wzorem

skąd obliczamy całkowitą energię pola, równą

(dla  otrzymujemy znany problem nieskończonej energii ładunku punktowego). Skoro krowa jest elementarna, to z zasady ekwipartycji energii „należy się” jej  na każdy stopień swobody. Dla ruchu dwuwymiarowego otrzymujemy więc  co dla  i   daje  czyli kilka tysięcy ładunków elementarnych.

Załóżmy, że natężenie prądu w obwodzie po zamknięciu klucza jest większe od  czyli spełniony jest warunek  Podczas ładowania kondensatora natężenie prądu maleje i w pewnym czasie  dopóki nie osiągnie wartości  napięcie na diodzie ma stałą wartość  Ładunek, którym naładuje się w tym czasie kondensator, wynosi  Zgodnie z zasadą zachowania energii:

gdzie  jest ciepłem wydzielonym na oporze  w czasie  W czasie  gdy natężenie prądu w obwodzie jest mniejsze niż  i maleje do zera, napięcie na diodzie maleje liniowo z natężeniem prądu, czyli jej opór  jest stały. Ładunek, który przepływa w tym czasie w obwodzie, wynosi  gdzie końcowy ładunek na kondensatorze to  Energia wydzielona w tym czasie w obwodzie równa jest pracy źródła i wynosi

gdzie  jest ciepłem wydzielonym na diodzie, a   ciepłem wydzielonym na oporze  w czasie  Ponieważ dioda i opornik są połączone szeregowo i w każdej chwili płynie przez nie prąd o tym samym natężeniu, zachodzi związek  Całkowite ciepło wydzielone na oporze  w czasie  wynosi

Gdy pręt zaczyna opadać pod wpływem siły ciężkości, między punktami styku z szynami powstaje siła elektromotoryczna indukcji  gdzie  jest szybkością zmian położenia pręta. Prąd indukcyjny płynie w takim kierunku, żeby przeciwdziałać zmianom strumienia pola magnetycznego, które go wywołują, czyli siła elektrodynamiczna działająca na pręt ma zwrot przeciwny do siły ciężkości. Równanie ruchu pręta ma więc postać  gdzie  jest natężeniem prądu w obwodzie. Możemy też napisać drugie prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego pręt i cewkę:  Uwzględniając warunki początkowe  oraz  otrzymujemy  Wstawiając otrzymane stąd wyrażenie na natężenie prądu do równania ruchu, możemy zapisać je w postaci

Jest to równanie oscylatora harmonicznego. Pręt drga wokół położenia równowagi, którego współrzędna wynosi

Siła elektrodynamiczna w tym położeniu równoważy siłę ciężkości. Zależność położenia pręta od czasu dana jest wzorem  gdzie częstość drgań jest równa  Zależność prędkości od czasu ma postać  Amplitudę drgań  i fazę początkową  możemy wyznaczyć z warunków początkowych:  oraz  Uwzględniając, że  otrzymujemy  oraz  Ostatecznie zależność położenia pręta od czasu ma postać

Ponieważ opór ogniwa jest zaniedbywalny, suma spadków napięć na obu opornikach równa jest sile elektromotorycznej ogniwa, która wynosi  V, jak wynika z trzeciego pomiaru. Oznaczmy opór woltomierza przez  a oporników przez  i   Niech natężenie prądu płynącego przez opornik  gdy woltomierz połączony jest równolegle z opornikiem  wynosi  Drugie prawo Kirchhoffa ma w tym przypadku postać  stąd  Spadek napięcia na połączonych równolegle opornikach  i   wynosi  i prowadzi to do równania  Analogicznie rozważając przypadek połączenia woltomierza z opornikiem  otrzymujemy równanie  Eliminacja  daje związek  Gdy woltomierz nie jest podłączony, natężenie prądu w obwodzie wynosi  Spadek napięcia na pierwszym oporniku wynosi więc  V, na drugim  V.

Jako układ odniesienia możemy wybrać układ inercjalny, w którym sfera w chwili początkowej spoczywa. Siły elektrostatyczne są zachowawcze oraz nie działają żadne siły zewnętrzne, spełnione są więc zasady zachowania energii i pędu:

gdzie  i   są odpowiednio prędkościami sfery i cząstki w chwili, gdy cząstka dotrze do pierwszego otworu. Musi być spełniony warunek  Wiemy z prawa Gaussa, że wewnątrz równomiernie naładowanej sfery nie ma pola elektrycznego, cząstka porusza się więc od jednego do drugiego otworu ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością względną  Szukany czas wynosi

Przyspieszenia  i   odpowiednio cząstki i sfery w dowolnym układzie inercjalnym wynoszą  i   gdzie  jest siłą, jaką sfera działa na cząstkę wzdłuż wektora położenia względnego obu ciał, a jej wartość zależy od odległości między nimi. Przyspieszenie względne wynosi  gdzie  Jest to równanie ruchu fikcyjnej cząstki o masie  zwanej masą zredukowaną układu dwóch ciał, poruszającej się z ich prędkością względną w polu siły  Zasada zachowania energii w naszym problemie sprowadzonym do ruchu jednego ciała ma teraz postać

Stąd

Szukany czas wynosi  gdy  dla mniejszych prędkości cząstka nie dotrze do wnętrza sfery.

Warto sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że energia kinetyczna fikcyjnej cząstki o masie zredukowanej równa jest sumie energii kinetycznych sfery i cząstki w układzie ich środka masy.

Rys. 1

Rys. 2

Ponieważ linka jest nierozciągliwa, składowe prędkości pierścienia i psa wzdłuż linki są jednakowe i w rozważanej chwili prędkości pierścienia i psa mają równe wartości  W inercjalnym układzie odniesienia związanym z psem pierścień porusza się po okręgu o promieniu  z prędkością chwilową (Rys. 1). W płaszczyźnie poziomej na pierścień działa siła naciągu linki  i siła reakcji drutu (Rys. 2). Wypadkowa siła działająca na pierścień wzdłuż linki jest siłą dośrodkową:

Prostopadła do drutu składowa  siły naciągu linki równoważy siłę reakcji :

Ostatecznie szukana siła naciągu linki wynosi

Pole magnetyczne Ziemi powoduje, że wszystkie żelazne przedmioty magnesują się w ten sposób, że dolna część staje się biegunem północnym.

Pola powierzchni przekroju poprzecznego starej i nowej cewki są równe

Strumień pola magnetycznego przechodzącego przez cewkę to  Stąd  Zatem

Ale ponieważ  więc  i

Ostatecznie

Układ można przerysować tak jak na rysunku obok. Z pierwszego prawa Kirchhoffa w węzłach  i  mamy

Z drugiego prawa Kirchhoffa otrzymujemy

Z powyższych równań wynika, że

stąd

Zatem

Oznaczmy przez  i  indukcyjności uzwojenia pierwotnego i wtórnego, a przez  współczynnik indukcji wzajemnej. Równania wyrażające II prawo Kirchhoffa dla obu obwodów przybierają postać

W powyższych równaniach symbole  i  oznaczają – niezbyt konsekwentnie – wartości chwilowe, w odróżnieniu od dalszych przekształceń i treści zadania.

Brak zmiany napięcia  mimo zamknięcia obwodu wtórnego, świadczy o tym, że sprzężenie indukcyjne obwodów jest maksymalne, tzn.  Wtedy stosunek  jest równy  zatem stały. Przyjmując częstość  jako daną, z danych wartości    i  wyznaczamy (dla )

Szukane natężenie prądu w obwodzie pierwotnym po dołączeniu obciążenia do obwodu wtórnego oznaczymy jako  W przypadku a) należy przyrównać  do  co po wyeliminowaniu przesunięcia fazy między  a  prowadzi do tożsamości

Podstawienie do tego równania oporności w postaci  oraz wyrażeń na  i  daje szukane natężenie prądu w uzwojeniu pierwotnym

W podobny sposób otrzymujemy dla przypadku b)

 a dla przypadku c)

Zauważmy, że dla dużego obciążenia (dużej wartości ) we wszystkich przypadkach przechodzimy do powszechnie znanego związku

Z symetrii układu wynika, że jeśli usunie się z niego pierwsze oczko, to opór układu będzie równy  Zatem można przedstawić go w postaci pokazanej na rysunku obok. Stąd wynika, że  spełnia równanie:

Zatem:

gdzie

(Odrzucamy ujemne rozwiązanie.)

Z symetrii układu wynika, że może on być przedstawiony w następujący sposób przedstawiony na rysunku, gdzie  „Wewnętrzny” układ składa się z nieskończonej ilości oczek, a jego opór wynosi  (z symetrii układu). Zatem

Niech  będzie szukanym oporem amperomierza, a  – natężeniem prądu całkowitego, czyli sumą natężenia prądu płynącego przez amperomierz  i przez bocznik. Napięcie na amperomierzu i boczniku jest jednakowe, zatem

Jeśli  jest stałe, to wykres zależności  od  powinien być liniowy, co dla danej serii pomiarów sprawdza się bardzo dobrze. Z ekstrapolacji prostej do przecięcia z osią  (tzn. do punktu, w którym ) znajdujemy